De HSG toan 9 cap huyen

PHềNG GD&T THANH CHNG K THI HC SINH GII KHI NM HC 2013 2014 MễN TON Thi gian lm bi: 120 phỳt ẹE CHNH THệ C Bi (2,0 im) a) Rỳt gn biu thc A = +3 + 3+ + ì b) Chng minh B = a5 5a3 + 4a chia ht cho 120 c) Tỡm s nguyờn m C = m2 + m + l s nguyờn Bi (2,0 im) Gii cỏc phng trỡnh sau: a) x +1+ x + = x + b) x 5x + = x c) ( 4x 1) x + = 2x 2x + Bi (2,5 im) a) Tỡm giỏ tr ln nht, nh nht ca biu thc M = 2x + x b) Cho x; y l cỏc s thc tha x y + y x = Tớnh N = x2 + y2 Bi (3,0 im) Cho tam giỏc ABC cú ba gúc nhn, v ng cao AD v BE Gi H l trc tõm ca tam giỏc ABC AD ì a) Chng minh tanB ì tanC = HD BC2 b) Chng minh DH.DA ì c) Gi a, b, c ln lt l di cỏc cnh BC, CA, AB ca tam giỏc ABC A a Sin ì ữ Chng minh rng ữ bc Bi (0, im) Chng minh rng s nguyờn bt k u tn ti 2n s cú tng l mt s chn -Ht n+1 H v tờn thớ sinh: .S bỏo danh: PHềNG GD&T THANH CHNG P N THI HSG MễN: TON NM HC 2013-2014 Thi gian lm bi: 120 phỳt ( khụng k thi gian giao ) TT í Ni dung a +3 A= + + 3+ A= Bi b (2.5 im) c 2( + 3) + ( + 1) + = 2(3 5) ( 1) = 2( + 3) 2+ 6+2 + 2(3 5) 62 2( + 3) 2(3 5) + +3 A= 2 B = a5 5a3 + 4a = a(a4 5a2 + 4) = a(a4 a2 4a2 + 4) = a[a2(a2 1) 4(a2 1)] = a(a2 1)(a2 4) = (a 2)(a 1)a(a + 1)(a + 2) chia ht cho 120 C = m + m + l s nguyờn thỡ m + m + = k (k Ơ * ) 4m + 4m + = 4k (2m + 1) + = 4k (2k) (2m + 1) = (2k + 2m + 1)(2k 2m 1) = Hc sinh tỡm c m = 0; m = a K x , x +1+ x + 3 = x +1 x + + x + + = x +1 4 4 Bi b c 3 x + + = x +1 x + = x + x + + ữ = x + 4 2ữ 1 Vi x Pt vụ nghim; vi x bỡnh phng hai v HS 2 tỡm c x = 2 k: x , x 5x + = x x 6x + + x x + (x 3) + ( x 1) = x = t x + = y phng trỡnh tr thnh (4x 1)y = 2y 2x 4xy y = 2y2 2x 2y2 2x 4xy + y = y(2y +1) 2x(2y + 1) = ( 2y + 1)(y 2x) = y = 2x (vỡ y = 1/2 loi) Bi a x + = 2x x = k: x *)Ta cú M2 = ( 2x + x )2 (22 + 12 )(x + x ) = 25 M 25 M Nu M = thỡ M2 = 25 du bng BT xy x x = Vy max M = x = im 0.25 x = x v 0,5 0.25 0.25 0.5 0.25 0,25 0,25 0.25 0.25 0.25 0.25 0.5 0.25 0.25 0.5 0.5 0,25 b *) Theo trờn thỡ M nhng giỏ tr nh nht ca M khụng bng - vỡ x M vy M = x = K: x; y theo bi ta cú 0.5 x y2 + y x x y2 + y x 0,25 = x y2 + y x x + y2 y2 + x + =1 2 0,25 Du bng xy khi: x = y v y = x hay x2 = y2 hay x2 + y2 = vy N = 0,25 0.25 A E G B H K C D Bi a AD AD AD Ta cú tanB = ; tanC = tanB.tanC = (1) BD DC BD.DC ã ã Xột tam giỏc vuụng ADC v BDH cú DAC vỡ cựng ph vi = DBH gúc C nờn ta cú : ADC : BDH AD BD = AD.DH = DB.DC DC DH AD AD = (2) BD.DC HD Theo cõu a ta cú: DH.DA = DB.DC 0.25 0.25 0,25 AD T (1) v (2) tanB.tanC = HD b 0.5 (DB + DC) BC = 4 1.0 c A M B C F N x Gi Ax l tia phõn giỏc gúc A, k BM; CN ln lt vuụng gúc vi Ax A BM A = suy BM = c.sin AB A A Tng t CN = b.sin ú BM + CN = (b + c).sin 2 Mt khỏc ta luụn cú: BM + CN BF + FC = BC = a A a a A Nờn (b + c).sin a sin b + c b.c ã = sin Ta cú sin MAB Bi Vỡ cú tt c 2n+1 = 2(2n 1) + s nờn cú ớt nht (2n 1) + = 2n s cựng chn hoc cựng l, suy 2n cựng chn hoc cựng l Lu ý: - Hc sinh lm cỏch khỏc nu ỳng cho im ti a - Hc sinh khụng v hỡnh hoc v sai hỡnh thỡ khụng chm bi hỡnh 0.25 0.25 0.5