Vành chính là một miền nguyên mà mọi idean của nó ñều là idean chính. Do ñó tính chất của ña thức trên miền nguyên D x[ ] cũng ñúng khi
[ ]
D x là một vành chính. Cần lưu ý rằng, D là vành chính thì D là vành Gauss, khi ñó D x[ ] là vành Gauss. Như vậy, mọi ña thức khác 0, không khả nghịch trong D x[ ] ñều phân tích ñược thành tích các nhân tử bất khả quy và sự phân tích ñó là duy nhất. Ta cũng có, D là vành chính nhưng D x[ ] không phải là vành chính, khẳng ñịnh ñó ñược suy ra từ mệnh ñề sau.
Mệnh ñề 2.2.1: (xem [2]) D x[ ] là vành chính khi và chỉ khi D là một trường.
Chứng minh:
Trước hết D là một trường, khi ñó D x[ ] là một vành Ơclit, do ñó D x[ ] là một vành chính.
ðảo lại, Giả sử D x[ ] là một vành chính. Xét a∈D là một phần tử khác 0 và tập hợp
[ ]
{ ( ) ( ) | ( ), ( ) }
I = xf x +ag x f x g x ∈D x .
Theo giả thiết D x[ ] là một vành chính nên I là một idean chính sinh bởi ña thức ( )p x , I = p x( ) .
Khi ñó p x( ) phải là ước của a, do p x( ) phải là ước của a nên ( )
p x ∈D, và ( )p x là ước của x nên ( )p x là ước của 1. Vậy I =D x[ ], suy ra 1∈I và 1 0= x a b+ . .
ðiều ñó chứng tỏ b là nghịch ñảo của a. Vậy a khả nghịch, do ñó D
là một trường.
Ví dụ 2.2.2: (xem [2]) Vành chính D=ℤ là vành số nguyên, [ ] [ ]
D x =ℤ x không phải là vành chính.
Thật vậy, trong [ ]ℤ x ta xét idean I sinh bởi x và 2
( ) ( ) ( ) ( ) [ ]
{ . 2 | , }
I = f x x+ g x f x g x ∈ℤ x
( )
h x ∈I nghĩa là hạng tử tự do của ( )h x là một số chẵn. Hiển nhiên I ≠0 và [ ]
I ≠ℤ x .
Giả sử I là một idean chính, nghĩa là tồn tại ña thức g x( )∈ℤ[ ]x sao cho I =g x( ). Ta có:
1. 2.0
x= x+ và 2 0.= x+2.1
Nên x và 2 thuộc I và do ñó ( )g x là ước của 2 và ( )g x là ước của x. Nếu ( )g x là ước của 2 thì ( )g x chỉ có thể là ±1 và 2± .
Nếu ( )g x là ước của x thì ( )g x chỉ có thể là ±1 và ±x. Vậy ( ) 1g x = hoặc ( )g x = −1.
Vì I ≠Z x[ ] nên ( ) 1g x ≠ hoặc ( )g x ≠ −1.
Vậy I không phải là một idean chính. Do ñó [ ]ℤx không phải là một vành chính. (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
Tổng quát: Giả sử A không là một trường, tồn tại p∈A mà mọi
Ngược lại, I= x p, là idean chính sinh bởi ( )f x . Khi ñó ta có: ( )
, f
I= x p = x
Khi ñó ( )f x có các hệ tử tự do chia hết cho p, p∈I mà I= f ( )x nên ( ) ( )
p= f x g x với g x( )∈A x[ ].
So sánh bậc của hai vế của ñẳng thức suy ra f x( ), ( )g x là hằng số trong A.
Giả sử ( )f x =c, vì ( )f x chia hết cho p nên tồn tại d∈A sao cho ( )
f x =dp. Giả sử ( )g x =e nên e∈A.
Khi ñó p=dpe ⇒1=de ⇒g x( )=e khả nghịch.
Mặt khác I = x p, = f( )x nên x= f x h x( ). ( )=dp h x. ( ).
Suy ra ( )h x =ax b+ với dgh=1 nên ta có: x=dp ax b( + )=dpax dpb+
Do ñó 1=dpa suy ra p khả nghịch (vô lí). Vậy [ ]A x không là vành chính.
Hệ quả 2.2.3: Giả sử D không là một trường, thì D x[ 1,...,x không là n]
vành chính.
Hệ quả 2.2.4: ℤ[ ]x không là vành chính. Còn ℚ[ ]x , ℝ[ ]x , ℂ[ ]x là vành chính.
Nhận xét 2.2.5: Từ mệnh ñề 2.2.1 ta cũng suy ra rằng, với D là một vành chính, f x( ), ( )g x ∈D x[ ], nếu ước chung lớn nhất của f x( ) và g x( ) bằng ( )d x thì nhìn chung không có ( f x( )) (+ g x( ))=D x[ ]=(d x( )), nghĩa là không tồn tại u x( ), ( )v x ∈D x[ ] sao cho ( ) ( )f x u x +g x v x( ) ( )=d x( ).
Ví dụ 2.2.6: 1) Cho vành chính ℤ là vành các số nguyên, xét vành ña thức ℤ[ ]x . Ta thấy ước chung lớn nhất của x và x+2 bằng 1. Tuy nhiên với mọi u x( ), ( )v x ∈ℤ[ ]x thì x u x. ( )+(x+2) ( ) 1v x ≠ . Vì x u x. ( )+(x+2) ( )v x là
ña thức với hệ số tự do là một số chẵn. Thực chất (x x, +2) (= x, 2) là các cặp idean với hệ số tự do chẵn.
2) Với p là số nguyên tố thì (x x, + p) (= x p, ). Ta thấy ước chung lớn nhất của x và p bằng 1. Khi ñó với mọi u x( ), ( )v x ∈ℤ[ ]x thì
. ( ) ( ) ( ) 1
x u x + x+ p v x ≠ hay . ( )x u x + p v x. ( ) 1≠ , do ña thức . ( )x u x + p v x. ( ) có hệ số tự do chia hết cho p.
Chú ý 2.2.7: Ta ñã biết rằng, trong vành Gauss, khái niệm nguyên tố và bất khả quy là như nhau. Vậy ta cũng suy ra rằng, trong vành chính khái niệm nguyên tố và bất khả quy là như nhau.
Nhận xét 2.2.8: Do D là vành chính nên D[ ]x là vành Gauss và mọi [ ] ( ), ( ) f x g x ∈D x ta có thể viết 1 2 1 2 ( ) ( )... ( ) f x = pα x pα x ; α1,...,αk∈N 1 2 1 2 ( ) ( )... ( ) g x = pβ x pβ x ; β1,...,βk ∈N
Khi ñó ước chung lớn nhất của ( )f x và g x( ) là
( ) 1 2
1 2
( ), ( ) ( )... ( )
f x g x = pδ x pδ x với δi =min(α βi, i), i=1,..., .k
Bội chung nhỏ nhất của f x( )và g x( ) là [ ] 1 2 (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
1 2 ( ), ( ) ( )... ( ) f x g x = pγ x pγ x với ( , ), 1,..., . i max i i i k γ = α β = Mệnh ñề 2.2.9: Giả sử D x là m[ ] ột vành chính, f x( ), ( ),g x h x( ), ( ) r x là những ña thức của D x th[ ] ỏa mãn f x( )=g x h x( ) ( )+r x( ) thế thì ước chung lớn nhất của f x( ) và g x( ) là ước chunglớn nhất của g x( ) và r x( ).
Chứng minh:
Gọi I là idean sinh bởi ( )f x và ( )g x và J là idean sinh bởi ( )g x và ( )r x . Từ ( )f x =g x h x( ) ( )+r x( ), ta suy ra ( )f x ∈J. Do ñó I ⊂J.
Vậy I =J.
Nhưng D x[ ] là một vành chính, nên tồn tại d x( )∈I sao cho ( ( ))d x =I. Khi ñó ( )d x là ước chung lớn nhất của f x( ) và ( )g x . Nhưng
I =J nên ( )d x cũng là ước chung lớn nhất của ( )g x và r x( ). Ta ñược ñiều phải chứng minh.