Đáp án đề thi HSG khối 9 PGD Thanh Chương

m+1 m-3 B

m+1

O

PHÒNG GD&ĐT THANH CHƯƠNG

ĐÁP ÁN ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI KHỐI 9 - CẤP HUYỆN NĂM HỌC 2008-2009

MÔN THI: TOÁN (Thời gian làm bài 120 phút)

chú

3 2 2 ( 6) ( 3 2 2) 3 2 2 6 (3 2 2)

A = (3 2 2)(3 2 2)   9 (2 2) 2 1

0.5 0.5

2.0 b

2008 2014 2008 4016 3 2009

2005.2007.2010.2011

Đặt x = 2008, khi đó

B =      

       

x x 6 x 2x 3 x 1

x 3 x 1 x 2 x 3

         

       

x 2 x 3 x 3 x 1 x 1

x 3 x 1 x 2 x 3

    = x + 1 = 2009

0.25 0.25 0.5

y = (m – 3)x + (m + 1)

Giả sử M(x0; y0) là điểm cố định của đồ thị hàm số, ta có:

y0 = mx0 – 3x0 + m+ 1 thỏa mãn với mọi giá trị của m

( 1) (1 3 ) 0,

  Vậy điểm cố định cần tìm M(-1; 4)

0.25 0.25

1.5

b

Ta có: Đồ thị là đường thẳng cắt hai trục tọa độ khi m – 3  0 m3

SABO =1 1 1 1

m m m



 2

(m 1) 2m 3

Nếu m> 3  m2 +2m +1 = 2m -6  m2 = -7 ( loại)

Nếu m < 3  m2 +2m +1 = 6 – 2m  m2 + 4m – 5 =0

(m – 1)(m + +5) = 0  m = 1; m = -5

0.5

0.5

3 a Hai vế BĐT không âm nên bình phương hai vế ta có:

a2 + b2 +c2 + d2 +2 (a2b c2)( 2d2) a2 +2ac + c2 + b2 + 2bd + d2

 (a2 b c2)( 2d2)  ac + bd (1)

Nếu ac + bd < 0 thì BĐT được c/m

Nếu ac + bd 0 (1)  ( a2 + b2 )(c2 + d2) a2c2 + b2d2 +2acbd

a2c2 + a2d2 + b2c2 + b2d2  a2c2 + b2d2 +2acbd

 a2d2 + b2c2 – 2abcd  0  (ad – bc)2  0 ( luôn đúng)

Dấu “=” xẩy ra  ad = bc  a c

Áp dụng: xét vế trái VT = (x1)222  (3 x)212  (x  1 3 x)2(2 1) 2

0.5

0.5

0.25 0.25

1.5

N

C D

M

Mà VP = 5, vậy dấu bằng xẩy ra  1 3 5

1 6 2

b.

Điều kiện: x 0

Q = ( 9) 25 3 25 6

x

x

 

25

3

x



Vậy Qmin = 4; Dấu “=” xẩy ra  25

3

x

 (TM điều kiện)

0.75 0.25

1.0

4

Hình vẽ chính xác

Gọi H là giao của AM và CN Xét AMBvà CNB là hai tam giác vuông có:

AB = CB (Cạnh hình vuông)

BM = BN (gt)

 AMB= CNB (c-g-c)

Xét trong AMBvà CMH có:

 CHM ABM 900hay ACH 900

 H thuộc đường tròn có đường kính AC

(tức H thuộc đường tròn ngoại tiếp ABCD)

Vậy AM, CN và đường tròn ngoại tiếp ABCD đồng quy tại H

0.2

0.5

0.5 0.3

1.5

5

Hình vẽ

Đặt AM = x (0 < x < c)

Ta có: MN = AM MN =ax

0 c - x 3

MQ = BM.sin60 =

2 Suy ra diện tích của MNPQ là:

 

ax c - x 3 a 3

S = = x c - x

+ Ta có bất đẳng thức:

2

ab ab (a > 0, b > 0)

Áp dụng, ta có:

2 2

x + c - x c x(c - x) =

Dấu đẳng thức xảy ra khi: x = c - x x = c

2

Suy ra:

2

a 3 c ac 3

2c 4 8

 Vậy: Smax =ac 3

8 khi x = c

2 hay M là trung điểm của cạnh AB

0.2 0.2 0.3

0.3 0.25

0.5 0.25 0.5

2.5

A

P Q

0 60

x