029 đề HSG toán 9 kim thành 2012 2013

PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HUYỆN KIM THÀNH ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI HUYỆN NĂM HỌC 2012 – 2013 Mơn: Tốn Thời gian làm bài: 120 phút Đề gồm 01 trang Bài 1: (4,0 điểm) a) Rút gọn biểu thức A = x 9 x  x 1   x 5 x 6 x  3 x b) Cho x, y, z thoả mãn: xy + yz + xz = Hãy tính giá trị biểu thức: A = x (1  y )(1  z ) (1  z )(1  x ) (1  x )(1  y )  y  z (1  x ) (1  y ) (1  z ) Bài 2: (3,0 điểm) a) Cho hàm số : f(x) = (x3 + 12x – 31)2012 Tính f(a) a = 16   16  b) Tìm số tự nhiên n cho n2 + 17 số phương? Bài 3: (4,0 điểm) Giải phương trình sau: a)  x   x  b) x2  x   2 x  Bài 4: (3,0 điểm) a) Tìm x; y thỏa mãn:  x y   y x    xy b) Cho a; b; c số thuộc đoạn  1; 2 thỏa mãn: a2 + b2 + c2 = chứng minh rằng: a+b+c  Bài 5: (6,0 điểm) Cho tam giác ABC nhọn; đường cao AK; BD; CE cắt H a) Chứng minh: KC AC  CB  BA2  KB CB  BA2  AC b) Giả sử: HK = AK Chứng minh rằng: tanB.tanC = 3 c) Giả sử SABC = 120 cm2 BÂC = 600 Hãy tính diện tích tam giác ADE? TRƯỜNG THCS THƯỢNG VŨ HƯỚNG DẪN GIẢI ĐỀ THI HSG HUYỆN KIM THÀNH Tổ KHTN NĂM HỌC 2012 – 2013 Mơn: Tốn Thời gian: 120’ Câu 1: (4 điểm) a/ Rút gọn biểu thức A = x 9 x  x 1   x 5 x 6 x  3 x ĐKXĐ: x  4; x  A x 9  x 2 =    x 3  x   x 1   x  x 1 x   x   2x  x     x 2 x 3 x 2 x 3   x  3 x 2 =    x x 2 x 2  x 3  x 1 x 3 b/ Cho x, y, z thoả mãn: xy + yz + xz = Hãy tính: A = x (1  y )(1  z ) (1  z )(1  x ) (1  x )(1  y )  y  z (1  x ) (1  y ) (1  z ) Gợi ý: xy + yz + xz =  + x2 = xy + yz + xz + x2 = y(x + z) + x(x + z) = (x + z)(x + y) Tương tự: + y2 = …; + z2 = … Câu 2: (3 điểm) a/ Cho hàm số : f(x) = (x3 + 12x – 31)2012 Tính f(a) a = 16   16  b/ Tìm số tự nhiên n cho n2 + 17 số phương? Giải a/Từ a= 16   16      a3  32  3 16  16   16   16    32  12a nên a + 12a =   32 Vậy f(a) = b/ Giả sử: n2 + 17 = k2 (k  ) k > n  (k – n)(k + n) = 17  k  n  n8  k  n  17 Vậy với n = thỏa mãn yêu cầu toán Câu 3: (4 điểm) Giải phương trình sau: a/  x   x  b/ x2  x   2 x  Giải a/ ĐK: 4  x  Bình phương vế:  x   x  (1  x)(4  x)   (1  x)(4  x)  x  (thỏa mãn)   3x  x   x( x  3)     x  3 Vậy phương trình có nghiệm: x = 0; x = -3 b/ x2  x   2 x  ĐKXĐ: x     3   x2  2x   x   2 x      x  1    x 1  2x  1     x  1 phương trình có nghiệm x      x = -1 Câu 4: (3 điểm) a/ Tìm x; y thỏa mãn:  x y   y x    xy b/ Cho a; b; c số thuộc đoạn  1; 2 thỏa mãn: a2 + b2 + c2 = chứng minh rằng: a + b + c  Giải a/  x y   y x    xy  x.2 y   y.2 x   xy Xét VP = x.2 y   y.2 x  theo BĐT cosi: y4  4 y4 y 4 x4 x  ;2 x    VP  xy = VT 2 2  x   Dấu = xảy khi:   y    x  y 8 b/ Do a; b; c thuộc đoạn  1; 2 nên a +  0; a –  nên (a + 1)(a – 2)  Hay: a2 – a –   a2  a + Tương tự: b2  b + 2; c2  c + Ta có: a2 + b2 + c2  a + b + c + theo đầu bài: a2 + b2 + c2 = nên: a + b + c  Câu 5: (6 điểm) Cho tam giác ABC nhọn; đường cao AK; BD; CE cắt H a/ Chứng minh: KC AC  CB  BA2  KB CB  BA2  AC b/ Giả sử: HK = AK Chứng minh rằng: tanB.tanC = 3 c/ Giả sử SABC = 120 cm2 BÂC = 600 Hãy tính diện tích tam giác ADE? Giải a/ Sử dụng định lý pytago: A AC  CB  BA2 AK  KC  ( BK  CK )2  AB  CB  BA2  AC ( BK  CK )2  BA2  ( AK  KC ) = 2CK  BK CK 2CK (CK  BK ) CK   BK  BK CK BK ( BK  CK ) BK H AK AK ; tanC = BK CK b/ Ta có: tanB = Nên: tanBtanC = B AK (1) BK CK K C Mặt khác ta có: B  HKC mà: tanHKC = Nên tanB = D E KC KH KC KB KB.KC tương tự tanC = (2)  tan B.tan C  KH KH KH Từ (1)(2)   tan B.tan C  Theo gt: HK =  AK     KH  AK  tan B.tan C  3 S AB  c/ Ta chứng minh được: ABC ADE đồng dạng vậy: ABC    (3) S ADE  AD  Mà BÂC = 600 nên ABD  300  AB = 2AD(4) Từ (3)(4) ta có: S ABC   S ADE  30(cm2 ) S ADE ...TRƯỜNG THCS THƯỢNG VŨ HƯỚNG DẪN GIẢI ĐỀ THI HSG HUYỆN KIM THÀNH Tổ KHTN NĂM HỌC 2012 – 2013 Mơn: Tốn Thời gian: 120’ Câu 1: (4 điểm) a/ Rút... k2 (k  ) k > n  (k – n)(k + n) = 17  k  n  n8  k  n  17 Vậy với n = thỏa mãn yêu cầu toán Câu 3: (4 điểm) Giải phương trình sau: a/  x   x  b/ x2  x   2 x  Giải a/ ĐK: 4 