Luận văn thạc sĩ ứng dụng định lí cơ bản của đại số để xét tính bất khả quy của đa thức trên trường hữu tỷ

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC ĐÀO THỊ NGÂN ỨNG DỤNG ĐỊNH LÍ CƠ BẢN CỦA ĐẠI SỐ ĐỂ XÉT TÍNH BẤT KHẢ QUY CỦA ĐA THỨC TRÊN TRƯỜNG HỮU TỶ LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Thái Nguyên 2015 c ĐẠI HỌC[.]

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC ĐÀO THỊ NGÂN ỨNG DỤNG ĐỊNH LÍ CƠ BẢN CỦA ĐẠI SỐ ĐỂ XÉT TÍNH BẤT KHẢ QUY CỦA ĐA THỨC TRÊN TRƯỜNG HỮU TỶ LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Thái Nguyên - 2015 c ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC ĐÀO THỊ NGÂN ỨNG DỤNG ĐỊNH LÍ CƠ BẢN CỦA ĐẠI SỐ ĐỂ XÉT TÍNH BẤT KHẢ QUY CỦA ĐA THỨC TRÊN TRƯỜNG HỮU TỶ Chuyên ngành: Phương pháp Toán sơ cấp Mã số: 60 46 01 13 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC GS.TS LÊ THỊ THANH NHÀN Thái Nguyên - 2015 c i Mục lục Mục lục i Lời cảm ơn ii Mở đầu 1 Định lí đại số 1.1 Đa thức đối xứng 1.2 Trường phân rã trường hữu hạn 10 1.3 Chứng minh Định lí đại số 12 Vận dụng Định lí đại số để xét tính bất khả quy Q 17 2.1 Một số tiêu chuẩn bất khả quy Q quen biết 2.2 Vận dụng Định lí đại số để xét tính bất khả quy Q 17 23 Kết luận 37 Tài liệu tham khảo 38 c ii Lời cảm ơn Luận văn hoàn thành trường Đại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc với GS.TS Lê Thị Thanh Nhàn, trực tiếp hướng dẫn tận tình động viên tác giả suốt thời gian nghiên cứu vừa qua Tác giả xin chân thành cảm ơn Thầy thuộc Khoa Tốn - Tin, trường Đại học Khoa học GS.TSKH Hà Huy Khoái, GS.TSKH Nguyễn Văn Mậu, PGS.TS Đàm Văn Nhỉ giảng dạy, trang bị cho chúng em kiến thức bản, cần thiết Xin chân thành cảm ơn Phòng Đào tạo, trường Đại học Khoa học tạo điều kiện thuận lợi, động viên, khuyến khích tác giả suốt q trình học tập Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới gia đình người thân ln khuyến khích, động viên tác giả suốt q trình học tập làm luận văn Đào Thị Ngân Thái Nguyên, 2015 Học viên Cao học Toán K7D, Trường ĐH Khoa học - ĐH Thái Nguyên c Mở đầu Định lí Đại số phát biểu đa thức biến khác với hệ số phức có nghiệm phức Chứng minh cho Định lí đại số thuộc D’Alembert năm 1748 Nhiều chứng minh khác công bố Euler năm 1749, Foncenex năm 1759, Lagrange 1772, Laplace năm 1795 chứng minh khơng xác Đặc biệt, suốt đời mình, Gauss đưa chứng minh cho Định lí, chứng minh năm 1799 chứng minh năm 1815, 1816 không chặt chẽ Chứng minh hồn chỉnh cho Định lí thuộc Gauss năm 1846, công bố vài năm trước ơng qua đời Tên Định lí đại số đặt vào thời điểm mà quan tâm đại số vấn đề giải phương trình đa thức Định lí đại số có ứng dụng quan trọng nhiều lĩnh vực khác tốn học Đối với hình học đại số, kết hợp Định lí đại số Ngun lí Lefschetz cho thấy khơng gian xạ ảnh phức môi trường đủ tốt để nghiên cứu nhiều tốn hình học đại số với đặc số Trong đại số đại, việc phân loại cấu trúc đại số trường địa phương toàn cục phải sử dụng thường xuyên kết suy từ Định lí đại số, là: Nếu K trường mở rộng hữu hạn trường số phức C K = C Cho K trường f (x) đa thức biến x với hệ số K Ta nói f (x) đa thức bất khả quy K f (x) có bậc dương f (x) khơng tích hai đa thức với bậc bé Có thể nói, đa thức bất khả c quy lí thuyết đa thức có vai trị quan trọng tương tự vai trị số ngun tố lí thuyết số Vì thế, tốn xét tính bất khả quy đa thức toán quan trọng lí thuyết đa thức Từ Định lí đại số, ta suy đa thức bất khả quy C đa thức bậc nhất; đa thức bất khả quy R đa thức bậc bậc hai vô nghiệm (thực) Tuy nhiên, tốn xét tính bất khả quy Q tốn mở Mục đích luận văn trình bày ứng dụng Định lí đại số vấn đề xét tính bất khả quy đa thức Q Luận văn viết dựa vào hai báo gần đây: A I Bonciocat, N C Bonciocat, and A Zaharescu, On the irreducibility of polynomials that take a prime power value, Bull Math Soc Sci Math Roumanie, 54 (2011), 41-54 M R Murty, Prime numbers and irreducible polynomials, The American Math Monthly, 109 (2002), 452-458 Luận văn chia thành chương với nội dung sau: Chương trình bày số kiến thức đa thức đối xứng tồn trường phân rã đa thức với hệ số trường để phục vụ chứng minh Định lí đại số tồn nghiệm đa thức biến trường số phức Cuối chương sử dụng Định lý đại số để xét tính bất khả quy đa thức trường phức C trường thực R Chương nội dung luận văn, trình bày số tiêu chuẩn bất khả quy đa thức Q, mà chứng minh tiêu chuẩn phải sử dụng Định lí đại số Thái Nguyên, ngày 20 tháng 11 năm 2015 Đào Thị Ngân Email: daothinganktd2002@gmail.com c Chương Định lí đại số Chương trình bày số kiến thức đa thức đối xứng chứng minh Định lý đại số tồn nghiệm đa thức biến trường số phức Từ ứng dụng để xét tính bất quy đa thức C trường thực R 1.1 Đa thức đối xứng Trước hết, ta nhắc lại khái niệm vành đa thức nhiều biến.Trong suốt chương này, ln giả thiết V vành giao hốn Định nghĩa 1.1.1 Kí hiệu V [x1 , , xn ] tập đa thức n biến x1 , , xn với hệ số V Với i, j ∈ Nn0 , i = (i1 , , in ) j = (j1 , , jn ), ta định nghĩa i + j = (i1 + j1 , , in + jn ) Khi V [x1 , , xn ] vành với phép cộng phép nhân X i x + i∈Nn0 X i∈Nn0 với đa thức P i∈Nn0 X i bi x = i∈Nn0 xi X bi xi = P (ai + bi )xi ; i∈Nn0 i∈Nn0 xi , X X i∈Nn0 ck x k , c k = X bj i+j=k bi xi ∈ V [x1 , , xn ] Vành V [x1 , , xn ] i∈Nn0 gọi vành đa thức n biến x1 , , xn với hệ số V c Từ ta giả thiết V miền nguyên, V [x1 , , xn ] vành đa thức n biến x1 , , xn với hệ số V Sn tập song ánh từ tập {1, 2, , n} đến Định nghĩa 1.1.2 Đa thức f (x1 , , xn ) ∈ V [x1 , , xn ] gọi đa thức đối xứng f (x1 , , xn ) = f (xπ(1) , , xπ(n) ) với π ∈ Sn , ta hiểu f (xπ(1) , , xπ(n) ) đa thức suy từ f (x1 , , xn ) cách thay xi xπ(i) với i = 1, , n Ví dụ 1.1.3 Các đa thức sau đa thức đối xứng đơn giản nhất, ta gọi chúng đa thức đối xứng sơ cấp hay đa thức đối xứng bản: σ1 = n X xi = x1 + · · · + xn ; i=1 σ2 = X xi xj = x1 x2 + · · · + x1 xn + x2 x3 + · · · + xn−1 xn ; i