Đề&Đáp án HSG Toán 8

Phòng giáo dục Bỉm sơn Đề thi học sinh giỏi lớp 8 (Thời gian 120 phút không kể thời gian giao đề) Câu1:( 5điểm) 1.Chứng minh rằng: (a+b+c) 3 -(a 3 +b 3 +c 3 ) Chia hết cho 24 nếu a,b,c cùng tính chẵn lẻ. 2.So sánh : 1100 1100 14 14 . 13 13 . 12 12 A 3 3 3 3 3 3 3 3 + + + + = Với 2 3 Câu 2:(3điểm) Cho a,b,c là ba cạnh của tam giác và a+b+c=2. Chứng minh : a 2 +b 2 +c 2 +2abc<2. Câu 3: (4điểm)Tìm x,y,z Z + thỏa mãn các phơng trình sau: 1/ xy-4x=35-5y 2/ x+y+z=xyz Câu 4:(4điểm) 1/ Biết : 4x-3y=7 tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức M=2x 2 +5y 2 2/ Cho a+b=1 Chứng minh: 3ba )2ab(2 1a b 1b a 2233 + = + Câu 5: (4điểm) Trên đờng chéo BD của hình vuông ABCD lấy điểm M. Từ M kẻ đờng thảng ME vuông góc với AB; MF vông góc với AD (E ADF;AB ). Chứng minh : Các đờng thẳng BF,CMvà DE đồng quy. Hết . đáp án Câu 1:1 Biến đổi: B= (a+b+c) 3 -(a 3 +b 3 +c 3 )=3(a+b)(b+c)(c+a) 3 * a,b,c chẵn thi a+b; b+c ;c+a đều là các số chẵn nên B 8 * a,b,c lẻ thì a+b; b+c; c+a đều là các số chẵn nên B 8 Mà (3;8)=1 B 24 2: Ta có: 1100 1100 14 14 . 13 13 . 12 12 A 3 3 3 3 3 3 3 3 + + + + = = 10101.99 9901.101 . 21.3 13.5 . 13.2 7.4 . 7.1 3.3 A= 10101 21.13.7 9001 .13.7.3 . 99 4.3.2.1 101 .5.4.3 = 10101 10100 . 2 3 10101 3 . 2 101.100 = < 2 3 Câu2: a+b+c=2 mà a,b,c là các cạnh của tam giác nên a,b,c >0 a<1,b<1,c<1 (1-a) (1-b)(1-c)>0 1-(a+b+c)+ab+ac+bc-abc>0 -1+ 0abc 2 cba bcacab 2 cba 222222 > ++ +++ ++ -1+ ( ) 0abc 2 cba 2 cba 222 2 > ++ ++ 1 0abc 2 cba 222 > ++ Hay : a 2 +b 2 +c 2 +2abc<2. Câu 3:1/ Biến đổi phơng trình về dạng (x+5)(y-4)=15 xét các trờng hợp và loại ta có các cặp (x,y) cần tìm là (10;5); (0;7) 2/ Không mất tính tổng quát ta giả sử 0<x zy Suy ra : xyz=x+y+z 3xyz3 (*) Nếu x=y=z 3x;0xxx3 23 === Không thỏa mãn suy ra ít nhất hai trong ba Sốkhông bằng nhau. Từ (*) 1xy3xy = hoặc xy=2. Nếu xy=1 1yx == (vì x,y + Z ) 2zz += (vô lí ). Nếu xy=2 2y;1x == (vì x<y) Khi đó :2z=z+3 3z = Vây bộ (1;2;3) là cần tìm và các hoán vị của nó. Câu 4: 1/Có x= 4 y37 + khi đó M= 8 49y42y49 2 ++ = ( ) 55 8 3y7 2 + + Vậy Mmin =5 khi y= 7 3 2/Có a=1-b Vế trái : ( ) 3b3b 1 1bb 1 1b1 b 1b b1 1a b 1b a 22 3 333 + ++ = + = + = ( ) ][ ( ) ( ) 3ba 2ab2 3b1b 2b1b2 22 2 2 + = + Suy ra ddpcm Câu 5:Goi giao điểm của EM và DC ; FM và BC ; BF và DE lần lợt là E / ;F / và O Ta có các hình chũ nhật MEAF và ME / CF / bằng nhau MEFMCEMCEEFM // == EFCM (1). Mặt khác hình chữ nhật AE E / D bằng hình chữ nhật CF / FD DECFDCFADEDFCAED == .Tơng tự có:FB 0CE là trực tâm tam giác CEF EFCO (2).Từ (1)và(2) C,M,O thẳng hàng, hay DE,CM,BF đồng quy. A B C D M O F / / E / F E . 3z = Vây bộ (1;2;3) là cần tìm và các hoán vị của nó. Câu 4: 1/Có x= 4 y37 + khi đó M= 8 49y42y49 2 ++ = ( ) 55 8 3y7 2 + + Vậy Mmin =5 khi y= 7 3 2/Có. số chẵn nên B 8 * a,b,c lẻ thì a+b; b+c; c+a đều là các số chẵn nên B 8 Mà (3 ;8) =1 B 24 2: Ta có: 1100 1100 14 14 . 13 13 . 12 12 A 3 3 3 3 3 3