Luận văn thạc sĩ tính bất khả quy của đa thức có hệ số là số nguyên

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC  NGUYỄN HUY QUÝ TÍNH BẤT KHẢ QUY CỦA ĐA THỨC CÓ HỆ SỐ LÀ SỐ NGUYÊN LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC THÁI NGUYÊN 2016 c ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA H[.]

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC  - NGUYỄN HUY QUÝ TÍNH BẤT KHẢ QUY CỦA ĐA THỨC CÓ HỆ SỐ LÀ SỐ NGUYÊN LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC THÁI NGUYÊN - 2016 c ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC  - NGUYỄN HUY QUÝ TÍNH BẤT KHẢ QUY CỦA ĐA THỨC CĨ HỆ SỐ LÀ SỐ NGUYÊN LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Chuyên ngành: Phương pháp Toán sơ cấp Mã số: 60 46 01 13 NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: GS.TSKH Hà Huy Khoái THÁI NGUYÊN - 2016 c i Mục lục Lời cảm ơn iii Mở đầu Chương Tiêu chuẩn bất khả quy Eisenstein, Osada ứng dụng 1.1 Khái niệm đa thức bất khả quy 1.1.1 Vành đa thức 1.1.2 Đa thức bất khả quy 1.1.3 Đa thức bất khả quy Q Đa thức bất khả quy với hệ số nguyên 13 1.2.1 Tiêu chuẩn Eisenstein 13 1.2.2 Tiêu chuẩn Osada 15 1.3 Vận dụng Tiêu chuẩn Eisenstein 16 1.4 Vận dụng Tiêu chuẩn Osada 17 1.2 Chương Tiêu chuẩn bất khả quy Ore, Ram Murty, Chahal, Girstmair ứng dụng 18 2.1 Tính bất khả quy giá trị nguyên tố 18 2.1.1 Tiêu chuẩn Ore 19 2.1.2 Các giá trị nguyên tố tính bất khả quy 26 c ii 2.2 Tính bất khả quy đồng dư modulo p 28 Kết luận 33 Tài liệu tham khảo 34 c iii Lời cảm ơn Luận văn hoàn thành hướng dẫn GS.TSKH Hà Huy Khoái Xin trân trọng gửi đến Thầy lời cảm ơn sâu sắc Tôi xin trân trọng cảm ơn Ban giám hiệu, Khoa Tốn - Tin, Phịng Đào tạo trường Đại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên Xin kính gửi lời cảm ơn chân thành đến thầy cố giáo tham gia giảng dạy lớp cao học Tốn K8B - khóa học 2014 - 2016 Những người tâm huyết nhiệt tình giảng dạy để trang bị cho kiến thức toán học bản, đồng thời động viên tạo điều kiện thuận lợi giúp tơi hồn thành nhiệm vụ học tập thời gian qua Tôi xin bày tỏ lịng biết ơn đến gia đình, bạn bè, quan nơi công tác động viên, hỗ trợ tạo điều kiện tốt cho suốt thời gian học tập hoàn thành luận văn c Mở đầu Nếu số học, số nguyên tố giữ vai trò quan trọng, đại số, đa thức bất khả quy với hệ số nguyên hay hệ số hữu tỷ có vai trị quan trọng khơng kém, đa thức phân tích thành tích đa thức bất khả quy Trên trường phức, đa thức bất khả quy đa thức bậc nhất, trường thực đa thức bất khả quy đa thức bậc bậc hai Trên trường hữu tỷ đa thức bất khả quy không đơn giản Theo bổ đề Gauss đa thức bất khả quy trường hữu tỷ bất khả quy vành số nguyên Do vậy, việc nghiên cứu tính bất khả quy đa thức với hệ số nguyên cần thiết ln thời Nhà tốn học tiếng L.Kronecker nói " Chúa cho số nguyên, tất lại tác phẩm người." Từ thời học phổ thông, tất quen thuộc với điểm tương đồng tập hợp số nguyên tập hợp đa thức biến Một mơ hình dạng thuật tốn Ơ-clit (với phép chia) Mục đích luận văn trình bày cách tổng quan tính bất khả quy đa thức hệ số nguyên trường Q Trong đó, trình bày số khái niệm biết xung quanh khái niệm đa thức bất khả quy, số tiêu chuẩn bất khả quy đa thức số tập vận dụng Với mục đích luận văn chia làm hai chương: Chương Tiêu chuẩn bất khả quy Eisenstein, Osada ứng dụng Trong chương này, trình bày khái niệm vành đa thức, đa thức bất khả quy; đa thức bất khả quy Q; đa thức bất khả quy với hệ số nguyên; số tiêu chuẩn bất khả quy Eisenstein ứng dụng c Chương Tiêu chuẩn bất khả quy Ore, Ram Murty, Chahal, Girstmair ứng dụng Mục tiêu chương trình bày số kết tương đối gần Ore; Ram Murty; Chahal; Girstmair; Schur số ứng dụng Thái Nguyên, ngày 25 tháng năm 2016 Tác giả Nguyễn Huy Quý c Chương Tiêu chuẩn bất khả quy Eisenstein, Osada ứng dụng 1.1 1.1.1 Khái niệm đa thức bất khả quy Vành đa thức Nhắc lại tập V6= ∅ với phép cộng gọi nhóm điều kiện sau thỏa mãn: (i) Phép cộng có tính kết hợp: a + (b + c) = (a + b) + c với a, b, c ∈ V (ii) Tồn phần tử ∈ V cho a + = + a = a với a ∈ V (iii) Mỗi a ∈ V, tồn phần tử đối −a ∈ V cho a+(−a) = (−a)+a = Nếu thêm điều kiện a + b = b + a với a, b ∈ V V gọi nhóm giao hốn Nhóm cộng V trang bị thêm phép toán nhân gọi vành điều kiện sau thỏa mãn: (i) Phép nhân có tính kết hợp: (ab)c = a(bc) với a, b ∈ V (ii) Tồn phần tử đơn vị 1∈ V cho a1 = 1a = a với a ∈ V (iii) a(b + c) = ab + ac (b + c)a = ba + ca với a, b, c ∈ V Nếu thêm điều kiện ab = ba với a, b ∈ V V vành giao hốn c Định nghĩa 1.1.1 Một đa thức biến x với hệ số V tổng hữu hạn f (x) = an xn + an−1 xn−1 + · · · + a1 x + a0 , a0 , a1 , · · · , an ∈ V Ta ∞ viết đa thức dạng f (x) = ∑ xi , = với i=0 ∞ ∞ i=0 i=0 i > n Hai đa thức ∑ xi ∑ bi xi = bi với i Kí hiệu V [x] tập đa thức biến x với hệ số V Cho f (x) = an xn + an−1 xn−1 + · · · + a1 x + a0 ∈ V [x] Ta gọi a0 hệ số tự f (x) Nếu an 6= n gọi bậc f (x) kí hiệu deg f (x) Trong trường hợp này, an gọi hệ số cao f (x) Nếu an =1 f (x) gọi đa thức dạng chuẩn (monic polynomial) Ta không định nghĩa bậc cho đa thức Nếu f (x) = a ∈ V f (x) gọi đa thức Các đa thức bậc gọi đa thức tuyến tính Định nghĩa 1.1.2 Với hai đa thức f (x) = ∑ xi g(x) = ∑ bi xi V [x], định nghĩa f (x) + g(x) = ∑(ai + bi )xi f (x)g(x) = ∑ ck xk , ck = ∑ b j với k i+ j=k Khi V [x] vành giao hốn với phép cộng phép nhân đa thức Vành V [x] gọi vành đa thức biến x với hệ số V Phần tử không vành đa thức 0, phần tử đơn vị vành đa thức 1.1.2 Đa thức bất khả quy Trước trình bày khái niệm đa thức bất khả quy, xin nhắc lại khái niệm phần tử bất khả quy miền nguyên Cho a, b ∈ V Ta nói a ước b tồn c ∈ V cho b = ac Một ước a b gọi ước thực b không ước a Phần tử p ∈ V gọi phần tử bất khả quy khác 0, khơng khả nghịch khơng có ước thực Từ ta có khái niệm đa thức bất khả quy vành đa thức V [x] Chú ý V [x] miền nguyên Định nghĩa 1.1.3 Cho f (x) ∈ V [x] đa thức khác khơng khả nghịch Ta nói f(x) bất khả quy V khơng có ước thực Ta nói f(x) khả quy f (x) có ước thực Chú ý tính bất khả quy đa thức phụ thuộc vào vành sở Chẳng c hạn, đa thức 2x + bất khả quy trường Q Tuy nhiên 2x + không bất khả quy vành Z đa thức x + ước thực 2x + Tương tự, đa thức x2 + bất khả quy R không bất khả quy C Bổ đề 1.1.4 (i) Đa thức f(x) bất khả quy f(x+a) bất khả quy với a ∈ V Chứng minh Cho a ∈ V Với đa thức h(x) ∈ V [x] ta đặt h1 (x) = h(x − a) Chú ý degh1 (x) = degh(x) Vì f (x + a) = k(x)g(x) phân tích f (x + a) thành tích hai đa thức có bậc thấp f (x) = k1 (x)g1 (x) phân tích f (x) thành tích hai đa thức có bậc thấp Vì f (x) bất khả quy f (x + a) bất khả quy. Từ đến hết mục làm việc với đa thức có hệ số trường K Trong trường hợp này, đa thức khác khả nghịch Do ta có kết sau: (ii) Đa thức f(x) với hệ số trường K bất khả quy degf(x)>0 f(x) khơng phân tích thành tích hai đa thức có bậc bé Sau tính bất khả quy đa thức bậc thấp (iii) Trên trường K, phát biểu sau Đa thức bậc bất khả quy Đa thức bậc bậc bất khả quy khơng có nghiệm K Chứng minh Rõ ràng đa thức bậc tích hai đa thức bậc thấp hơn, bất khả quy Giả sử f (x) có nghiệm x = a ∈ K Vì deg f (x) > nên theo kết chứng minh ta có f (x) = (x−a)g(x), g(x) ∈ K[x] degg(x)=deg f (x)1≥1 Do f (x) khả quy Ngược lại, giả sử f (x) khả quy Vì f (x) có bậc nên f (x) phân tích thành tích hai đa thức có bậc thấp hơn, hai đa thức phải có bậc Rõ ràng đa thức bậc trường có nghiệm trường đó, f (x) có nghiệm K. Chú ý phát biểu (ii) bổ đề không cho trường hợp bậc đa thức lớn Cụ thể, f (x) bậc lớn có nghiệm K c ... luận văn trình bày cách tổng quan tính bất khả quy đa thức hệ số nguyên trường Q Trong đó, trình bày số khái niệm biết xung quanh khái niệm đa thức bất khả quy, số tiêu chuẩn bất khả quy đa thức. .. thành tích đa thức bất khả quy Trên trường phức, đa thức bất khả quy đa thức bậc nhất, trường thực đa thức bất khả quy đa thức bậc bậc hai Trên trường hữu tỷ đa thức bất khả quy không đơn giản... nhân đa thức Vành V [x] gọi vành đa thức biến x với hệ số V Phần tử không vành đa thức 0, phần tử đơn vị vành đa thức 1.1.2 Đa thức bất khả quy Trước trình bày khái niệm đa thức bất khả quy,