Tính bất khả quy của đa thức trên miền nguyên

ðối với tính chất số học của một miền nguyên, khái niệm phần tử bất khả quy ñóng một vai trò quan trọng tương tự vai trò của các số nguyên tố trong vành các số nguyên.. Một trong những m

MỞ ðẦU

1 Lí do chọn ñề tài khóa luận

Như chúng ta ñã biết một miền nguyên có nhiều tính chất số học tương

tự như các tính chất số học trong vành các số nguyên [3] ðối với tính chất số học của một miền nguyên, khái niệm phần tử bất khả quy ñóng một vai trò quan trọng tương tự vai trò của các số nguyên tố trong vành các số nguyên Một trong những miền nguyên thường ñược ñề cập tới trong ñại số và hình học là các vành ña thức, trong ñó phần tử bất khả quy chính là khái niệm ña thức bất khả quy

Trong chương trình toán tại phổ thông, bài toán phân tích một ña thức thành nhân tử bất khả quy ñã ñược ñưa vào giảng dạy ngay từ THCS Về mặt ñại số, việc phân tích nói trên cho phép ta chuyển việc nghiên cứu một phương trình ñại số về các phương trình ñại số bậc thấp hơn Về mặt hình học bài toán này cho thấy người ta luôn biểu diễn một siêu mặt thành hợp của hữu

hạn siêu mặt trong không gian n chiều (tập các không ñiểm của một ña thức n

biến) bất khả quy (siêu mặt không phân tích ñược) Ngoài ra việc phân tích một ña thức thành tích các nhân tử bất khả quy còn ñược ứng dụng trong tính ñạo hàm cấp cao, nguyên hàm và tích phân của các hàm phân thức hữu tỉ

Trong ñại số hiện ñại, khái niệm ña thức bất khả quy ñược ñưa vào giảng dạy ngay từ những năm ñầu tiên thuộc nội dung ñại số cao cấp Kèm theo ñó là nhiều tiêu chuẩn về tính bất khả quy của ña thức trên một trường Qua ñó, chúng ta thấy rõ hơn vai trò của ña thức bất khả quy trong nhiều vấn

ñề của ñại số như: Nghiệm của một phương trình ñại số, bài toán mở rộng trường, phần tử ñại số và siêu việt…

Do ý nghĩa khoa học của ña thức bất khả quy và với mong muốn hiểu

một cách toàn diện hơn về ñối tượng này, tôi chọn ñề tài: “Tính bất khả quy

của ña thức trên miền nguyên” cho khóa luận tốt nghiệp ñại học của mình

2 Mục tiêu khóa luận

• Phân tích và trình bày một cách chi tiết và hệ thống các tính chất của

ña thức bất khả quy trên một miền nguyên, cụ thể hóa và chỉ ra mối quan hệ của tính bất khả quy ñối với ña thức khi vành cơ sở là một vành chính, vành Gauss hoặc một trường

• Mở rộng một số tiêu chuẩn về tính bất khả quy ñối với ña thức hệ số nguyên sang ña thức có hệ tử trong một vành chính, vành Gauss

• Làm rõ hơn số ứng dụng về ña thức bất khả quy trên các trường số trong một số bài toán ñại số

3 Nhiệm vụ nghiên cứu

• Nghiên cứu tính chất số học của vành ña thức một biến khi vành cơ

sở là một miền nguyên

• Nghiên cứu tính chất của ña thức bất khả quy trên một miền nguyên

• Nghiên cứu tính chất của ña thức bất khả quy trên một vành chính, vành Gauss

• Nghiên cứu tính chất của ña thức bất khả quy trên một trường

4 Phương pháp nghiên cứu

ðể hoàn thành khóa luận này, tôi ñã phối hợp sử dụng một số phương pháp nghiên cứu như: Phương pháp nghiên cứu lí luận, phương pháp tổng kết kinh nghiệm, phương pháp lấy ý kiến chuyên gia Trước hết ñọc, nghiên cứu, phân tích, tổng hợp tài liệu, giáo trình Vận dụng các kiến thức về tính chất số học của vành ñể nghiên cứu về tính chất của các ña thức một biến trên một miền nguyên giao hoán Trên cơ sở ñịnh nghĩa và những tính chất của phần tử bất khả quy của một vành, căn cứ vào những kết quả ñã có, chúng tôi tương tự hóa nghiên cứu ña thức bất khả quy trên một mền nguyên tổng quát, rồi cụ thể hóa các kết quả này vào nghiên cứu ña thức bất khả quy trên vành chính, vành Gauss Chúng tôi dựa trên một số tiêu chuẩn về ñiều kiện bất khả quy của ña

thức hệ số nguyên ñể xem xét mở rộng chúng cho ña thức lấy hệ tử trong một vành chính, vành Gauss Cuối cùng trên cơ sở các tính chất của ña thức bất khả quy ñã biết từ các phần trước, chúng tôi vận dụng ñể chuyển sang khảo sát về tính bất khả quy của ña thức trên một trường, mà cụ thể ñó là xét tính bất khả quy của ña thức trên trường số hữu tỉ, trường số thực và trường số phức và một số ứng dụng của nó trong một số bài toán ñại số

5 ðối tượng và phạm vi nghiên cứu

•••• ðối tượng: ða thức bất khả quy

•••• Phạm vi: Khóa luận chỉ giới hạn nghiên cứu về ña thức một biến bất

khả quy trên một miền nguyên giao hoán

6 Ý nghĩa khoa học

Kết quả nghiên cứu của khóa luận góp phần giúp chúng ta thấy rõ hơn các tính chất của ña thức bất khả quy khi vành cơ sở là một miền nguyên Ngoài ra, qua một số tiêu chuẩn mở rộng tính bất khả quy của ña thức từ vành

số nguyên sang vành chính, vành Gauss, chúng ta một phần thấy ñược tính bất biến của các tính chất qua các lớp vành có những ñiểm tương tự về tính chất số học Khóa luận là tài liệu tham khảo hữu ích ñối với các sinh viên

ngành toán khi nghiên cứu về ña thức bất khả quy

7 Bố cục của khóa luận

Ngoài các phần: mục lục, mở ñầu, kết luận, tài liệu tham khảo, nội dung của khóa luận ñược chia thành ba chương:

Chương 1 ða thức bất khả quy trên miền nguyên

Chương 2 ða thức bất khả quy trên một vành chính

Chương 3 ða thức bất khả quy trên một trường

CHƯƠNG 1

ðA THỨC BẤT KHẢ QUY TRÊN MIỀN NGUYÊN

Chương này chúng tôi trình bày một cách hệ thống các kiến thức cơ bản tính chất nghiệm, tính chất số học và ñiều kiện bất khả quy của ña thức trên miền nguyên, từ ñó ñưa ra một số tính chất của ña thức bất khả quy trên vành Gauss

ðịnh nghĩa 1.1.1: Cho D là một miền nguyên, ta gọi một tổng hình

=

=∑ là một ña thức trên vành D[ ]x Trong ñó a k∈D, k=0,1, ,n là các hệ số hay còn gọi là hệ tử của ( )

f x ; a0 ñược gọi là hệ số tự do; x là ẩn; k

k

a x ñược gọi là hạng tử, số hạng hay ñơn thức;

Nếu a n ≠ 0 thì a n ñược gọi là hệ số cao nhất của ( )f x ; số tự nhiên n ñược gọi

là bậc của ( )f x , kí hiệu là deg ( )f x

ðịnh nghĩa 1.1.2: (xem [5]) Giả sử c là một phần tử tùy ý của miền

f c =a +a c+ +a c ∈ có ñược bằng cách thay x bởi c gọi là A

giá trị của ( )f x tại c Nếu ( ) f c = thì c gọi là nghiệm của ( )0 f x

Tìm nghiệm của f x( ) trong D gọi là giải phương trình ñại số bậc n :

Nếu ta chia f x( ) cho x c− , dư hoặc bằng 0 hoặc là một ña thức bậc 0 vì bậc (x c− ) là bằng 1 Vậy dư là một phần tử r∈D Ta có:

Vậy r= f c( ) Ta ñược ñiều phải chứng minh

Hệ quả 1.1.4: (xem [5]) c là nghiệm của ( ) f x khi và chỉ khi f x chia ( )

hết cho x c − ( nghĩa là ( ) f x chia hết cho x c − khi và chỉ khi ( ) 0 f c = )

f x = x c q x− +r x , trong ñó deg ( ) 0r x =

Thay x= vào hai vế ta ñược c f c( )=r c( )= , do c là nghiệm của 0( )

f x Vậy f x chia hết cho x c( ) −

Ta ñược ñiều phải chứng minh

Chú ý 1.1 5: (xem [5]) Khi thực hi ện phép chi a

Vì r= f c( ), ta suy ra một phương pháp (phương pháp Hoocne) ñể tính ( )

f c với cách tính như sau:

Trong ñó mỗi phần tử của dòng thứ hai ñược xác ñịnh bằng cách cộng

vào phần tử tương ứng của dòng thứ nhất tích của c với phần tử ñứng trước

dòng thứ hai (trừ phần tử ñầu tiên b0=a0)

ðịnh nghĩa 1.1.6: Giả sử D là một miền nguyên, c∈D, ( )f x ∈D x[ ]

và m 1 ≥ là một số tự nhiên, c là nghiệm bội cấp m nếu và chỉ nếu ( ) f x chia hết cho (x c− )m và f x( ) không chia hết cho (x c− )m+ 1 Trong trường hợp 1

m = người ta còn gọi c là nghiệm ñơn, m = thì c là nghiệm kép 2

Người ta coi ña thức có một nghiệm bội cấp m như một ña thức có m

nghiệm trùng với nhau

Vì deg ( )f x = nên deg ( ) 0n f x r =

Mặt khác hệ số cao nhất của ( )f x là a0 nên f x r( )=a0.Vậy

Ta ñược ñiều phải chứng minh

Mệnh ñề 1.1.8: (xem [1]) Nếu D là một miền nguyên, thì mọi ña thức

[ ]

0≠ f x( )∈D x bậc n có nhiều nhất n nghiệm trong D

Chứng minh:

Ta chứng minh quy nạp với n=deg ( )f x

Nếu n= , ña thức ( )0 f x là một hằng số a0≠ của D nên ( )0 f x không

có nghiệm trong D

Nếu n> , Giả sử mọi ña thức khác 0 có bậc 0 n− có nhiều nhất 1 n− 1

nghiệm trong D Nếu c∈D là một nghiệm của ( )f x thì theo hệ quả 1.1.3 ta có:

( ) ( ) ( )

f x = x c q x− với ña thức q x( )∈D x[ ]

ðẳng thức trên ñã khẳng ñịnh ña thức ( ) 0q x ≠ với deg ( )q x = − n 1

Vì D x[ ] là một miền nguyên, ngoài ra ta có hàm ña thức ( ) ( ) ( )

f xɶ = u−c q xɶ cho thấy một nghiệm của ( )f x trong D hoặc là c hoặc là

một nghiệm của ( )q x

Nhưng theo giả thiết quy nạp ña thức ( )q x có nhiều nhất n− nghiệm 1

trong D nên f x( ) có nhiều nhất n nghiệm trong D Vậy ta có ñiều cần

a a





 + + + + + =

a a





 + + + + + =

Mệnh ñề 1.1.10: (xem [1]) Nếu D là một miền nguyên vô hạn và f là

một ña thức khác 0 của vành ña thức D x[ 1 , , x thì tồn tại một bộ r] r phần tử

( 1 , , r)

s= s s của D không phải là nghiệm của f

Chứng minh:

Ta chứng minh bằng quy nạp trên r

Với r = , do D là một miền nguyên nên mọi ña thức 1 0≠ f ∈D x[ ] bậc

n có nhiều nhất n nghiệm trong D , vì vậy số nghiệm của f không vượt quá

deg

n= f Vì D vô hạn , phải có ít nhất một c∈D ñể f c( )≠ , mệnh ñề 0ñúng với r= 1

Giả sử mệnh ñề ñúng với r− biến 1

Cho f ∈D x[ 1 , , x r] ta viết f dưới dạng: f = f0+ f x1 r+ + f x m r m là ña thức theo biến x r có các hệ tử f0, , f m∈D x[ 1 , , x r−1] và vì f ≠ , ta có thể giả 0

sử f m ≠ 0 Kí hiệu f iɶi, =0, , m , các hàm ña thức tương ứng với các ña thức

( 1 , , r)

s= s s của D không phải là nghiệm của f ∈D x[ 1 , , x r]

Vậy mệnh ñề ñược chứng minh

Hệ quả 1.1.11: (xem [1]) Nếu D là một miền nguyên vô hạn thì vành

ña thức D x ñẳng cấu với vành [ ] D u các hàm ña thức [ ]

Chứng minh:

Vì ( )f x ֏ f uɶ( ) là một toàn cấu từ vành D x[ ] lên vành D u[ ], ta chỉ cần chứng minh sự tương ứng là ñơn ánh Giả sử f x( ), ( )g x ∈D x[ ] với ( ) ( )

f x ≠g x

Ta sẽ chứng minh ( )f uɶ ≠ g uɶ( )

Mặt khác ta có: ( )f x ≠g x( ) kéo theo (f −g x)( )≠ 0

ðặt n=deg(f −g x)( )

Theo mệnh ñề 1.1.8 thì (f −g x)( ) có nhiều nhất n nghiệm trong D

Ta lại có: f −g( )u = f uɶ( )−g uɶ( ) nên nếu f uɶ( )=g uɶ( ) thì

(f −g u)( )= ∈0 D u , nghĩa là mọi phần tử của miền nguyên vô hạn ñều là nghiệm của ña thức (f −g x)( ), trái với giả thiết (f −g x)( ) có nhiều nhất n

nghiệm Vậy ta phải có ( )f uɶ ≠ g uɶ( ) Ta ñược ñiều phải chứng minh

Nhận xét 1.1.12: (xem [1]) Nếu D là một miền nguyên vô hạn, nhờ

ñẳng cấu này người ta thường ñồng nhất mỗi ña thức f x( )∈D x[ ] với hàm ña thức f uɶ( )∈D u[ ]

1.2 Tính chất số học của vành ña thức trên miền nguyên

ðịnh nghĩa 1.2.1: Hai ña thức f x( ), ( )g x ∈D x[ ] ñược gọi là bằng nhau nếu và chỉ nếu các hệ số tương ứng là bằng nhau Nghĩa là nếu cho

f x =g x khi và chỉ khi m= và n a k =b k với mọi k=0,1, ,n

ðịnh nghĩa 1.2.2: ða thức không là ña thức mà tất cả các hệ số của nó

ñều bằng 0 và ta kí hiệu là 0

Một ña thức bằng ña thức 0 nếu và chỉ nếu mọi hệ số của nó ñều bằng 0

ðịnh nghĩa 1.2.3: Mỗi ña thức ( ) 0 1 n [ ]

n

f x =a +a x+ +a x ∈D x tồn tại một phần tử ñối duy nhất ñược gọi là ña thức ñối ñó là

ðịnh nghĩa 1.2.4: Giả sử cho hai ña thức thuộc D x[ ]

deg ( )r x <deg ( )g x Khi ñó ( ) q x ñược gọi là thương và r x ñược gọi là dư ( )

của phép chia ( ) f x cho g x ( )

ðịnh nghĩa 1.2.8: Cho hai ña thức khác 0, f x( ), ( )g x ∈D x[ ] Ta nói ( )

f x chia hết cho g x nếu tồn tại ña thức ( ) h x( )∈D x[ ] sao cho ( ) ( ) ( )

f x =g x h x và kí hiệu ( )f x g x⋮ ( ) hay ( ) | ( )g x f x Ta cũng nói f x là ( )bội của ( )g x hay ( )g x là ước của ( )f x

ðịnh lí 1.2.9: Cho hai ña thức khác 0, f x( ), ( )g x ∈D x[ ], deg ( ) f x = , n deg ( ) g x =m , n≥m Nếu f x chia hết cho ( ) g x thì mọi nghiệm của ( ) g x ( )

ñều là nghiệm của ( ) f x

ðịnh nghĩa 1.2.10: Nếu ( ) | ( ) h x f x và ( ) | ( )h x g x thì ( )h x gọi là ước chung của ( )f x và g x( )

ðịnh lí 1.2.11: Hai ña thức f x( ), ( )g x ∈D x[ ] là liên kết khi và chỉ khi

( ) 0

f x ≠ và ( ) g x ≠ , tồn tại u D0 ∈ , u khả nghịch sao cho ( ) f x =ug x( )

Ví dụ 1.2.12: Trong vành ña thức [ ]K x với K là một trường, hai ña

thức ( )f x và af x( ) với a∈K và a≠ ñược gọi là liên kết 0

ðịnh nghĩa 1.2.13: Cho một miền nguyên D , ña thức ( ) d x gọi là ước chung lớn nhất của ( )f x và ( )g x nếu ( )d x là ước chung của ( )f x và ( )g x và mọi ước chung của ( )f x và ( )g x ñều là ước của ( )d x

ðịnh nghĩa 1.2.14: (xem [6]) Hai ña thức f x và ( ) g x( ) ñược gọi là nguyên tố cùng nhau nếu chúng nhận 1 làm ước chung lớn nhất

ðịnh lí 1.2.15: (xem [1]) Cho D là một miền nguyên, giả sử

[ ]

( ), ( )

f x g x ∈D x là hai ña thức khác không

a) Nếu deg ( ) f x ≠ deg ( ) g x thì ta có

deg ( ( ) f x +g x( ))= max(deg ( ), f x deg g x ) ( )

b) Nếu deg ( ) f x = deg ( ) g x và ( ( )f x +g x( ))≠ thì ta có 0

deg ( ( ) f x +g x( ))≤ max(deg ( ), f x deg g x ).( )

ðịnh lí 1.2.16: ( xem [1]) Nếu D là một miền nguyên và ( ), ( ) f x g x là hai ña thức khác 0 của vành D x thì [ ]

Vì a m ≠ 0 và b n≠ 0 nên a b m n ≠ 0 ( D không có ước của 0) do ñó ( ) ( ) f x g x ≠ 0

và deg( ( ) ( ))f x g x =m+ =n deg ( ) deg ( )f x + g x Ta ñược ñiều phải chứng minh

miền nguyên.

Hệ quả 1.2.18: (xem [1]) Nếu D là một miền nguyên thì D x[ 1 , , x là r]

một miền nguyên

1.3 ðiều kiện bất khả quy của ña thức trên miền nguyên

ðịnh nghĩa 1.3.1: ( xem [5]) Giả sử x là một phần tử khác 0 và không

khả nghịch của A ; x ñược gọi là một phần tử bất khả quy của A nếu x không có ước thực sự ( A là một vành)

Nhận xét 1.3.2: Phần tử p là bất khả quy, p ab= với ,a b∈D thì a khả nghịch, hoặc b khả nghịch ; nói cách khác p không có ước thực sự

Phần tử p của miền nguyên D gọi là nguyên tố nếu p ≠ , p không 0khả nghịch và với mọi ,a b∈D; |p ab thì |p a hoặc |p b

ðịnh lí 1.3.3: Trong một miền nguyên D , mọi phần tử nguyên tố p≠ 0

ñều là phần tử bất khả quy

Mỗi ña thức f x( )∈D x[ ] ñều có các ước là u và uf x( ) với mọi phần

tử u|1 trong miền nguyên D , các ước này gọi là các ước không thực sự hay

ước tầm thường Các ước còn lại gọi là ước thực sự

Mệnh ñề 1.3.4: Một ña thức f x( )∈D x[ ] là bất khả quy khi và chỉ khi

deg ( )f x ≥ , ( ) 00 f x ≠ , không khả nghịch trong D x[ ], f x chỉ có trong ( )

0<deg ( )g x <deg ( )f x và 0<deg ( )h x <deg ( )f x

3) Nếu ( ) f x =a f x ( ) các hệ tử của ( ) f x có ước chung lớn nhất bằng 1, a∈D , a khả nghịch

b) ða thức f x( )∈D x[ ] với deg ( ) 1 f x ≥ là ña thức bất khả quy thì

( )

f x là ña thức nguyên bản (ước chung lớn nhất của các hệ tử bằng 1)

Ví dụ 1.3.6: 1) Các số nguyên tố và các số ñối của nó là các phần tử bất

Mệnh ñề 1.3.7: Cho ña thức bất khả quy ( ) p x trong D x và ña thức [ ] [ ]

( )

f x ∈D x Khi ñó ( ) p x | f x hoặc ( ) f x và ( ) p x nguyên tố cùng nhau ( )Sau ñây chúng ta sẽ xem xét ñiều kiện bất khả quy của ña thức trong

trường hợp miền nguyên D là vành Gauss Miền nguyên D là vành nhân tử

hóa hay còn gọi là vành Gauss (miền nguyên Gauss) nếu mọi phần tử khác không, không khả nghịch của nó ñều phân tích ñược một cách duy nhất thành tích các phần tử bất khả quy

ða thức nguyên bản và Bổ ñề Gauss

* Cho một miền nguyên Gauss D và xét vành ña thức D x Trước hết [ ]

ñể ý rằng, vì D là miền nguyên nên D x[ ] cũng là miền nguyên có cùng

nhóm U các phần tử khả nghịch với D , và do ñó các khái niệm về phần tử

liên kết, bất khả quy, trong D x[ ] ñối với những ña thức hằng chính là các

khái niệm ñó trong D

ðịnh nghĩa 1.3.8: (xem [1]) Một ña thức khác 0

2) 3 4+ x+6x3và − là những ña thức nguyên bản của x3 ℤ[ ]x

Mệnh ñề 1.3.10: (xem [1]) Mọi ña thức 0≠ f x( )∈D x[ ]có thể ñặt dưới dạng f x( )=df x1( ) (1) với một hằng số d∈D* và một ña thức nguyên bản f x của 1( ) D x , và dạng này của ( )[ ] f x là duy nhất theo nghĩa nếu cùng

có f x( )∼cf x2( ) với c∈D* và f x2( ) là ña thức nguyên bản của D x thì [ ]

c∼d và

1( ) 2( )

f x ∼ f x

Bây giờ giả sử ( )f x cũng có dạng

2

f x =cf x ( )1' với c∈D* và f x2( ) là ña thức nguyên bản của D x[ ] ðẳng thức ( )1' này cho

suy ra c là ước chung của các hệ tử a i của ( )f x và do ñó là một ước của d ,

ta có d =uc với một u∈D* Từ ñẳng thức này và ( )1 , ( )1' ta có:

2( ) 1( )

f x =uf x

Nhưng ñẳng thức này suy ra rằng u là một ước chung của các hệ tử của

ña thức nguyên bản f x2( ), do ñó u ∼1 ( u khả nghịch) và hai ñẳng thức sau cùng trên ñây cho ta kết luận c∼d và

1( ) 2( )

f x ∼ f x Vậy ta ñược ñiều phải chứng minh

ðể ý một ña thức bậc 0, tức là một phần tử a0≠ của D , là ña thức 0nguyên bản của D x[ ] nếu a ∼0 1 nghĩa là nếu a0 là một phần tử khả nghịch

của D Phù hợp với hệ quả trên, các phần tử bất khả quy của D (ña thức bất

khả quy của D x[ ] có bậc 0) không phải là những ña thức nguyên bản của

[ ]

D x với bậc ( )f x > 0 có thể là ña thức khả quy

là ña thức nguyên bản của D x[ ] bằng phản chứng

Giả sử ( ) ( )f x g x không nguyên bản Khi ñó, do D là vành Gauss, các

hệ tử c0, ,c n m+ của f x g x( ) ( ) có một ước chung bất khả quy p∈D Vì p

không thể là một ước chung của các hệ tử a0, ,a n của ña thức nguyên bản ( )

f x , cho nên có r sao cho p a| i với i=0,1, ,r − và p không chia hết 1 a r Tương tự ñối với các hệ tử b0, ,b m của ña thức nguyên bản ( )g x , cho nên có

s sao cho p b| j với j=0,1, ,s − và p không chia hết 1 b s Nhưng p là ước

của hệ tử sau ñây của ( ) ( )f x g x

0 1 1 1 1 0

c+ =a b+ + +a b− + +a b +a b+ − + +a b+

và p a| i với i=0,1, ,r− , |1 p b j với j =0,1, ,s− kéo theo |1 p a b r s và ñiều

này do phần tử bất khả quy p là nguyên tố kéo theo p a| r hay p b| s trái với

các tính chất p không chia hết a r và p không chia hết b s ở trên Vậy ( ) ( )

f x g x phải là ña thức nguyên bản của D x[ ]

Bổ ñề Gauss cũng có nghĩa rằng bộ phận các ña thức nguyên bản của miền nguyên D x[ ] là ổn ñịnh ñối với phép nhân

Bây giờ gọi F D là trường các thương của miền nguyên Gauss D Vì

Nếu f x1( )∼ f x2( ) trong F D[ ]x có nghĩa là: f x1( )=α f x2( )

với một α ≠ 0 của trường F D; nhưng α ab−1

= với a b, ∈D* nên trong

[ ]

D x ta có:

Hơn nữa vì f x1( ) và f x2( ) ñều là ña thức nguyên bản của D x[ ] nên

theo mệnh ñề 1.3.10 ñẳng thức kéo theo b∼ và a f x1( )∼ f x2( ) trong D x[ ]

Ta ñược ñiều phải chứng minh

Mệnh ñề 1.3.14: (xem [1]) Mọi ña thức 0≠ ∈g F D[ ]x có thể ñặt dưới dạng

1

( ) g ( )

g x =α g x trong ñó 0≠αg∈F D và g x1( ) là một ña thức nguyên bản của D x ; hơn nữa [ ]

0≠αg∈F D và g x1( ) là duy nhất sai khác nhau một nhân tử khả nghịch của D

Chứng minh:

Cho ña thức sau ñây của F D[ ]x

1( ) 2( )

bf x =af x

= ∈ Vì d và g x1( ) là duy nhất sai khác một nhân tử

nghịch ñảo của D theo mệnh ñề 1.3.10 nên phần tử αg∈F D* cũng vậy

[ ]

D x với bậc f x( )> thì ( )0 f x là một ña thức bất khả quy của F D[ ]x

Chứng minh:

Vì ( )f x là ña thức bất khả quy với bậc f x( )> 0 của D x[ ] nên ( )f x là

ña thức nguyên bản của D x[ ] Giả sử ( )f x khả quy trong F D[ ]x tức là:

[ ]

D x Do ñó

là ña thức bất khả quy của D x Vậy ( )[ ] f x phải là ña thức bất khả quy của

[ ]

D

F x

Vậy ta ñược ñiều phải chứng minh

Bổ ñề 1.3.16: (xem [5]) Nếu ( ) f x là ña thức với hệ số nguyên có bậc

lớn hơn 0 và ña thức ( ) f x không bất khả quy trong ℚ[ ]x , thì ( ) f x phân tích

ñược thành một tích những ña thức có bậc khác 0 với hệ số nguyên

Hệ quả 1.3.17: (xem [2]) Mọi ña thức f x( )∈ ℤ[ ]x khác 0 và khác 1 ± ñều có thể viết ñược dưới dạng một tích những ña thức bất khả quy trong ℤ[ ]x

Hệ quả 1.3.18 (mở rộng bổ ñề 1.3.16): Nếu ( ) f x là ña thức với hệ số

thuộc A (A là vành Gauss) có bậc lớn hơn 0 và không bất khả quy trong K[ ]x

thì ña thức ( ) f x phân tích ñược thành một tích những ña thức bậc khác 0 với hệ số thuộc A, với K là trường các thương của A

Do ( ), ( )ϕ x ψ x là những ước thực sự của ( )f x trong A x[ ] nên ña thức ( ), ( )

g x h x là những ña thức bậc khác 0 của K x[ ]

Ta ñược ñiều phải chứng minh

[ ]

A x , deg ( ) f x > Khi ñó ( )0 f x là ña thức bất khả quy trong A x khi và [ ]

chỉ khi ( ) f x là ña thức bất khả quy trong K x[ ] với K là trường các thương của A (Như vậy tính bất khả quy của các ña thức nguyên bản trên một vành Gauss và trên trường các thương của nó là như nhau)

Mệnh ñề 1.3.20: (xem [2]) Cho A là một vành Gauss A là trường các

thương của vành A f x( )=a0+a x1 + +a x n n∈A x[ ] ñược gọi là một ña thức nguyên bản nếu ước chung lớn nhất của các hệ tử a a0, 1, ,a n bằng 1 Chứng

minh rằng nếu ña thức f x( )=a0+a x1 + +a x n n∈A x[ ]; f( )x khả quy trong

a

1 1

a A

b ∈ ; g x1( )∈A x[ ]và g x1( ) là ña thức nguyên bản

a A

b ∈ ; h x1( )∈A x[ ]và h x1( ) là ña thức nguyên bản

b= b b với ,a b nguyên tố cùng nhau Ta có ( ) 1( ) ( )1

Tiêu chuẩn Eisenstein (Aidenstainơ): (xem [5])

Giả sử ( ) 0 1 n

n

f x =a +a x+ +a x (n> ) là ña thức với hệ số nguyên và 1

giả sử có một số nguyên tố p sao cho p không chia hết hệ số cao nhất a n,

nhưng p chia hết các hệ số còn lại và p2 không chia hết số hạng tự do a0 Thế thì ña thức ( )f x là bất khả quy trong ℚ[ ]x

Mở rộng tiêu chuẩn Eisenstein :

Cho A là vành Gauss, ( ) f x ∈A x[ ], ( ) 0 1 n

n

f x =a +a x+ +a x , p∈ là A

một phần tử nguyên tố sao cho p không chia hết a n , nhưng p chia hết các hệ

tử còn lại và p2 không chia hết hạng tử tự do a0 Khi ñó ( )f x là ña thức bất

khả quy trong K x[ ] K là trường các thương của A

Theo giả thiết p chia hết hệ số a0=b c0 0, vì p là nguyên tố, nên hoặc

p chia hết b0 hoặc p chia hết c0 Giả sử p chia hết b0, khi ñó p không chia

hết c0, vì nếu p chia hết c0 thì 2

p chia hết a0=b c0 0, trái với giả thiết Và p

không chia hết mọi hệ số của ( )g x , vì nếu thế thì p chia hết a n=b c r s, trái với giả thiết

Vậy giả sử b k là hệ số ñầu tiên của ( )g x không chia hết cho p Ta hãy xét:

0 1 1 0

a =b c +b c− + +b c

ñó, a b k, k−1, ,b0 ñều chia hết cho p Vậy b c k 0 phải chia hết cho p

Vì Trong p là số nguyên tố, ta suy ra hoặc b k chia hết cho p hoặc c0

chia hết cho p , mâu thuẫn với giả thiết về b và k c Vậy ta ñược ñiều phải chứng 0

Xét K = ℝ[ ]t là trường phân thức của A , ña thức ẩn t:

( 1) ( 1) ( 1) 1

g t =t + x + t − + x + t − + + x + t+x + là ña thức bất khả quy trong ℝ[ ]t

Ví dụ 1.3.22: Với p là số nguyên tố, ℤ là một trường, q là số nguyên p

tố 1 q< < p Khi ñó q∈ ℤ là nguyên tố trong p ℤ , ña thức p

Khái quát: Cho ña thức f x( )∈ ℚ[ ]x , ( )f x chia hết cho x−n p với p

là số nguyên tố Chứng minh rằng ( )f x chia hết cho n