Từ D vẽ đường thắng song song với BC, cat AC tai M va AB tai K, Tir C vé đường thăng song song với AD, cắt AB tại F, qua F ta lại vẽ đường thăng song song với AC, cắt BC tại P... thăng I
Trang 1
PHONG GIAO DUC VA DAO TAO DE THI HOC SINH GIOI CAP HUYEN
Môn thi: Toan - Lop 8
DE CHINH THUC
HUONG DAN CHAM Bai 1: (Sdiém)
1) Cho biểu thức: A =(b* +c? —a°)’ —4b’e"
a) Phan tich biêu thức A thành nhân tử
b) Chứng minh răng : Nêu a, b, c là độ dài các cạnh của một tam giác thì A < 0
2) Chứng minh răng (n” + 3n + 1)“ — 1 chia hết cho 24 với mọi số tự nhiên n
1) (2 diém) Cho biểu thức =A =(b* +c’ —a’) —4b’e?
a) Phan tích biêu thức A thành nhân tử
A=(b? +c? —a?) — 4b*c? = ( b* +c? — a’)? — (2bc)? 0,5
b)(1 điểm) ;
Chứng minh răng: Néu a, b, c là độ dài các cạnh của một tam giác thì A < 0
Tacó: (b+c+a)>0
0,25
(b—c—a)<0 (BDT trong tam giác)
0,25
(b+c—a)>0 (BDT trong tam giác)
Vậy A<0
0,25 2) (2 điểm)
Chứng minh rằng (n” + 3n + 1)? — 1 chia hét cho 24 với mọi số tự nhiên n
Ta có:
P= (ñ +3n + lỶ - I = (nˆ + 3n)(ñ + 3n + 2) = n(n + 1)(n + 2)(n + 3) 0,5
Tích ba số tự nhiên liên tiếp luôn chia hết cho 3 => P chia hết cho 3 0,5
Tích hai số chan lién tiép chia hét cho 8 = P chia hét cho 8 0,5
P:3,P: §và(3,§)= 1 = P chia hết cho 3.8 = 24 0,5
Bai 2: (2diém)
Cho —+—+—=0 Tính giá trị của biểu thức : M =
Trang 2
M= “In "+ — 3 0.5
1 1 1
1 1
1) Giải phương trinh: — += +— =——
x+5x+6 x+7x+l2 x+9x+20 40
ate >
2) Cho ba sé duong a, b ,c Chitng minh rang :
l l | 3
(x+2)(x+3) (x+3)(x4+4) (x+4)(x+5) 40 0,5
ĐKXĐ: x#-2;x #T—3;x #—4;x #—5 0,5
x†+2 x+3 x+3 x+4 x+4 x4+5 40 ] — l _ 3 0.5 x+2 x+S 40
Ta được phương trình : x” + 7x — 30 = 0 <> (x+10)(x -3) = 0 0.5
=> x = -10, x = 3 ( thoa man dk) :
Vậy phương trình có 2 nghiém: x = -10, x = 3 0.5
Trang 3
2)( 1,5 điểm) Cho ba số dương a, b,c Chứng minh răng :
1 + ] + 1 > 3
a+b b+c c†+a a+b+c -
Giải: vì a,b,c là ba số dương nên :
a+b<a+b+e=
0,5
b†+c<a+b+ec =>
0,25
| > 1
c?a<a+b+c=
0.25
Cộng về theo về của BĐT ta được :
0,5
Bài 4: (5 điểm)
Cho hình vuông ABCD co do dai cạnh là a Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AB, BC
Các đường thăng DN và CM cắt nhau tại I
a/ Chứng minh DN vuông góc với CM
b/ / Chứng minh A47D cân
c/ Tính diện tích tam giác CIN theo a
A M B
H
a) ADNC = ACMB => DNC = CMB => BCM + DNC = 909 1.0
b)
Ke AQ vuông góc với DI tại H.(Q e DC)
Trang 4
thi AH là đường cao của tam giác ADI (1)
= AQ//MC mà AM // QC nên tứ giác AQCM là hình bình hành => AM = 0.5
QC
= Q 1a trung diém DC
ma QH // IC nén H là trung điểm DI => AH là đường trung tuyến của tam
Tur (1) va(2) => A47D cân
ABCM@AICN = S994 = ¿* = (CÀ;
Sicw CN 0.5
Ma CM? = MB? +CB? =CÝ +a =—
= (—y == =-+=5 dodo Sut 5% 38 8h a 3e CN) CN?) a Sine ất 8 Sở (U00
Bài 5: (4 điểm)
Cho hình thang ABCD có đáy nhỏ CD Từ D vẽ đường thắng song song với BC, cat AC tai M va AB tai K, Tir C vé đường thăng song song với AD, cắt AB tại F, qua F ta lại vẽ đường thăng song song với AC, cắt BC tại P Chứng minh rằng
b) Ba đường thắng MP, CF, DB đông quy
D C
E
0,5d
AM
Các tứ giác AFCD, nữ: là các hình bình hành nên 0,5d
AF = BK =DC = FB=AK (3)
CP CM 0,25d
Trang 5
CP CM _ DC_ DC
Từ (4) và ni suy ra : qua P có hai đường thăng IP, PM cùng song song với
AB // DC nén theo tiên đề Ơclít thì ba điểm P, I, M thăng hàng hay MP di 0,5đ
qua giao điểm của CF và DB hay ba đường thang MP, CF, DB đồng quy
Ghi chú:
Mọi
Mọi cách giải khác nếu hợp lý và kết quả đúng vẫn cho điểm tối đa theo biểu điểm đã được thống nhất ở từng câu, từng bài Điểm toàn bài không làm tròn só