Gián án Đề thi HSG toán 9 (2009-2010)

Câu 1 (2,0 điểm) Cho + = + + 2 x 2 5 1 A x 3 x x 6 x 2 a. Rút gọn biểu thức A. b. Tính giá trị của A biết 2 x 2 3 = + Câu 2 (2,0 điểm) Cho hệ phơng trình (a 1) x y 3 a x y a + ì = ì + = a. Giải hệ phơng trình khi a 2= b. Xác định giá trị của a để hệ có nghiệm duy nhất thỏa mãn x + y > 0. Câu 3 (2,0 điểm) a. Cho 2 2 x 6x 13 x 6x 10 1 + + = Hãy tính giá trị của 2 2 A x 6x 13 x 6x 10= + + + b. Tìm nghiệm nguyên dơng của phơng trình (x + 2y)(3x + 4y) = 96 Câu 4 (3,0 điểm) Cho ABC nhọn (AB < AC) nội tiếp đờng tròn tâm O. Đờng phân giác góc trong A cắt cạnh BC ở D; cắt đờng tròn tâm O ở M. a. Chứng minh rằng ã ã ã BMC ABC ACB= + b. MB MC MD MAì = ì c. Kẻ đờng cao AH ( ) H BC . Chứng minh rằng ã ã ã OAH ABC ACB= Câu 5 (1,0 điểm) Cho P x 2 xy 3y 2 x 1= + + . Tìm giá trị nhỏ nhất của P ---------------------------------------------------------------------- Họ và tên: SBD Chữ kí GT 1: . phòng giáo dục & đào tạo kì thi chọn học sinh giỏi cấp huyện môn thi: toán Thời gian làm bài 150 phút ---------------------- §¸p ¸n - M«n To¸n (HS cã thÓ chøng minh c¸ch kh¸c) C©u Néi dung §iÓm 1 a §k: x 3; 2≠ − 0.25 x 2 5 1 A x 3 (x 2)(x 3) x 2 + = − − + − + − 0.25 (x 2)(x 2) 5 (x 3) A (x 2)(x 3) + − − − + = − + 0.25 x 4 A x 2 − = − 0.25 b V× x > 0; ta cã 2 2 x 4 2 3 2 3 = = − + 0.25 x 3 1= − 0.25 Thay vµo biÓu thøc 3 1 4 3 5 A 3 1 2 3 3 − − − = = − − − 0.25 ( 3 5)( 3 3) 3 6 A 3 ( 3 3)( 3 3) − + + = = − + 0.25 2 a Thay a 2= − ta ®îc hÖ (1 2) x y 3 (1) 2 x y 2 (2)  − × − =   − × + = −   0.25 (1 2 2) x 3 2 2 x y 2  − × = −  ⇔  − × + = −   0.25 3 2 x 1 2 2 2 2 2 y 1 2 2  − =  −  ⇔  +  =  −  KÕt luËn 0.5 b (a 1) x y 3 (1) (2a 1) x a 3 a x y a (2) a x y a + × − = + × = +   ⇔   × + = × + =   0.25 2 1 3 2 2 1 2 2 1 + ≠ − ⇒ = + − = + a a x a a a y a 0.25 Ta có 2 2 3 2 3 2 1 2 1 2 1 + + + = + = + + + a a a a a x y a a a Ta có a 2 - a + 3 > 0 nên x + y > 0 khi 2a + 1 > 0 Hay 1 2 > a (Thỏa mãn) Kết luận 0.5 3 a Đặt 2 x 6x 13 a + = ; 2 x 6x 10 b + = 0.25 -> a 2 - b 2 = 3 0.25 -> (a - b)(a + b) = 3; Ta có a - b = 1 -> 1.(a + b) = 3 0.25 Vậy 2 2 x 6x 13 x 6x 10 + + + = 3 0.25 b Ta có (x + 2y)(3x + 4y) = 96; x + 2y + 3x + 4y = 4x + 6y Nên (x + 2y) và (3x + 4y) là chẵn; Mặt khác 2 < x + 2y < 3x + 4y Vì vậy ta xét 96 = 4.24 = 6.16 = 8.12 0.25 Xét các trờng hợp: + = = + = = x 2y 4 x 16 (Loại) 3x 4y 24 y 6 + = = + = = x 2y 6 x 4 (Thỏa mãn) 3x 4y 16 y 1 + = = + = = x 2y 8 x 4 (Loại) 3x 4y 12 y 6 0.5 Kết luận 0.25 4 Vẽ hình 0.25 a Ta có ã ã ABC AMC= (góc nội tiếp chắn ằ AC ) 0.25 E O D H M C B A ã ã ACB AMB= (góc nội tiếp chắn ằ AB ) 0.25 Cộng vế với vế - Kết luận 0.25 b Ta có ã ã ẳ ẳ BAM CAM (gt) MB MC MB MC (1)= = = 0.25 Xét ã ã ã = AMB chung MBD và MAB có MBD MAB MBD MAB (gg) MB MA MD MB = MB.MB = MA.MD (2) 0.5 Từ (1) và (2) MB MC MD MAì = ì 0.25 c Kẻ đờng thẳng BE AO, E (O) ằ ằ ã ã AB AE ACB ABE = = (1) (Hai góc nội tiếp chắn 2 cung bằng nhau) 0.25 Mặt khác ã ã OAH CBE= (2) (Hai góc có cạnh tơng ứng vuông góc) 0.25 Ta lại có ã ã ã ABE CBE ABC+ = (3) (vì tia BE nằm giữa 2 tia BA và BC) 0.25 Từ (1); (2); và (3) ã ã ã ACB OAH ABC + = Hay ã ã ã OAH ABC ACB= 0.25 5 ĐK x; y 0 P x 2 xy y 1 2 x 2 y 2 y 2y= + + + + 0.25 2 P ( x y) 1 2( x y ) 2 y 2y= + + 0.25 2 2 1 1 P ( x y 1) (2 y 1) 2 2 = + 0.25 1 1 9 P y ; x 2 4 4 = = Kết luận 0.25 S . 1: . phòng giáo dục & đào tạo kì thi chọn học sinh giỏi cấp huyện môn thi: toán Thời gian làm bài 150 phút ---------------------- . + 2y)(3x + 4y) = 96 ; x + 2y + 3x + 4y = 4x + 6y Nên (x + 2y) và (3x + 4y) là chẵn; Mặt khác 2 < x + 2y < 3x + 4y Vì vậy ta xét 96 = 4.24 = 6.16 =