Đỗ Văn Lâm - THCS TT Tân Uyên UBND Huyện tân uyên Kỳ thi học sinh giỏi cấp huyện Phòng giáo dục và đào tạo Năm học: 2011 - 2012 Môn: Toán - lớp 8 Thời gian: 150 phút(Không tính thời gian giao đề) (Đề có 01 trang) Câu 1. (4,0 điểm). Phân tích các đa thức thành nhân tử. a, A = 3x 2 - 8x + 4 b, B = 3x 3 - 7x 2 + 17x - 5 Câu 2. (4,0 điểm). Tính giá trị của biểu thức: 2x 1 2 2x + 3x + 3 P = có giá trị là một số nguyên Câu 3. (4,0 điểm). Cho a > b > 0. So sánh 2 số x, y với: x = 2 1 a 1 a a + + + ; y = 2 1 b 1 b b + + + Câu 4. (4,0 điểm). a, Giải phơng trình sau: 2 2 x 4x 1 x 5x 1 2 x 1 2x 1 + + + = + + b, Chứng minh bất đẳng thức: x 2 + y 2 + 1 xy + x + y Câu 5. (5,0 điểm) Cho hình vuông ABCD. Qua A kẻ hai đờng thẳng vuông góc với nhau lần lợt cắt BC tại P và R, cắt CD tại Q và S. a, Chứng minh rằng: AQR và APS là các tam giác cân. b, QR cắt PS tại H và gọi M, N là trung điểm của QR và PS. Chứng minh tứ giác AMHN là hình chữ nhật. c, Chứng minh P là trực tâm SQR. d, Chứng minh MN là trung trực của AC. e, Chứng minh bốn điểm M, B, N, D thẳng hàng. Đề chính thức Hết Đỗ Văn Lâm - THCS TT Tân Uyên Đáp án Chú ý: Đáp án chỉ mang tính tham khảo Câu 1. Phân tích các đa thức thành nhân tử. Giải a, A = 3x 2 - 8x + 4 = 3x 2 - 6x - 2x + 4 = 3x(x - 2) - 2(x - 2) = (x - 2)(3x - 2) b, B = 3x 3 - 7x 2 + 17x - 5 = x 2 (3x - 1) - 2x(3x - 1) + 5(3x - 1) = (3x - 1)(x 2 - 2x + 5) Câu 2. Tính giá trị của biểu thức: 2x 1 2 2x + 3x + 3 P = có giá trị là một số nguyên. Giải Biểu thức P có nghĩa khi x 1 2 . Khi đó ta có: P = 2 x(2x 1) 2(2x 1) 5 2x 3x 3 5 x 2 2x 1 2x 1 2x 1 + ++ + = = + + P Z khi 5 2x 1 Z 2x - 1 Ư(5) = { 1; 5} x = {- 2; 0; 1; 3} Câu 3. Cho a > b > 0 So sánh 2 số x, y với: x = 2 1 a 1 a a + + + ; y = 2 1 b 1 b b + + + Giải Giả sử x < y 2 1 a 1 a a + + + < 2 1 b 1 b b + + + (Vì: 1 + a + a 2 > 0 và 1 + b + b 2 > 0) (1 + a)(1 + b + b 2 ) < (1 + b)(1 + a + a 2 ) 1 + b + b 2 + a + ab + ab 2 < 1 + a + a 2 + b + ab + a 2 b a 2 - b 2 + a 2 b - ab 2 > 0 (a - b)(a + b) + ab(a - b) > 0 (a - b)(a + b + ab) > 0 (đúng) (vì a > b > 0 a - b > 0 và a + b + ab > 0) Vậy x < y Câu 4. a, Giải phơng trình sau: 2 2 x 4x 1 x 5x 1 2 x 1 2x 1 + + + = + + (*) b, Chứng minh bất đẳng thức: x 2 + y 2 + 1 xy + x + y Giải a, ĐKXĐ: x -1 và x 1 2 . Khi đó ta có: (*) (2x + 1)(x 2 - 4x + 1) + 2(x + 1)(2x + 1) = - (x + 1)(x 2 - 5x + 1) 2x 3 - 8x 2 + 2x + x 2 - 4x + 1 + 4x 2 + 6x + 2 + x 3 - 5x 2 + x + x 2 - 5x + 1 = 0 3x 3 - 7x 2 + 4 = 0 3x 2 (x - 1) - 4(x 2 - 1) = 0 (x - 1)(3x 2 - 4x - 4) = 0 (x - 1)(3x + 2)(x - 2) = 0 x 1 0 x 1 3x 2 0 x 2/3 x 2 0 x 2 = = + = = = = (Thoả mn điều kiện bài toán) Đỗ Văn Lâm - THCS TT Tân Uyên Vậy S = 2 ; 1; 2 3 b, x 2 + y 2 + 1 xy + x + y x 2 - xy + y 2 - x - y + 1 0 x 2 - xy + 2 y 4 - (x - y 2 ) + 1 4 + 2 3y 4 - 3y 2 + 3 4 0 ( ) 2 2 y y 1 3 x x y 2y 1 0 2 2 4 4 + + + ( ) 2 2 y 1 3 x y 1 0 2 2 4 + (đúng với mọi x, y) . Dấu "=" xấy ra khi x = y = 1 Câu 5. Cho hình vuông ABCD. Qua A kẻ hai đờng thẳng vuông góc với nhau lần lợt cắt BC tại P và R, cắt CD tại Q và S. a, Chứng minh rằng: AQR và APS là các tam giác cân. b, QR cắt PS tại H và gọi M, N là trung điểm của QR và PS. Chứng minh tứ giác AMHN là hình chữ nhật. c, Chứng minh P là trực tâm SQR. d, Chứng minh MN là trung trực của AC. e, Chứng minh bốn điểm M, B, N, D thẳng hàng. Giải HS tự ghi GT/KL a, Chứng minh rằng AQS và APS là các tam giác cân. +) Xét DAQ và BAR có: 0 D B 90 (gt) = = BA = DA (cạnh hình vuông ABCD) 2 4 A A = (cùng phụ với 3 A ) DAQ = BAR(g.c.g) AQ = AR (cạnh tơng ứng) AQR cân tại A +) Xét AQS và ARP có: 0 QAS RAP 90 = = AQ = AR (vì AQR cân tại A) AQS ARS = (cùng phụ với góc APR) AQS = ARP (g.c.g) AS = AP APS cân tại A b, QR cắt PS tại H và gọi M, N là trung điểm của QR và PS. C/m tứ giác AMHN là hình chữ nhật. +) Vì SA QP và PC QS R là trực tâm của PQS QH PS MHN = 90 0 (1) +) Vì AQS vuông cân tại A mà M là trung điểm của QR AM cũng là đờng cao trong AQR AM QR 0 AMH 90 = (2) +) Vì AN là đờng trung tuyến trong APS vuông cân tại A AN PS 0 ANH 90 = (3) Từ (1), (2) và (3) AMHN là hình chữ nhật c, Chứng minh P là trực tâm SQR. Xét SQR có: +) SH là đờng cao từ đỉnh S xuống cạnh QR +) RC là đờng cao từ đỉnh R xuống cạnh QS Mà SH RC = {P} P là trực tâm của RQS N M H S Q R P D C B A 4 3 2 1 A B C D P R Q S Đỗ Văn Lâm - THCS TT Tân Uyên d, Chứng minh MN là trung trực của AC. +) AM = MQ = MR (T/c đờng trung tuyến trong vuông cân AQR) +) MC = MQ = MR (T/c đờng trung tuyến trong vuông CQR) MA = MC M thuộc trung trực của AC Tơng tự: +) NA = NP = NS (T/c đờng trung tuyến trong vuông cân APS) +) NC = NP = NS (T/c đờng trung tuyến của CPS) NA = NC N thuộc trung trực của AC Vậy MN là đờng trung trực của AC e, Chứng minh bốn điểm M, B, N, D thẳng hàng. +) Vì ABCD là hình vuông nên BD là trng trực của AC +) MN cũng là trung trực của AC (c/m trên) Đờng thẳng MN trung với đờng thẳng BD M, B, N, D thẳng hàng. . Đỗ Văn Lâm - THCS TT Tân Uyên UBND Huyện tân uyên Kỳ thi học sinh giỏi cấp huyện Phòng giáo dục và đào tạo Năm học: 2011 - 2012 Môn: Toán - lớp 8 Thời gian: 150 phút(Không tính thời. đề) (Đề có 01 trang) Câu 1. (4,0 điểm). Phân tích các đa thức thành nhân tử. a, A = 3x 2 - 8x + 4 b, B = 3x 3 - 7x 2 + 17x - 5 Câu 2. (4,0 điểm). Tính giá trị của biểu thức: 2x 1 2 2x. Đáp án chỉ mang tính tham khảo Câu 1. Phân tích các đa thức thành nhân tử. Giải a, A = 3x 2 - 8x + 4 = 3x 2 - 6x - 2x + 4 = 3x(x - 2) - 2(x - 2) = (x - 2)(3x - 2) b, B = 3x 3 - 7x 2 + 17x