PHÒNG GD&ĐT KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN LỚP THCS NĂM HỌC 2012 - 2013 Đề thức Mơn thi: Tốn Thời gian: 150 phút (Khơng kể thời gian giao bài) Bài (5 điểm) a a : Cho biểu thức: A = 1 a a a a a , với a ≥ a Rút gon biểu thức A Thính giá trị biểu thức A a = 2010 -2 2009 Bài (4 điểm) Giải phương trình (x + 1)(x +2)(x + 4)(x + 8) = 28x2 x y 3( x y ) Giải hệ phương trình: x y 1 Bài (4 điểm) Tìm nghiệm nguyên phương trình: y2 = - 2(x6- x3y - 32) Cho tam giác ABC vuông A có phân giác AD Gọi M, N hình chiếu B, C lên đường thẳng AD Chứng minh rằng: 2AD ≤ BM + CN Bài (5 điểm) Cho tam giác ABC vuông cân C Gọi M trung điểm cạnh AB, P điểm cạnh BC; điểm N, L thuộc AP cho CN ┴ AP AL = CN Chứng minh góc MCN góc MAL Chứng minh ∆LMN vng cân Diện tích ∆ ABC gấp lần diện tích ∆MNL, tính góc CAP Bài (2 điểm) Cho a b ab = Chứng minh: a2 b2 4 a b Hết Họ tên thí sinh: Số báo danh: Họ tên chữ ký giá thị Họ tên chữ ký giám thị KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN LỚP THCS PHÒNG GD&ĐT Hướng dẫn chấm mơn tốn Nội dung Câu Câu 1 (3,0đ) 5,0 điểm Với điều kiện a Ta có: Điểm a a : A = 1 1 a a a a a 1 a = a a 1 a : a 1 a ( a )( a ) = = 1,0 a 1 a 1 a : a 1 (a 1)(1 a ) 1,0 a (a 1)(1 a ) (a 1)( a 1) 1 a 2(2,0 đ) Khi a = 2010 -2 2009 = ( 2009 -1)2 Thì A = + ( 2009 1) 2009 1,0 1,0 1,0 Câu (2,0đ) Ta có 4,0 điểm (x + 1)(x +2)(x + 4)(x + 8) = 28x2 (x2+ 9x +8)(x2 +8x + 8) = 28x2 + x = nghiệm phương trình (1) + Với x0 chia hai vế (1) cho x2 ta được: x x (1) ( x 6)( x 9) = 28 Đặt t = x 0,5 x (1) trở thành (t+6)(t+9) = 28 t2 + 15t + 26 = t 2 t 13 Với t = -2 ta có x = - x2 + 2x + = PT vô nghiệm x Với t = -2 ta có x = - 13 x2 +13x + = 0. x = - 13 137 x Vậy phương trình cho có hai nghiệm: x = - 13 137 0,5 0,5 0,5 (2,0 đ) Hệ phương trình: x y 3( x y ) ( x y )( x xy y 3) x y 1 x y 1 Hệ tương đương với tuyển hai hệ phương trình sau: 0,5 x xy y x y (I) (II) x y 1 x y 1 2 0,5 * Giải hệ (I) có nghiệmb (x,y) = ( ; ) 0,25 * Xét hệ (II) từ x+y = -1 ta có y = - x-1 thay vào phương trình đầu hệ (II) ta x2 +x -2 = Phương trình có hai nghiệm: x = -1 x = - Từ ta thấy h ệ (II) có hai ghiệm: (1; - 2); (2; -1) 0,5 1 Kết luận: Hệ cho có nghiêm (x;y) l à: ( ; ); (1; - 2); (2; -1) 2 Câu 1(2,0đ): Ta có: : y2 = - 2(x6- x3y - 32) x6+(y-x3)2 = 64 4,0 điểm => x6 ≤ 64 => -2≤ x ≤2 x Z => x {-1; -2; 1; 0; 1; 2} Xét trường hợp: + x = => (y - x3)2= => y = + x = => (y - x3)2= 63 => y Z => pt khơng có nghiệm ngun + x = => (y - x3)2= => y = y = - + x = - => (y - x3)2= 63 => y Z => pt khơng có nghiệm ngun + x = -2 => (y - x3)2= =>y = - Vậy nghiệm phương trình là: (0;8); (0;-8); (2;8); (-2;-8) 2(2,0đ) Ta có ∆AMB ∆ANC vng cân nên MA = MB NA = NC Nên BM + CN = AM + AN Giả sử: AB ≥AC DC AC 1 DB AB DN DC => DN ≤ DM ∆CDN ∆BDM nên DM DB 0,25 0,5 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0.25 0,5 0,5 Theo tính chất phan giác ta có Câu 5,0điểm Nếu I trung điểm củaMN AD≤ AI AM+AN= 2AI Khi 2AD≤ 2AI - AM+AN = BM + CN (đpcm) 1(1,0đ) 0,5 0,5 Đặt ACP = a => ACN = 900 - a MCN = ACN - 450 = 900 - a - 450 = 450 - a = LAM 2(2,0đ) Do ∆ABC vuông A mà AM trung tuyến nên AM = CM AL = CN (gt) MCN = LAM (c/m trên) Nên ∆AML = ∆CMN => LM = MN AML = CMN =>LMN = 900 - AML + CMN = 900 Vậy tam giác ∆LMN vuông cân M (2,0đ) Do ∆LMN, ∆ABC vuông cân nên: S∆LMN = MN2 S∆ABC = AC2 AC Gọi Q trung điểm AC QM = QN = AC = MN 0,5 0,5 1,0 1,0 S ∆ABC = 4S∆LMN (gt) Từ suy MN = => QMN = 600 QNA = 600 - 450 = 15 Mặt khác AQ = NQ nên CAP = QNA = 150 Câu a b (a b) 2ab 12 Ta có: a b 2,0 điểm a b a b a b 2 1,0 1,0 Áp dụng bất đảng thức Côsi : a b 12 12 a b 4 a b a b 1,0 1,0