PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO DUY TIÊN ĐỀ CHÍNH THỨC KỲ KIỂM TRA CHẤT LƯỢNG HSG LỚP 6,7,8 THCS NĂM HỌC 2012 - 2013 Môn: Toán Thời gian: 120 phút, không kể thời gian giao đề Câu (2 điểm): Cho biểu thức (x − 1) − 2x + 4x x2 + x A= − + : x3 −1 x − 1 x + x 3x + (x − 1) a) Rút gọn biểu thức A b) Tìm giá trị x để A > -1 Câu (5 điểm): Giải phương trình sau: a) x − 2012 x − 2011 x − 2010 x −1 x + + + ×××+ + = 2013 2012 2013 1 1 + + + = x + 3x + x + 5x + x + 7x + 12 x + 9x + 20 Câu (2 điểm): b) Xác định a b để đa thức f (x) = x − 9x + 21x + ax + b chia hết cho đa thức x2 − x − Câu (2,5 điểm): − 21a = − 3a (a tham số) x+7 Tìm giá trị a để phương trình có nghiệm âm Câu (7 điểm): Cho hình vuông ABCD cạnh a, điểm E thuộc cạnh BC, điểm F thuộc cạnh AD cho CE=AF Các đường thẳng AE, BF cắt đường thẳng CD theo thứ tự M, N a) Chứng minh rằng: CM.DN = a2 · b) Gọi K giao điểm NA MB Chứng minh rằng: MKN = 900 Cho phương trình c) Các điểm E F có vị trí MN có độ dài nhỏ nhất? Câu (1,5 điểm): Cho x, y > x + y = Tìm giá trị nhỏ biểu thức: 2 1 1 A = + ÷ + 1 + ÷ x y Hết -Họ tên thí sinh: Số báo danh: Giám thị số Giám thị số 2: Trang PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO DUY TIÊN Câu Câu (2 điểm) KỲ KIỂM TRA CHẤT LƯỢNG HSG LỚP 6,7,8 THCS NĂM HỌC 2012 - 2013 Môn: ToánĐÁPÁN VÀ HƯỚNG DẪN CHẤM Nội dung x ≠ 0, x ≠ 1, x ≠ − ĐKXĐ: Điểm 0.25 x2 +1 a) Rút gọn được: A = x +1 0.25 x2 +1 x2 + x + > −1 ⇔ >0 x +1 x +1 Do x + x + x + phải dấu b) Để A > −1 1 mà x + x + = x + ÷ + > 2 nên x + > ⇔ x > −1 Kết hợp với điều kiện xác định ta có: x > −1, x ≠ 0, x ≠ A > -1 Câu (5 điểm) a) 0.25 0.25 x − 2012 x − 2011 x − 2010 x −1 x + + + ×××+ + = 2013 2012 2013 x − 2012 x − 2011 x − 2010 x −1 x ⇔ − 1÷ + − 1÷+ − 1÷ + ×××+ − 1÷ + − 1÷ = 0.75 2012 2013 x − 2013 x − 2013 x − 2013 x − 2013 x − 2013 + + + ×××+ + =0 2012 2013 1 1 ⇔ (x − 2013) 1 + + + ×××+ + ÷= 2012 2013 ⇔ 1 1 + + ×××+ + ≠0 2012 2013 ⇔ x − 2013 = ⇔ x = 2013 Vậy tập hợp nghiệm pt S = {2013} 1 1 + + + = x + 3x + x + 5x + x + 7x + 12 x + 9x + 20 ĐKXĐ: x ≠ −1, x ≠ −2, x ≠ −3, x ≠ −4, x ≠ −5 0.5 0.25 mà + (1) ⇔ 0.5 0.25 (1) 1 1 + + + = (x + 1)(x + 2) (x + 2)(x + 3) (x + 3)(x + 4) (x + 4)(x + 5) 0.25 (2) 0.5 ⇔ 1 1 1 1 − + − + − + − = (x + 1) (x + 2) (x + 2) (x + 3) (x + 3) (x + 4) (x + 4) (x + 5) 0.5 ⇔ 1 − = (x + 1) (x + 5) 0.25 ⇔ 8(x + 5) − 8(x + 1) = (x + 1)(x + 5) ⇔ 8x + 40 − 8x − = x + 6x + Trang 0.5 0.5 0.25 ⇔ x + 6x − 27 = ⇔ (x − 3)(x + 9) = ⇔ x = (thỏa mãn) x = −9 (thỏa mãn) Vậy tập nghiệm pt S = { − 9, 3} Câu (2 điểm) Gọi thương phép chia đa thức f(x) cho đa thức x − x − P(x) Để đa thức f(x) chia hết cho P(x) ta phải có: x − 9x + 21x + ax + b = (x − x − 2).P(x) ∀x hay x − 9x + 21x + ax + b = (x − 2)(x + 1).P(x) ∀x Vì đẳng thức (1) với x nên Với x = 2, ta có: 24 − 9.23 + 21.2 + 2a + b = ⇔ 2a + b = −28 (2) 0.25 (1) 0.5 0.25 0.25 Với x = -1, ta có: (−1) − 9.(−1)3 + 21.(−1) − a + b = ⇔ b = a − 31 0.25 (3) Thay (3) vào (2) có: 2a + a − 31 = −28 ⇔ a =1 ⇒ b = − 31 = −30 a = Vậy với f(x) chia hết cho x − x − b = − 30 Câu (2.5 điểm) ĐKXĐ: x ≠ −7 Biến đổi pt dạng: (1 − 3a)x = −6 - Nếu a = (2) pt (2) có dạng 0x = −6 (vô lí) ⇒ pt(2) vô nghiệm ⇒ pt cho VN 0.25 0.25 0.25 0.25 0.25 0.25 pt (2) pt bậc ẩn ⇒ pt (2) có nghiệm x = 3a − - Nếu a ≠ Để x nghiệm phương trình cho Để pt có nghiệm âm x < ⇒ mà > ⇒ 3a − < ⇔ a < Vậy với a < ,a ≠ 0.25 ≠ −7 ⇔ a ≠ 3a − 21 0) DN + CM + CD ≥ 3a (Vì CD = a ) hay MN ≥ 3a Dấu "=" xảy DN = CM = a Khi CE = BE hay AF = FD Câu (1,5 điểm): CE AF CM a = = = =1 BE FD AB a 0.5 0.5 0.5 Vậy E F trung điểm BC AD MN có độ dài nhỏ 0.5 3a Ta có 2 1 1 A = 1 + ÷ + 1 + ÷ y x 2 x+ y x+y = 1 + ÷ (Vìx + y = 1) ÷ + 1 + x y 0.25 0.25 Trang 2 y x = 2 + ÷ + 2 + ÷ x y x y x y2 = + + ÷+ + ÷ x y x y y x Vì x, y > ⇒ > 0, > nên áp dụng BĐT cô si ta có: x y x y xy + ≥2 =2 y x yx x y2 x y2 + ≥ =2 y2 x y2 x 0.25 0.25 0.25 ⇒ A ≥ + 4.2 + = 18 x = y ⇔x = y = x + y = Dấu "=" xảy Vậy minA =18 x = y = 0.25 Chú ý: + Điểm toàn không làm tròn + Nếu học sinh làm cách khác cho điểm tối đa tương đương với biểu điểm Trang ... 3) (x + 4) (x + 4) (x + 5) 0.5 ⇔ 1 − = (x + 1) (x + 5) 0.25 ⇔ 8( x + 5) − 8( x + 1) = (x + 1)(x + 5) ⇔ 8x + 40 − 8x − = x + 6x + Trang 0.5 0.5 0.25 ⇔ x + 6x − 27 = ⇔ (x − 3)(x + 9) = ⇔ x = (thỏa... có: ⇒ AB DN BC DN · · Do ∆CMB : ∆DAN (c.g.c) ⇒ CMB = DAN (4) · · Mà DAN + AND = 900 (Vì ∆DADN vuông tai D) 0.75 0.5 0.5 0.75 0.5 0.5 (5) · · Từ (4)(5) ⇒ CMB + AND = 900 0.5 0.5 · Do MKN = 900... 4.2 + = 18 x = y ⇔x = y = x + y = Dấu "=" xảy Vậy minA = 18 x = y = 0.25 Chú ý: + Điểm toàn không làm tròn + Nếu học sinh làm cách khác cho điểm tối đa tương đương với biểu điểm Trang