Gián án Đề thi HSG Toan 8

Phòng Giáo dục và đào tạo Duy xuyấN Đề kiểm Định chất lợng học sinh khá,giỏi năm học 2009 - 2010 Môn: Toán - lớp 8 (Thời gian làm bài 120 phút) Bi 1:(4 điểm) Cho biu thc: M = + + + 2 1 36 6 4 3 2 xxxx x : + + 2 10 2 2 x x x a. Rỳt gn M b.Tìm x nguyên để M đạt giá lớn nhất. Bi 2:(3 điểm) Cho biu thc: A = ( b 2 + c 2 - a 2 ) 2 - 4b 2 c 2 a. Phõn tớch biu thc A thnh nhõn t. b. Chng minh: Nu a, b, c l di cỏc cnh ca mt tam giỏc thỡ A < 0. Bi 3:(3 điểm) a. Tỡm giỏ tr nh nht ca biu thc sau: A = x 2 + 2y 2 2xy - 4y + 2014 b. Cho cỏc s x,y,z tha món ng thi: x + y + z = 1: x 2 + y 2 + z 2 = 1 v x 3 + y 3 + z 3 = 1. Tớnh tng: S = x 2009 +y 2010 + z 2011 Bài 4:(3 điểm) a. Giải phơng trình: 209 1 2 ++ xx + 3011 1 2 ++ xx + 4213 1 2 ++ xx = 18 1 b. Giải phơng trình với nghiệm là số nguyên: x( x 2 + x + 1) = 4y( y + 1). Bi 5:(7 điểm) Cho tam giác ABC nhọn có các đờng cao AD,BE,CF cắt nhau tại H. a. Tính tổng: HD HE HF AD BE CF + + b. Chứng minh: BH.BE + CH.CF = BC 2 c. Chứng minh: H cách đều ba cạnh tam giác DEF. d. Trên các đoạn HB,HC lấy các điểm M,N tùy ý sao cho HM = CN. Chứng minh đờng trung trực của đoạn MN luôn đi qua một điểm cố định. .Hết Họ và tên thi sinh Số báo danh . Phòng Giáo dục và đào tạo DUY XUYÊN Hớng dẫn chấm môn toán 8 Bài Nội dung Điểm 1 a + + + 2 1 36 6 4 3 2 xxxx x = + + + 2 1 )2(3 6 )2)(2( 2 xxxxx x = 2( 2) ( 2) ( 2)( 2) x x x x x + + + = 6 ( 2)( 2)x x + + + 2 10 2 2 x x x = 2 ( 2)( 2) (10 ) 2 x x x x + + + = 6 2x + M = 6 2 . )2)(2( 6 + + x xx = x 2 1 0,5 0,5 0,5 0,5 b + Nếu x 2 thì M 0 nên M không đạt GTLN. + Vậy x 2, khi đó M có cả Tử và Mẫu đều là số dơng, nên M muốn đạt GTLN thì Mẫu là (2 x) phải là GTNN, Mà (2 x) là số nguyên dơng 2 x = 1 x = 1. Vậy để M đạt GTLN thì giá trị nguyên của x là: 1. 0,5 0,5 0,5 0,5 2 a A = ( b 2 + c 2 - a 2 ) 2 - 4b 2 c 2 = ( b 2 + c 2 - a 2 - 2bc)( b 2 + c 2 - a 2 + 2bc) = 2 2 ( )b c a 2 2 ( )b c a + = (b + c a)(b + c + a)(b c a)(b c + a) 0,5 0,5 0,5 b Ta cú: (b+c a ) >0 ( BT trong tam giỏc) Tơng tự: (b + c +a) >0 ; (b c a ) <0 ; (b + c a ) >0 Vy A< 0 0,5 0,5 0,5 3 a A = x 2 - 2xy + y 2 +y 2 - 4y + 4 + 2010 = (x-y) 2 + (y - 2) 2 + 2010 Do (x-y) 2 0 ; (y - 2) 2 0 Nờn:(x-y) 2 + (y - 2) 2 + 2010 2010 Du ''='' xảy ra x y = 0 v y 2 = 0 x = y = 2. Vy GTNN ca A l 2010 tại x = y =2 0,5 0,5 0,5 b Ta cú: (x + y + z) 3 = x 3 + y 3 + z 3 + 3(x + y)(y + z)(z + x) kt hp cỏc iu kin ó cho ta cú: (x + y)(y + z)(z + x) = 0 Mt trong cỏc tha s ca tớch (x + y)(y + z)(z + x) phi bng 0 Gi s (x + y) = 0, kt hp vi /k: x + y + z = 1 z = 1, lại kt hp vi /k: x 2 + y 2 + z 2 = 1 x = y = 0. Vy trong 3 s x,y,z phi cú 2 s bng 0 v 1 s bng 1, Nờn tng S luụn cú giỏ tr bng 1. 0,5 0,5 0,5 4 a Phơng trình đợc biến đổi thành: (Với ĐKXĐ: { } 4; 5; 6; 7x ) 1 1 1 ( 4)( 5) ( 5)( 6) ( 6)( 7)x x x x x x + + + + + + + + = 1 18 ( 1 1 4 5x x + + ) + ( 1 1 5 6x x + + ) + ( 1 1 6 7x x + + ) = 1 18 1 1 4 7x x + + = 1 18 (x + 4)(x +7) = 54 (x + 13)(x 2) = 0 x = -13 hoặc x = 2 (Thỏa mãn ĐKXĐ) Vậy nghiệm của phơng trình là: S = { } 13;2 0,5 0,5 0,5 0,5 b + Phơng trình đợc biến đổi thành: (x + 1)(x 2 + 1) = (2y + 1) 2 + Ta chứng minh (x + 1) và (x 2 + 1) nguyên tố cùng nhau ! Vì nếu d = UCLN (x+1, x 2 + 1) thì d phải là số lẻ (vì 2y+1 lẻ) 2 1 1 x d x d + + M M 2 2 1 1 x x d x d x d + + + M M M 1 1 x d x d + M M 2 dM mà d lẻ nên d = 1. + Nên muốn (x + 1)(x 2 + 1) là số chính phơng Thì (x+1) và (x 2 + 1) đều phải là số chính phơng Đặt: 2 2 2 1 1 x k x t + = + = (k + x)(k x) = 1 1 0 k x = = hoặc 1 0 k x = = + Với x = 0 thì (2y + 1) 2 = 1 y = 0 hoặc y = -1.(Thỏa mãn pt) Vậy nghiệm của phơng trình là: (x;y) = { } (0;0),(0; 1) 0,25 0,25 0,25 0,25 5 O K I N M E H F A D B C 0,5 a Trớc hết chứng minh: HD AD = ( ) ( ) S HBC S ABC 0,5 0,5 Tơng tự có: ( ) ( ) HE S HCA BE S ABC = ; ( ) ( ) HF S HAB CF S ABC = Nên HD HE HF AD BE CF + + = ( ) ( ) ( ) ( ) S HBC S HCA S HAB S ABC + + HD HE HF AD BE CF + + = 1 0,5 0,5 b Trớc hêt chứng minh BDH : BEC BH.BE = BD.BC Và CDH : CFB CH.CF = CD.CB. BH.BE + CH.CF = BC.(BD + CD) = BC 2 (đpcm) 0,5 0,5 0,5 0,5 c Trớc hết chứng minh: AEF : ABC ã ã AEF ABC= Và CDE : CAB ã ã CED CBA= ã ã AEF CED= mà EB AC nên EB là phân giác của góc DEF. Tơng tự: DA, FC là phân giác của các góc EDF và DFE. Vậy H là giao điểm các đờng phân giác của tam giác DEF nên H cách đều ba cạnh của tam giác DEF (đpcm) 0,5 0,5 0,5 d Gọi O là giao điểm của các đờng trung trực của hai đoạn MN và HC, ta có OMH = ONC (c.c.c) ã ã OHM OCN= .(1) Mặt khác ta cũng có OCH cân tại O nên: ã ã OHC OCH= .(2) Từ (1) và (2) ta có: ã ã OHC OHB= HO là phân giác của góc BHC Vậy O là giao điểm của trung trực đoạn HC và phân giác của góc BHC nên O là điểm cố định. Hay trung trực của đoạn MN luôn đi qua một điểm cố định là O. 0,25 0,25 O,25 0,25 Chú ý: + Hớng dẫn chấm này có 3 trang, chấm theo thang điểm 20. + Điểm toàn bài là tổng các điểm thành phần không làm tròn. + Bài số 5 phải có hình vẽ đúng mới chấm. + Mọi cách làm khác đúng cũng cho điểm tối đa tơng ứng với từng nội dung của bài đó. . Phòng Giáo dục và đào tạo Duy xuyấN Đề kiểm Định chất lợng học sinh khá,giỏi năm học 2009 - 2010 Môn: Toán - lớp 8 (Thời gian làm bài 120 phút) . x x x + + + + + + + + = 1 18 ( 1 1 4 5x x + + ) + ( 1 1 5 6x x + + ) + ( 1 1 6 7x x + + ) = 1 18 1 1 4 7x x + + = 1 18 (x + 4)(x +7) = 54 (x +