SỞ GIÁO DỤC ĐÀO TẠO THANH HỐ ĐỀ CHÍNH THỨC (Đề gồm có trang) KỲ THI HỌC SINH GIỎI NĂM HỌC 2012 - 2013 Mơn thi : TỐN Thời gian làm :150 phút Câu 1: (2.0 điểm ) x 2 x 3 x 2 x : x 3 x x 5 x 6 2 x Cho biểu thức : A 1/ Rút gọn biểu thức A 2/ Tìm giá trị x để A Câu (2,0 điểm ) Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, cho Parabol (P) : y = ax2 a đường thẳng (d): y = bx + 1/ Tìm giá trị a b để (P) (d) qua điểm M(1; 2) 2/ Với a, b vừa tìm được, chứng minh (P) (d) có điểm chung N khác M Tính diện tích tam giác MON (với O gốc toạ độ) Câu (2.0 điểm) 2 1/ Cho phương trình: x (2m 1) x m m (m tham số) Tìm m để phương trình có hai nghiệm dương phân biệt x 1 y 1 2/ Giải hệ phương trình: 1 x y 1 Câu (3.0 điểm) : Cho A điểm cố định nằm ngồi đường tròn (O) Từ A kẻ tiếp tuyến AP AQ tới đường tròn (P Q tiếp điểm) Đường thẳng qua O vng góc với OP cắt đường thẳng OQ M 1/ Chứng minh rằng: MO = MA 2/ Lấy điểm N cung lớn PQ đường tròn (O) cho tiếp tuyến với (O) N cắt tia AP, AQ B C Chứng minh rằng: a) AB AC BC khơng phụ thuộc vào vị trí điểm N b) Nếu tứ giác BCQP nội tiếp đường tròn PQ//BC Câu (1.0 điểm) Cho x, y số thực dương thoả mãn : Chứng minh : x y 5x2 y xy y Hết -Họ tên thí sinh …………………………………………… Số báo danh: ………………………… Chữ ký giám thị 1: ………………………………… Chữ ký giám thị 2: …………………… Bài giải Câu 1: (2.0 điểm ) x 2 x 3 x 2 x : x 3 x x 5 x 6 2 x Cho biểu thức : A 1/ Rút gọn biểu thức A x 2 x 3 x 2 x A : (ĐK: x 0, x 4, x ) x 3 x x 5 x 6 2 x A=…= x 1 x4 2/ Tìm giá trị x để A x4 x 5 x A 2 x 1 1 x x 3 x x 2 0 x Kết hợp với ĐK x Câu (2,0 điểm ) Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, cho Parabol (P) : y = ax2 a đường thẳng (d): y = bx + 1/ Tìm giá trị a b để (P) (d) qua điểm M(1; 2) M (P) … a = y = 2x2 M (d) … b = y = x + 2/ Với a, b vừa tìm được, chứng minh (P) (d) có điểm chung N khác M Tính diện tích tam giác MON (với O gốc toạ độ) Xét pt hoành độ gđ: 2x2 = x + 2x2 - x - = x 1 y 1 M 1; ; N ; 1 x y 2 2 SMON Sthang S1 S2 0,75 (dvv) Câu (2.0 điểm) 2 1/ Cho phương trình: x (2m 1) x m m (m tham số) Tìm m để phương trình có hai nghiệm dương phân biệt? phương trình có hai nghiệm dương phân biệt m 3 25 m m2 a.c m m b 2m m a x y (1) 2/ Giải hệ phương trình: 1 (ĐK: x 1; y 1) (2) x y 1 (2) x + y = xy (3) Hai vế (1) dương ta bình phương hai vế ta có: x y 22 x 1 y 1 x y xy x y x+y=4 xy=4 Thay (3) vào ta có: x + y = kết hợp với (3) có hệ: Áp dụng hệ thức Vi Ét ta có x; y hai nghiệm pt: X2 - 4x + = x = 2; y = Câu (3.0 điểm) : Cho A điểm cố định nằm ngồi đường tròn (O) Từ A kẻ tiếp tuyến AP AQ tới đường tròn (P Q tiếp điểm) Đường thẳng qua O vng góc với OP cắt đường thẳng OQ M B P N A M O Q C 1/ Chứng minh rằng: MO = MA A1 = O1 A1 = A2 A2 = O1 MAO cân MO = MA 2/ Lấy điểm N cung lớn PQ đường tròn (O) cho tiếp tuyến với (O) N cắt tia AP, AQ B C Chứng minh rằng: a) AB AC BC không phụ thuộc vào vị trí điểm N Theo t/c hai tia tiếp tuyến ta có … AB + AC - BC = … = 2.AP (không đổi) b) Nếu tứ giác BCQP nội tiếp đường tròn PQ//BC Nếu tứ giác BCQP nội tiếp P1 = C1 mà P1 = Q1 C1 = Q1 PQ//BC Câu (1.0 điểm) Cho x, y số thực dương thoả mãn : Chứng minh : x y 5x2 y xy y * Ta có: x y xy y x xy y x y x y x2 y 2 2 2x 2x y * x y y x y x 2x 1 Vì : y > ; x > 2x - > x > 1/2 Thay y 2x vào x2 y 2x 1 2x x3 x x x 3 (1) Ta có: x y x 2x 1 2x 1 3 Vì 2x - > (1) x x x x x x x Mà x x x x3 x x x 3x 2 x 1 x x x 1 x 3 2 Vậy x y x y x x 0; y