ĐỀ THI Bài (3đ) a) Phân tích đa thức x3 5x2 8x thành nhân tử b) Tìm giá trị nguyên x để A B biết A 10 x2 x B x c) Cho x y xy Chứng minh : x y 2( x y ) 2 0 y 1 x 1 x y 3 Bài (3đ) Giải phương trình sau a) x x x x 12 b) x 1 x x x x x 2008 2007 2006 2005 2004 2003 Bài (2đ) Cho hình vng ABCD Trên tia đối tia BA lấy điểm E, tia đối tia CB lấy F cho AE = CF a) Chứng minh EDF vuông cân b) Gọi O giao điểm hai đường chéo AC BD Gọi I trung điểm EF Chứng minh O, I, C thẳng hàng Bài 4(2đ) Cho tam giác ABC vuông cân A Các điểm D, E theo thứ tự di chuyển AB, AC cho BD = AE Xác định vị trí điểm D, E cho a) DE có độ dài nhỏ b) Tứ giác BDEC có diện tích nhỏ ĐÁP ÁN ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TOÁN CẤP HUYỆN Bài a) x3 x x x3 x x x x x x2 4x 4 x2 4x 4 x 1 x b) Xét A 10 x x 5x B 2x 2x Với x A B x 3 2x Mà Ư (7) 1;1;7; 7 nên x 5; 2;2;1 A B c) Biến đổi: x4 y x y x y x4 x y y y x3 y 1 x3 1 xy y y 1 x x 1 (do x y y 1 x x y ) x y x y x y x y xy x y y x y yx xy y x x 1 x y x y 1 xy x y xy ( x y ) x y xy x y x x y y x y x x 1 y y 1 x y x y y x xy x y 3 xy x y 3 xy x y x y xy 2 xy 2( x y ) xy x y 3 x2 y Suy điều phải chứng minh Bài a) x x x x 12 đặt y x2 x y y 12 y y y 12 y 6 y y y x x 6 vơ nghiệm x2 x với x x 2 x2 x x2 x x Vậy S 2;1 b) x 1 x x x x x 2008 2007 2006 2005 2004 2003 x 1 x x x x x 1 1 1 1 1 1 2008 2007 2006 2005 2004 2003 x 2009 x 2009 x 2009 x 2009 x 2009 x 2009 2008 2007 2006 2005 2004 2003 1 1 x 2009 0 2008 2007 2006 2005 2004 2003 Vì 1 1 1 x 2009 2008 2007 2006 2005 2004 2003 Bài E I B C F O A D a) Chứng minh EDF vuông cân Ta có ADE CDF (c.g.c) EDF cân D Mặt khác ADE CDF (c.g.c) BED BFD Mà BED DEF BFE 900 BFD DEF BFE 900 EDF 900 Vậy EDF vuông cân b) Chứng minh O, C, I thẳng hàng Theo tính chất đường chéo hình vng CO trung trực BD Mà EDF vuông cân DI EF Tương tự BI EF DI BI I thuộc đường trung trực DB, nên I thuộc đường thẳng CO Hay O, C, I thẳng hàng Bài B D A C E a) DE có độ dài nhỏ Đặt AB = AC = a không đổi ; AE BD x (0 x a) Áp dụng định lý Pytago với ADE vng A có: DE AD AE a x x x 2ax a x ax a 2 a2 a2 a2 2 x 2 a Ta có DE nhỏ DE nhỏ x BD AE a Nên D, E trung điểm AB, AC b) Tứ giác BDEC có diện tích nhỏ 2 Ta có: S ADE AD AE AD.BD AD AB AD 1 AB AB AB AD AD 2 1 AB AB AB AD 2 Vậy S BDEC S ABC S ADE AB AB AB không đổi 8 AD AB AD Do S BDEC AB D,E trung điểm AB, AC