Vì mọi vành chính D ñều là vành Gauss, nên ña thức bất khả quy trên vành D x[ ] chính là ña thức bất khả quy trên vành Gauss. Vậy nếu cho D là một vành chính (vành Gauss), xét vành ña thức D x[ ], ña thức f x( )∈D x[ ] là ña thức bất khả quy thì:
1) Nếu deg ( )f x =0 thì f x( )=a a; ∈D, a≠0, không khả nghịch trong D.
2) Nếu deg ( )f x >0 thì ( )f x không biểu diễn ñược dưới dạng ( ) ( ) ( )
f x =g x h x với g x( ); ( )h x ∈D x[ ] khác 0, không khả nghịch, 0<deg ( )g x <deg ( )f x và 0<deg ( )h x <deg ( )f x .
3) Nếu ( )f x =a f x. ( ) các hệ tử của ( )f x có ước chung lớn nhất bằng 1, a∈D, a khả nghịch.
Và ta cũng có, ña thức f x( )∈D x[ ] với deg ( ) 1f x ≥ là ña thức bất khả quy thì ( )f x là ña thức nguyên bản. (ước chung lớn nhất của các hệ tử bằng 1).
Ví dụ 2.3.1: ða thức ( )f x = x2+ +x 1 là ña thức bất khả quy của vành [ ]x
ℤ , ℤ là vành chính.
Mệnh ñề 2.3.2: Cho ña thức bất khả quy p x trong ( ) D x[ ] và họ các
ña thức f xi( )∈D x i[ ]; =1,...,n. Khi ñó ta có: 1 ( ) | ( ) 1,..., n i i p x f x i n = ⇔ ∃ = ∏ sao cho p x( ) | f xi( ).
Cho D là vành chính, ( )f x ∈D x[ ], ( )f x ≠0, không khả nghịch trong
[ ]
D x . Khi ñó ( )f x là ña thức bất khả quy khi và chỉ khi ( ) | ( ) ( )f x g x h x thì ( ) | ( )
f x g x hoặc ( ) | ( )f x h x .
Chú ý rằng, nếu ( )f x là một ña thức khác 0 thuộc D x[ ] và không khả nghịch. Khi ñó ( )f x có thể viết dưới dạng :
1 2
( ) ( ) ( )... n( )
f x = p x p x p x
với các p xi( ); i=1, 2,...n là các ña thức bất khả quy và sự phân tích ñó là duy nhất sai khác một phần tử khả nghịch.
Từ hệ quả 1.3.19 ta cũng suy ra rằng, nếu A vành chính, f x là ( ) ña thức nguyên bản trong A x[ ], deg ( )f x >0. Khi ñó f x là ( ) ña thức bất khả
quy trong A x khi và ch[ ] ỉ khi f x là ( ) ña thức bất khả quy trong K x v[ ] ới K là trường các thương của A .(Như vậy tính bất khả quy của các ña thức nguyên bản trên một vành chính và trên trường các thương của nó là như nhau).
Không những thế mà tiêu chuẩn Eisenstein vẫn còn ñúng khi vành cơ sở là vành chính. Tức là nếu cho A là vành chính, f x( )∈A x[ ],
0 1
( ) ... n
n
f x =a +a x+ +a x , p∈A là một phần tử nguyên tố sao cho p không chia hết an, nhưng p chia hết các hệ tử còn lại và 2
p không chia hết hạng tử tự do a0. Khi ñó f x( ) là ña thức bất khả quy trong K x[ ], trong ñó K là trường các thương của A.
Ví dụ 2.3.3: 1
( ) ... n n
f x p px px − x
+ (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
= + + + là ña thức bất khả quy trong [ ]
CHƯƠNG 3
ðA THỨC BẤT KHẢ QUY TRÊN MỘT TRƯỜNG
Chương này chúng tôi trình bày các kiến thức về ña thức bất khả quy trên một trường, cụ thể như trường số hữu tỉ, trường số thực và trường số phức. Từ ñó làm rõ hơn một số ứng dụng của ña thức bất khả quy trong một số bài toán ñại số.