Phòng giáo dục và đào tạo thanh ba đề thi học sinh năng khiếu môn toán lớp 8 năm học 2009 2010 (Thời gian làm bài 120 phút không kể thời gian giao đề) Bài 1. (2điểm) Cho biểu thức x xx x x xx x A 3 13 1 42 :3 1 2 3 2 2 + + + + + = a) Rút gọn A b)Tìm A với x = 2010 c)Tìm x để A < 0 Bài 2. (2điểm) a) Chứng minh hằng đẳng thức ( ) ( ) acbcabcbacbaabccba ++++=++ 222333 .3 b) Chứng minh rằng a 2 +b 2 +c 2 ab+bc+ac với mọi a;b;c Bài 3. (2điểm) a) Chứng minh (x+y)(x+2y)(x+3y)(x+4y) +y 4 là số chính phơng với mọi số nguyên x;y b) Cho a,b,c thỏa mãn =++ =++ 2010 2010 1111 cba cba Chứng minh rằng có một số bằng 2010 Bài 4. (3 điểm) Cho tam giác ABC. Lấy một điểm O bất kì trong tam giác. Các đờng thẳng OA;OB;OC cắt BC;CA;AB tại M;N;P. Chứng minh rằng: a) 1 = NA CN MC BM PB AP b) Tổng OM ON OP AM BN CP + + không phụ thuộc vị trí điểm O Bài 5. (1điểm) Giải phơng trình sau: 2009 2011 3 4 1y y + = Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm. Phòng giáo dục và đào tạo thanh ba Hớng dẫn chấm thi học sinh năng khiếu môn toán lớp 8 năm học 2009 2010 Bài 1. (2điểm) Cho x xx x x xx x A 3 13 1 42 :3 1 2 3 2 2 + + + + + = a)Rút gọn A b)Tìm A với x =2010 c)Tìm x để A < 0 ĐKXĐ x 0; -1; 1 2 x xx x x xx x A 3 13 1 42 :3 1 2 3 2 2 + + + + + = = ( )( ) ( ) ( ) x xx x x xx xxxxx 3 13 42 1 . 13 19612 2 + + + ++++ = 2 2 2 2 8 3 1 1 2 3 1 1 3 (2 4 ) 3 3 3 x x x x x x x x x x x + + + = = b) giá trị của A = 2009 3 c) A < 0 1 3 x < 0 x < 1 0,25đ 0,75đ 0,5đ 0,5đ Bài 2.(2điểm) a) Chứng minh hằng đẳng thức ( ) ( ) acbcabcbacbaabccba ++++=++ 222333 .3 biến đổi vế phải nhân phá ngoặc, rút gọn cho kết quả bằng vế trái b) Chứng minh rằng a 2 +b 2 +c 2 ab+bc+ac với mọi a;b;c chuyển vế nhân hai vế với 2 ta đợc 2a 2 +2b 2 +2c 2 -2ab-2bc-2ac 0 (a-b) 2 + (b-c) 2 +(c-a) 2 0 ( luôn đúng) dấu bằng xảy ra khi a=b=c 1đ 0,75đ 0,25đ Bài 3.(2điểm) a) Chứng minh A = (x+y)(x+2y)(x+3y)(x+4y)+y 4 là số chính phơng với mọi số nguyên x;y Nhân phá ngoặc đợc A= (x 2 +5xy+4y 2 )( x 2 +5xy+6y 2 ) +y 4 đặt x 2 +5xy+5y 2 = m => A= (m-y 2 )(m+y 2 )+y 4 = m 2 = (x 2 +5xy+5y 2 ) 2 vậy A luôn chính phơng với mọi số nguyên x;y b) Cho a,b,c thỏa mãn =++ =++ 2010 2010 1111 cba cba Chứng minh rằng có một số bằng 2010 0,5Đ 0,5Đ Biến đổi =++ =++ 2010 2010 1111 cba cba Thành cbacba ++ =++ 1111 => (ab+bc+ac)(a+b+c)=abc a 2 b+ab 2 +b 2 c+bc 2 +a 2 c+ac 2 +2abc =0 (a+b)(b+c)(c+a) =0 xét các trờng hợp nếu a+b =0 => c=2010 tơng tự với các trờng hợp còn lại 0,5đ 0,25đ 0,25đ Bài 4.(2điểm) Cho tam giác ABC. Lấy một điểm O bất kì trong tam giác. Các đờng thẳng OA;OB;OC cắt BC;CA;AB tại M;N;P. Chứng minh rằng: a) 1 = NA CN MC BM PB AP b) Tổng OM ON OP AM BN CP + + không phụ thuộc vị trí điểm O O N P A B C I M H a) vẽ qua A đờng thẳng song song với BC cắt BN; CP tại H;I ấp dụng định lí Ta lét AH BC NA CN AI AH MC BM BC AI PB AP === ;; thay vào ta có 1 = NA CN MC BM PB AP b) 0,5đ 1đ 0,5đ O A B C M N P D E Kẻ OD; OE song song với AB; AC Ta có AB OD AM OM = ; do tam giác ODE đồng dạng với tam giác ABC nên BC DE AM OM BC DE AB OD ==>= BC BD CP OP BC EC BN ON == ; Thay vào hệ thức đợc 1 OM ON OP DE EC BD AM BN CP BC BC BC + + = + + = 0,5đ 0,5đ Bài 5.(1điểm) Giải phơng trình sau: 2009 2011 3 4 1y y + = Nhận thấy: y=3 hoặc y=4 là nghiệm của phơng trình - Nếu y < 3 thì 4y = 4- y >1 => Phơng trình vô nghiệm - Nếu 3 < y < 4 thì 0 < 3y < 1 và 0 < 4y < 1 Do đó 2009 3y 2009 3y < 3y = y 3 và 2011 4y 2011 4y < 4y = 4-y Suy ra 2009 2011 3 4y y + 2009 2011 3 4y y + < y 3 + 4 y =1 phơng trình vô nghiệm - Nếu y > 4 thì 3y = y 3 > 1 Phơng trình vô nghiệm Vậy phơng trình đã cho có nghiệm y = 3 hoặc y = 4 0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ Lu ý: - Trên đây chỉ là một phơng án nếu học sinh làm cách khác mà đúng thì vẫn cho điểm tối đa -Trong quá trình chấm giám khảo có thể chia nhỏ thang điểm cho phù hợp với bài làm của học sinh. . 4 1y y + = Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm. Phòng giáo dục và đào tạo thanh ba Hớng dẫn chấm thi học sinh năng khiếu môn toán lớp 8 năm học 2009. Phòng giáo dục và đào tạo thanh ba đề thi học sinh năng khiếu môn toán lớp 8 năm học 2009 2010 (Thời gian làm bài 120 phút không kể thời gian giao