081 đề HSG toán 9 kiên giang 2012 2013

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TỈNH KIÊN GIANG ĐỀ CHÍNH THỨC (Đề thi gồm 01 trang) KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI VÒNG TỈNH LỚP THCS NĂM HỌC 2012-2013 MƠN THI: TỐN Thời gian làm bài: 150 phút (không kể thời gian giao đề) Ngày thi: 01/3/2013 Câu (4 điểm) a) Tìm m để hàm số y   m2  2m  x  m2  nghịch biến đồ thị cắt trục tung điểm có tung độ b) Tìm giá trị nhỏ M  5x2  y2  z2  4x  2xy  z  c) Cho x  y  5 x2  y2  11 Tính x3  y3 Câu (4 điểm) a) Rút gọn : A  x  5x   x  x :  2x 3x 3x  x  (x  2)  x 1 1 b) Cho a, b, c thỏa mãn    a b c abc Tính giá trị biểu thức Q   a 27  b27  b41  c41  c2013  a 2013  2 Câu (4 điểm) a) Giải phương trình : x  10  17  x   2x  y5   2   b) Giải hệ phương trình :  y  2x   x  ;y  5     3x  2y  19 Câu (4 điểm) Cho hình thang ABCD có đáy lớn CD Qua A vẽ AK // BC (K  CD ) qua B kẻ BI // AD ( I  CD ); BI cắt AC F, AK cắt BD E a) Chứng minh KD = CI EF // AB b) Chứng minh AB2  CD.EF Câu (4 điểm) Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O;R) M điểm di động cung BC đường tròn a) Chứng minh : MB + MC = MA b) Xác định vị trí điểm M để tổng MA + MB +MC đạt giá trị lớn c) Gọi H, K, Q hình chiếu M AB, BC, AC; đặt diện tích tam giác ABC S diện tích S’ CMR :MH  MK  MQ  động cung BC 3(S  2S ') M di 3R ĐÁP ÁN HỌC SINH GIỎI KIÊN GIANG 2012-2013 Câu 1.a) Hàm số y   m2  2m  x  m2  nghịch biến  m2  2m   m(m  2)   m   m    m   m       m  (1)  m   m     m    m  Cắt trục tung: m2    m  2 (2) Từ (1) (2)  m  Câu 1b Tìm giá trị nhỏ M  5x2  y2  z2  z  4x  2xy  M  x  2xy  y  4x  4x   z  z   4 1 9    x  y    2x  1   z      2 4  2 Giá trị nhỏ M    x  y    2x    x  y  z   z    Câu 1c Cho x+y= - x2  y2  11 Tính x3  y3 Ta có: x3  y3   x  y   x2  y2  xy   5(11  xy) (1) Mà x  y  5  x2  y2  2xy  25  11  2xy  25  xy  (2) Từ (1) (2)  x3  y3  5.(11  7)  20 Câu 2a Rút gọn: A  x  5x   x  x 3x  x  (x  2)  x 2 :  2x 3x ĐK: 3  x   x  3 x    x A    x  x x(3  x)  (x  2)  x  x  x  x    x  x  x   x x  x   x    x  3 x 3x :2  x 2x  3x 3x :2 3 x 3x 3 x  3x :2 1 1 1 1 ab (a  b)          a b c abc a b abc c ab c(a  b  c)  (a  b)c(a  b  c)  ab(a  b)  (a  b) c(a  b  c)  ab   Câu 2b Ta có :  (a  b) c(a  c)  bc  ab    (a  b) c(a  c)  b(a  c)  a  b  a   b   (a  b)(a  c)(b  c)    b  c    b  c c  a  c  a Thế vào tính Q = Câu 3a Gpt:   3 x  10  17  x  x  10  17  x   33 x  10  17  x  3 (x  10)(17  x).3  27 x  10  (x  10)(17  x)    x  17  2x  y5   2   3b  y  2x   x  ;y  5     3x  2y  19 Đặt  2x   m   m    m  2m     m  1   m  (chọn) m y5 2x    2x   y   2x  y  y5 2x  y  4x  2y  16 x    3x  2y  19 3x  2y  19 y  Giải hệ  Câu A B F E D I K a) Chứng minh KD  CI EF // AB Chứng minh ABID, ABCK hình bình hành  DI  CK (cùng AB)  DI  IK  CK  IK  DK  CI AE AB  EK KD AF AB AFB đồng dạng CFI (g.g)   FC CI Vì AEB đồng dạng KED (g.g)  C AE AF   EF / /KC (Định lý Ta let đảo AKC ) EK FC b) Chứng minh AB2  CD.EF Mà KD = CI  Ta có : KED đồng dạng AEB(g.g) DK DE DK  AB DE  EB    AB EB AB EB (Vì ABCK hình bình hành) DK  KC DB DC DB     (1) AB EB AB EB  Do EF//DI (theo cmt : EF//KC I  KC) DB DI DB AB    (2) (Vì DI = AB) EB EF EB EF DC AB Từ (1) (2)    AB2  DC.EF AB EF  Câu A D O B K H M Q C a) Chứng minh MC+MB=MA Trên MA lấy D cho MD = MB  MBD cân M Góc BMD = góc BCA = 600 (cùng chắn cung AB)  MBD Xét MBC DBA có MB = BD (vì MBD đều) BC = AB (vì ABC đều) Góc MBC = góc DBA (cùng cộng DBC 60 )  MBC  DBA(c  g  c)  MC  DA Mà MB = MD (gt)  MC  MB  MA b) Xác định vi trí M để tổng MA + MB + MC đạt giá trị lớn Ta có MA dây cung (O; R)  MA  2R  MAMB  MC  4R (không đổi) Dấu “ =” xảy  MA đường kính  M điểm cung BC c) CMR: MH  MK  MQ   S  2S '  3R MH.AB MK.BC MQ.AC    S MAB  S MBC  S MAC Ta có : 2  AB.(MH  MK  MQ)  2(S  S') Vì AB cạnh tam giác nội tiếp (O;R)  AB  R  MH  MK  MQ  3(S  2S ') 3R ...ĐÁP ÁN HỌC SINH GIỎI KIÊN GIANG 2012- 2013 Câu 1.a) Hàm số y   m2  2m  x  m2  nghịch biến  m2  2m   m(m  2)   m... 3x  2y  19 Đặt  2x   m   m    m  2m     m  1   m  (chọn) m y5 2x    2x   y   2x  y  y5 2x  y  4x  2y  16 x    3x  2y  19 3x  2y  19 y  Giải... Góc BMD = góc BCA = 600 (cùng chắn cung AB)  MBD Xét MBC DBA có MB = BD (vì MBD đều) BC = AB (vì ABC đều) Góc MBC = góc DBA (cùng cộng DBC 60 )  MBC  DBA(c  g  c)  MC  DA Mà MB