PHÒNG GDĐT BÌNH GIANGĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI VÒNG INĂM HỌC 20122013MÔN: TOÁN LỚP 9(Thời gian làm bài: 150 phút)ĐỀ BÀI Hết PHÒNG GDĐT BÌNH GIANGHƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI VÒNG INĂM HỌC 2012 2013MÔN: TOÁN LỚP 9(Thời gian làm bài: 150 phút)CâuPhầnNội dungĐiểmCâu I(2,0 điểm)1(1,0 đ) 0.250.250.250.252(1,0 đ)Xét Do 0.500.250.25Câu II(2,0 điểm)1(1,0 đ)ĐKXĐ: Đặt Với (TMĐK)0.250.250.250.252(1,0 đ)ĐKXĐ: (1)Vì . Để (1) xẩy ra thì 0.250.250.250.25Câu III(2,0 điểm)1(1,0 đ)Theo bài ra: mà x, x + 1 là số nguyên liên tiếp nên là số chẵn p là số chẵn. Mặt khác p là số nguyên tố nên p = 2 x = 1 hoặc x = 2 (TM)0.250.250.502(1,0 đ)Để hàm số nghịch biến thì (1). (1) 0.250.250.250.25Câu IV(3,0 điểm)1a(1,0 đ) Vì B, C thuộc đường tròn đường kính AK (gt) là hình bình hànhI là trung điểm của BC (gt) là trung điểm của HKO là trung điểm của AK (gt) là đường trung bìnhcủa 0.250.250.250.251b(1,0 đ) cân tại O (Tc góc ngoài của tam giác) Chứng minh tương tự: cân tại O Vì I là trung điểm của BC (gt) Trong : 0.250.250.250.252(1,0 đ) Cm được AB + AC = 2r + a BĐT (1) đúng , dấu “=” xảy ra khi vcân tại A.0.250.250.250.25Câu V(1,0 điểm)(1,0 đ)Do , đặt với x = 1 + a – 3y, thay vào biểu thức C: . khi: 0.250.500.25Lưu ý: Học sinh làm cách khác đúng vẫn cho điểm tối đa. Hết PHÒNG GIÁO DỤC ĐÀO TẠO HUYỆN KIM THÀNHĐỀ CHÍNH THỨCKÌ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI NĂM HỌC 20122013Môn thi: TOÁN Lớp 9 THCS Thời gian: 120 phút (không kể thời gian giao đề)ĐỀ BÀIBài 1: (4,0 điểm)a) Rút gọn biểu thức A = b) Cho x, y, z thoả mãn: xy + yz + xz = 1.Hãy tính giá trị biểu thức: A = Bài 2: (3,0 điểm)a) Cho hàm số : f(x) = (x3 + 12x – 31)2012Tính f(a) tại a = b) Tìm số tự nhiên n sao cho n2 + 17 là số chính phương?Bài 3: (4,0 điểm)Giải các phương trình sau:a) b) Bài 4: (3,0 điểm)a) Tìm x; y thỏa mãn: b) Cho a; b; c là các số thuộc đoạn thỏa mãn: a2 + b2 + c2 = 6 hãy chứng minh rằng: a + b + c 0Bài 5: (6,0 điểm)Cho tam giác ABC nhọn; các đường cao AK; BD; CE cắt nhau tại H.a) Chứng minh: b) Giả sử: HK = AK. Chứng minh rằng: tanB.tanC = 3c) Giả sử SABC = 120 cm2 và BÂC = 600. Hãy tính diện tích tam giác ADE?
PHỊNG GD&ĐT BÌNH GIANG ĐỀ CHÍNH THỨC ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI VỊNG I NĂM HỌC 2012-2013 MƠN: TỐN - LỚP (Thời gian làm bài: 150 phút) ĐỀ BÀI - Hết PHỊNG GD&ĐT BÌNH GIANG Câu Phần Nội dung A= A= (1,0 đ) Câu I (2,0 điểm) HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI VÒNG I NĂM HỌC 2012 - 2013 MƠN: TỐN - LỚP (Thời gian làm bài: 150 phút) A= x+2 ( )( + ) x −1 x + x +1 Điểm x +1 − x + x +1 x −1 0.25 x + + x − 1− x − x − ( ( )( ) x −1 x + x +1 0.25 x− x )( ) x ( x − 1) A= = x − x + x + ( )( ) x+ x −1 x + x +1 Xét − A = − 3 x , v?i x ≥ 0, x ≠ x +1 ( ) 0.25 0.25 x −1 x = x + x + 3(x + x + 1) 0.50 Do x ≥ 0, x ≠ 2 (1,0 đ) ⇒ ( x − 1) > x + x + = x + ÷ + > 2 1 ⇒ −A >0⇔ A < 3 Câu II (2,0 điểm) 0.25 0.25 ĐKXĐ: x ≥ 15 x − x − 15 = 17 ⇔ x − 15 − x − 15 − = Đặt t = x − 15 (t ≥ 0) ⇒ t − t − = t = ( TM§ K ) (1,0 đ) ⇔ ( t − 2) ( t + 1) = ⇔ t = −1 ( lo¹i ) 0.25 0.25 0.25 Với t = ⇒ x − 15 = ⇔ x − 15 = ⇔ x = 19 (TMĐK) ĐKXĐ: x ≥ (1,0 đ) 5x − x ( + y ) + y + = ⇔ 4x − x + + x − 2y x + y = ( ) ( x − y ) = (1) Vì ( x − 1) ≥ 0, ( x − y ) ≥ ∀x ≥ 0, y ⇒ ( x − 1) + ( x − y ) ≥ ⇔ x −1 + 2 0.25 0.25 0.25 2 0.25 2 x − = x = ⇔ (TM) Để (1) xẩy x − y = y = Theo ra: p = x + x = x ( x + 1) mà x, x + số nguyên 0.25 0.25 liên tiếp nên x ( x + 1) số chẵn ⇒ p số chẵn (1,0 đ) Mặt khác p số nguyên tố nên p = 0.25 ⇒ x + x − = ⇔ ( x + ) ( x − 1) = ⇔ x = x = - (TM) 0.50 Để hàm số y = m − 2013m + 2012 x − 2011 nghịch biến m − 2m + m − 2013m + 2012 ∀m 2 (1) ⇔ m − 2013m + 2012 < ⇔ ( m − 1) ( m − 2012 ) < (1,0 đ) m − > m > m − 2012 < m < 2012 ⇔ ⇔ m − < m < m − 2012 > m > 2012 ⇒ < m < 2012 0.25 0.25 0.25 0.25 Câu IV (3,0 điểm) Vì B, C thuộc đường tròn đường kính AK · · ⇒ ABK = ACK = 900 ⇒ KB ⊥ AB, KC ⊥ AC CH ⊥ AB, BH ⊥ AC (gt) ⇒ BK // CH, CK // BH ⇒ BHCK hình bình hành 1a (1,0 đ) I trung điểm BC (gt) ⇒ I trung điểm HK O trung điểm AK (gt) ⇒ OI đường trung bình ∆KAH ⇒ OI = AH ⇒ AH = 2.IO · · 1b OA = OC ⇒ ∆OAC cân O ⇒ OAC = OCA · · · (1,0 đ) KOC (T/c góc ngồi tam giác) = OAC + OCA 0.25 0.25 0.25 0.25 · · ⇒ KOC = 2.OAC 0.25 · · Chứng minh tương tự: KOB = 2.OAB ( ) · · · · · · ⇒ KOC + KOB = OAC + OAB ⇒ BOC = 2.BAC = 1200 ( ) · = 1800 − 1200 : = 300 OB = OC ⇒ ∆OBC cân O ⇒ OCI Vì I trung điểm BC (gt) ⇒ OI ⊥ BC ( ) I = 900 : IC = OC.cos300 = R ⇒ BC = R Trong ∆OIC $ r −1 ≤ ⇔ 2r ≤ a − a ⇔ 2r + a ≤ a a C/m AB + AC = 2r + a (1,0 đ) ⇒ AB 2+ AC ≤ BC 2 0.25 0.25 0.25 0.25 0.25 ⇔ AB + 2AB.AC + AC ≤ 2BC ⇔ AB2 + 2AB.AC + AC2 ≤ 2AB2 + 2AC2 ⇔ ( AB − AC ) ≥ ( 1) r −1 BĐT (1) ⇒ ≤ , dấu “=” xảy ∆ABC a v/cân A 0.25 0.25 Do x + 3y ≥ , đặt x + 3y = + a với a ≥ ⇒ x = + a – 3y, 0.25 thay vào biểu thức C: ⇒ C = 10y − 6ay − 6y + a + 2a + Câu V (1,0 điểm) 1 C = 10 y − ( a + 1) + ( a + 2a ) + ≥ 10 10 10 10 (1,0 đ) ⇒ C = khi: 10 3 y= y − ( a + 1) = y = y = 10 ⇔ 10 ⇔ 10 ⇔ 10 a = a = x + 3y = x = 10 Lưu ý: Học sinh làm cách khác cho điểm tối đa Hết - 0.50 0.25 PHÒNG GIÁO DỤC& ĐÀO TẠO HUYỆN KIM THÀNH ĐỀ CHÍNH THỨC KÌ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI NĂM HỌC 2012-2013 Môn thi: TỐN Lớp THCS Thời gian: 120 phút (khơng kể thời gian giao đề) ĐỀ BÀI Bài 1: (4,0 điểm) a) Rút gọn biểu thức A = x −9 x + x +1 − − x −5 x +6 x − 3− x b) Cho x, y, z thoả mãn: xy + yz + xz = Hãy tính giá trị biểu thức: A = x (1 + y )(1 + z ) (1 + z )(1 + x ) (1 + x )(1 + y ) + y + z (1 + x ) (1 + y ) (1 + z ) Bài 2: (3,0 điểm) a) Cho hàm số : f(x) = (x3 + 12x – 31)2012 Tính f(a) a = 16 − + 16 + b) Tìm số tự nhiên n cho n2 + 17 số phương? Bài 3: (4,0 điểm) Giải phương trình sau: a) − x + + x = b) x + x + = 2 x + Bài 4: (3,0 điểm) a) Tìm x; y thỏa mãn: ( x y − + y x − ) = xy b) Cho a; b; c số thuộc đoạn [ −1; 2] thỏa mãn: a2 + b2 + c2 = chứng minh rằng: a + b + c ≥ Bài 5: (6,0 điểm) Cho tam giác ABC nhọn; đường cao AK; BD; CE cắt H KC AC + CB − BA2 = KB CB + BA2 − AC b) Giả sử: HK = AK Chứng minh rằng: tanB.tanC = 3 a) Chứng minh: c) Giả sử SABC = 120 cm2 BÂC = 600 Hãy tính diện tích tam giác ADE? Hết - HƯỚNG DẪN GIẢI ĐỀ THI HSG HUYỆN KIM THÀNH NĂM HỌC 2012 – 2013 Mơn: Tốn Thời gian: 120’ Câu 1: (4 điểm) a/ Rút gọn biểu thức A = x −9 x + x +1 − − x −5 x +6 x − 3− x ĐKXĐ: x ≠ 4; x ≠ A= = ( ( ( x −9 x −2 )( x − 2) ( x +1 )( x −3 ) )= x − 3) x −2 x + x +1 x − − x + + 2x − x − + = = x −2 x −3 x −2 x −3 − ( )( ) ( x− x −2 x −2 )( x −3 ) x +1 x −3 b/ Cho x, y, z thoả mãn: xy + yz + xz = Hãy tính: A = x (1 + y )(1 + z ) (1 + z )(1 + x ) (1 + x )(1 + y ) + y + z (1 + x ) (1 + y ) (1 + z ) Gợi ý: xy + yz + xz = ⇔ + x2 = xy + yz + xz + x2 = y(x + z) + x(x + z) = (x + z)(x + y) Tương tự: + y2 = …; + z2 = … Câu 2: (3 điểm) a/ Cho hàm số : f(x) = (x3 + 12x – 31)2012 Tính f(a) a = 16 − + 16 + b/ Tìm số tự nhiên n cho n2 + 17 số phương? Giải a/Từ a= 16 − + 16 + ( )( ) ⇒ a = 32 + 3 16 − 16 + 16 + + 16 − = 32 − 12a nên a3 + 12a = 32 Vậy f(a) = k − n = ⇒n=8 k + n = 17 b/ Giả sử: n2 + 17 = k2 (k ∈ ¥ ) k > n ⇒ (k – n)(k + n) = 17 ⇔ Vậy với n = thỏa mãn yêu cầu tốn Câu 3: (4 điểm) Giải phương trình sau: a/ − x + + x = b/ x + x + = 2 x + Giải a/ ĐK: −4 ≤ x ≤ Bình phương vế: − x + + x + (1 − x)(4 + x) = ⇔ (1 − x)(4 + x) = x = ⇔ − x − x = ⇔ x( x + 3) = ⇔ (thỏa mãn) x = −3 Vậy phương trình có nghiệm: x = 0; x = -3 b/ x + x + = 2 x + ĐKXĐ: x ≥ ) ( ( ) −3 ⇔ x2 + x + + 2x + − 2x + + = ⇔ ( x + 1) + ( x + = 2x + −1 = ⇔ ⇒ x = −1 x + = ) Vậy phương trình có nghiệm x = -1 Câu 4: (3 điểm) a/ Tìm x; y thỏa mãn: ( x y − + y x − ) = xy b/ Cho a; b; c số thuộc đoạn [ −1; 2] thỏa mãn: a2 + b2 + c2 = chứng minh rằng: a + b + c ≥ Giải a/ ( x y − + y x − ) = xy ⇔ x.2 y − + y.2 x − = xy Xét VP = x.2 y − + y.2 x − theo BĐT cosi: y − ≤ 4+ y −4 y 4+ x−4 x = ;2 x − ≤ = 2 2 VP ≤ xy = VT x − = ⇒ x= y =8 Dấu = xảy khi: y − = b/ Do a; b; c thuộc đoạn [ −1; 2] nên a + ≥ 0; a – ≤ nên (a + 1)(a – 2) ≤ Hay: a2 – a – ≤ ⇒ a2 ≤ a + Tương tự: b2 ≤ b + 2; c2 ≤ c + Ta có: a2 + b2 + c2 ≤ a + b + c + theo đầu bài: a2 + b2 + c2 = nên: a + b + c ≥ Câu 5: (6 điểm) Cho tam giác ABC nhọn; đường cao AK; BD; CE cắt H KC AC + CB − BA2 = KB CB + BA2 − AC b/ Giả sử: HK = AK Chứng minh rằng: tanB.tanC = 3 a/ Chứng minh: c/ Giả sử SABC = 120 cm2 BÂC = 600 Hãy tính diện tích tam giác ADE? Giải a/ Sử dụng định lý pytago: A AC + CB − BA AK + KC + ( BK + CK ) − AB = 2 CB + BA − AC ( BK + CK ) + BA2 − ( AK + KC ) 2 2 2 2 2CK + BK CK 2CK (CK + BK ) CK = = = BK + BK CK BK ( BK + CK ) BK AK AK b/ Ta có: tanB = ; tanC = BK CK AK Nên: tanBtanC = (1) BK CK D E B H K C KC · Mặt khác ta có: Bµ = HKC mà: tanHKC = KH Nên tanB = KC KB KB.KC ⇒ tan B.tan C = tương tự tanC = (2) KH KH KH 2 Từ (1)(2) ⇒ ( tan B.tan C ) = ÷ KH Theo gt: HK = AK AK ⇒ tan B.tan C = 3 S AB c/ Ta chứng minh được: ∆ABC ∆ADE đồng dạng vậy: ABC = ÷ (3) S ADE AD Mà BÂC = 600 nên ·ABD = 300 ⇒ AB = 2AD(4) S ABC Từ (3)(4) ta có: S = ⇒ S ADE = 30(cm ) ADE Hết Lưu ý: Học sinh làm cách khác cho điểm tối đa PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP CẤP HUYỆN NĂM HỌC 2012 - 2013 HUYỆN YÊN ĐỊNH Môn thi: Tốn Thời gian: 150 phút (khơng kể thời gian giao đề) ĐỀ THI CHÍNH THỨC Ngày thi: 26/02/2013 (Đề thi gồm 01 trang) ĐỀ BÀI x −2 x + x2 − 2x + − ÷ Câu 1: (3 điểm) Cho A = ÷ x −1 x + x +1 a) Rút gọn A b) Tìm x để A > c) Tìm giá trị lớn A Câu 2: (6 điểm) a) Giải phương trình: x − x − x − x − = 18 b) Giải bất phương trình: |2x-7| < x2 + 2x + ( x + y )( x − y ) = 45 c) Giải hệ phương trình: ( x − y )( x + y ) = 85 Câu : (4 điểm) a) Cho a + b + c = , tính giá trị biểu thức: 1 + 2 + 2 2 b +c −a a + c − b a + b2 − c2 b) Tìm số tự nhiên n cho A = n + n + số phương P= Câu : (5 điểm) a) Từ điểm A nằm (O;R) kẻ hai tiếp tuyến AM, AN (M,N ∈ (O;R)) Trên cung nhỏ MN lấy điểm P khác M N Tiếp tuyến P cắt AM B, cắt AN C Cho A cố định AO = a Chứng minh chu vi tam giác ABC không đổi P di động cung nhỏ MN Tính giá trị không đổi theo a R b) Cho tam giác ABC có diện tích 36 (đơn vị diện tích) Trên cạnh BC cạnh CA lấy điểm D E cho DC = 3DB EA = 2EC; AD cắt BE I Tính diện tích tam giác BID Câu 5: (2 điểm) Tìm giá trị nhỏ biểu thức: Q= x 10 y 10 16 + + ( x + y 16 ) − (1 + x y ) 2 y x Hết - PHÒNG GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO HUYỆN YÊN ĐỊNH Câu ý a HƯỚNG DẪN CHẤM THI HỌC SINH GIỎI LỚP CẤP HUYỆN NĂM HỌC 2012 - 2013 Mơn thi: Tốn Ngày thi: 26/02/2013 (Hướng dẫn chấm gồm 03 trang) Đáp án hướng dẫn chấm ĐKXĐ: x ≥ 0, x ≠ A = − x ( x − 1) A > ⇔ − x ( x − 1) > ⇔ x ( x − 1) < b c (vì x > x − ) x > ⇔ ⇔ < x − x − x − 0.5đ x + > x + x − > 0.25đ x2+4x+4>9 (x+2)2 >9 |x+2| >3 0.25đ 10 0.25đ C ∆ABC = a − R Ghi chú: - Khơng có điểm vẽ hình - Chứng minh mà khơng có hình vẽ hình vẽ sai khơng cơng nhận (khơng có điểm) (Các đường nét đứt vẽ thêm để gợi ý chứng minh chấm, học sinh phải trình bày kẻ thêm đường phụ chứng minh - cần) 0.5đ = S ∆BIA Trình bày c/m: S ∆BID = S ∆BIC Trình bày c/m: S ∆BIC b 1.0đ A 0.5đ => S ∆BID = S ∆BIA = S ∆ABD E Trình bày c/m: S ∆ABD = S ∆ABC => S ∆BID 36 S ∆ABC = =1 36 36 0.5đ I B D C 0.5đ Ghi chú: - Không có điểm vẽ hình - Chứng minh mà khơng có hình vẽ hình vẽ sai khơng cơng nhận (khơng có điểm) ĐK: x≠0, y≠0 Q= = x 10 y 10 16 + ( x + y 16 ) − (1 + x y ) + y x 1 x 10 y 10 + + + 1 + ( x 16 + y 16 + + 1) − (1 + x y ) − 2 y x 0.5đ Áp dụng bắt đẳng thức Cô-si cho bốn số dương ta có: x 10 y 10 + + + 1 ≥ x y 2 y x 0.25đ 16 ( x + y 16 + + 1) ≥ x y 4 0.25đ => Q ≥ x y + x y − − x y − x y − = − Vậy giá trị nhỏ Q Q = – 5/2 x2 = y2 = 0.5đ 0.5đ Lưu ý: Học sinh làm cách khác cho điểm tối đa Hết - 12 PHÒNG GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO TRIỆU SƠN KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI HUYỆN Năm học 2012 - 2013 Đề thức Mơn thi: Tốn Thời gian: 150 phút (khơng kể thời gian giao đề) Ngày thi: 28/11/2012 (Đề thi có 01 trang, gồm 05 câu) ĐỀ BÀI Số báo danh Câu 1: (4,0 điểm) Cho biểu thức: P = 15 x − 11 x+2 x −3 a) Rút gọn biểu thức P + x −2 1− x − x +3 x +3 b) Tìm m để có x thỏa mãn P( x + 3) = m Cho hàm số: f ( x ) = ( x + x − ) 2012 Tìm f ( a ) với a = 3 + 17 + 3 − 17 Câu 2: (4,0 điểm) Giải phương trình: x + x + = ( x + 5) x + Tìm số nguyên x, y thoả mãn đẳng thức: xy + x + y + = x + y + xy Câu 3: (4,0 điểm) Tìm số thực x cho x + 2012 13 − 2012 số nguyên x Cho ba số thực x, y, z thoả mãn xyz = Chứng minh rằng: 1 Nếu x + y + z > x + y + z ba số x, y, z có số lớn Câu 4: (6,0 điểm) Cho hình vng ABCD điểm P nằm tam giác ABC a) Giả sử BPC = 1350 Chứng minh AP2 = CP2 + 2BP2 b) Các đường thẳng AP CP cắt cạnh BC AB tương ứng điểm M N Gọi Q điểm đối xứng với B qua trung điểm đoạn MN Chứng minh P thay đổi tam giác ABC, đường thẳng PQ qua D Cho tam giác ABC, lấy điểm C1 thuộc cạnh AB, A1 thuộc cạnh BC, B1 thuộc cạnh AC Biết độ dài đoạn thẳng AA1, BB1, CC1 không lớn Chứng minh SABC ≤ (SABC diện tích tam giác ABC) Câu 5: (2,0 điểm) Với x, y số thực dương Tìm giá trị nhỏ biểu thức: Q= x3 + x3 + 8y 4y3 y3 + ( x + y) Hết 13 PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRIỆU SƠN KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI HUYỆN Năm học 2012 - 2013 Hướng dẫn chấm Đề thức Câu Mơn thi: Tốn Lớp: THCS Ngày thi: 28/11/2012 (Đáp án có 04 trang, gồm 05 câu) Nội dung đáp án Điểm ≠ ≥ a) ĐKXĐ: x 0; x 0,5 Ta có: P = = 15 x − 11 x+2 x −3 ( 15 x − 11 )( x −1 = = ) x +3 − + x −2 1− x x −2 x −1 ( − x +3 − x +3 x +3 0,75 x +3 ) ( ( x − 1)( x + 3) 15 x − 11 − x − )( 15 x − 11 − x − x + − x − x + ( ( )( ( x − 1)( )( x −1 x −1 − x ) x +3 ) = 2−5 x x + 3) x +3 (4,0đ 2−5 x ≥ 0; x ≠ ta có P = b) Với x ) x +3 = )( P ( ) x +3 − x +3 = x −1 0,75 − 5x + x − ( )( x −1 ) x +3 0,5 ) x +3 = m 2−5 x = m x = 2−m x= 2−m 0,25 m≤2 Lại có: x ≠ 0,25 2−m ≠ m ≠ −3 Vậy m ≤ 2; m ≠ −3 3 Ta có: a = 3 + 17 + 3 − 17 a = − 6 + 17 + − 17 Từ đó: f ( a ) = ( a + 6a − ) 2012 ( a + 6a − = ) = a + 6a − − 2012 = 0,5 0,5 Đặt x + = y (với y ≥ ) y = y = x Khi đó, ta có: y + x = ( x + 5) y ⇔ ( y − 5)( y − x ) = ⇔ Từ tìm nghiệm phương trình là: x = ±4 14 0,5 1,25 0,75 Ta có: xy + x + y + = x + y + xy ⇔ y ( x − 1) − x( x − 1) − y ( x − 1) + = (1) 0,25 Nhận thấy x = nghiệm PT (1) Chia vế phương trình cho x – 1, ta được: 2y2 − x − y + =0 x −1 (2) PT có nghiệm x, y nguyên, suy nguyên nên x – thuộc {−1;1} (4,0đ x −1 • x – = -1 x = ) • x–1=1 x=2 Thay x = vào PT(2) ta được: y − y − = ⇔ y = ; y = − Vậy phương trình cho có hai nghiệm ngun ( x, y ) ∈ { ( 0,1); ( 2,1)} Thay x = vào PT(2) ta được: y − y − = ⇔ y = ; y = − ĐK: x ≠ Đặt a = x + 2012 , b = 0,25 13 − 2012 x 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 Thay x = a − 2012 vào biểu thức b , ta được: 13 − 2012 ⇔ ab − 2025 = ( b − a ) 2012 a − 2012 Để a, b ∈ Z a = b , ab − 2025 = Từ đó, suy a = b = ±45 ⇒ x = ±45 − 2012 b= 0,5 0,25 Thử lại với x = ±45 − 2012 thấy a, b số nguyên 0,25 Xét tích: (x – 1)(y – 1)(z – 1) = xyz – xy – yz – zx + x + y + z –1 (4,0đ 1 1 ) = x + y + z - + + (vì xyz = 1) x 1 y 0,75 z mà x + y + z > x + y + z ⇒ (x –1)(y – 1)(z – 1) >0 Nếu thừa số: (x –1), (y – 1), (z – 1) dương ⇒ xyz > (loại) Nếu thừa số: (x –1), (y – 1), (z – 1) âm ⇒ (x –1)(y – 1)(z – 1) MIA = NIC Suy ∆ MAI Do M, I, N thẳng hàng nên A, I, C thẳng hàng Trở lại toán: Dễ thấy tứ giác NBMQ hình chữ nhật Qua P Q kẻ đường thẳng song song với cạnh hình vng Do P thuộc đường chéo AM hình chữ nhật ABMR nên SBLPK = SPIRS (1) P thuộc đường chéo CN hình chữ nhật NBCH nên SBLPK = SPTHF (2) Từ (1)&(2) suy ra: SPIRT = SPTHF => SFQRS = SQITH Theo nhận xét trên, suy Q thuộc đường chéo PD hình chữ nhật SPTD, tức PQ qua điểm D A S R D 0,25 N F Q H K P I T B L M C 0,25 16 Không tính tổng quát, giả sử: ∠ A ≥ ∠ B ≥ ∠ C => Â ≥ 600 TH1: 60 ≤ Â < 900 Kẻ CH ⊥ AB, BK ⊥ AC => SABC = CH.AB Mà CH ≤ CC1 ≤ 1, ta có: BB1 BK 1 ≤ ≤ ≤ = AB = sin A sin A sin A sin 60 A K B1 C1 0,5 B 0,5 H A1 C 0,5 => SABC ≤ = (1) 3 TH2: Â ≥ 90 => AB ≤ BB1 ≤ 1; CH ≤ CC1 ≤ 1 1 => SABC ≤ 1.1 = < (2) Từ (1)&(2) suy SABC ≤ 3 Ta chứng minh hai bất đẳng thức: x3 x2 ≥ x3 + y3 x + y y3 y3 + ( x + y) 0,25 (1) y2 ≥ x + 2y2 (2) 0,25 x3 x4 Thật BĐT (1) ⇔ x + y ≥ x + 2y2 ( (2,0đ ) 0,5 ) 0,5 ⇔ x + y ≥ xy (đúng với x, y) BĐT (2) ⇔ y3 y3 + ( x + y) ( )( ≥ (x y4 ) + 2y2 ) ⇔ x + y x + y ≥ y( x + y ) Do x + y = x + y + y ≥ y ( x + y ) 0,5 Nên ( x + y )( x + y ) ≥ ( x + y ) y ( x + y ) = y ( x + y ) Suy BĐT (2) Từ (1) (2) ta Q ≥ Dấu “=” xảy x = y Vậy P = x = y Lưu ý: Học sinh làm cách khác cho điểm tối đa Hết - 17 0,25 0,25 PHÒNG GD & ĐT NINH SƠN ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP TRƯỜNG TRƯỜNG THCS TRẦN QUỐC TOẢN NĂM HỌC: 2012 - 2013 Mơn thi: TỐN ĐỀ CHÍNH THỨC Thời gian: 150 phút (Khơng kể thời gian giao đề) Bài 1: Chứng minh: Nếu a + 3b chia hết cho 5a + b chia hết cho 7, với a, b số nguyên Bài 2: Cho biểu thức: P = x x+2 + + x − x x + x ( x − 1)( x + x ) a Rút gọn P b Tính P x = + 2 c Tìm giá trị nguyên x để P nhận giá trị nguyên a b Bài 3: Cho a > 0, b > + = CMR a + b = a − + b − Bài 4: Cho hình vng ABCD, có độ dài cạnh a E điểm di chuyển CD ( E khác C, D) Đường thẳng AE cắt đường thẳng BC F, đường thẳng vng góc với AE A cắt đường thẳng CD K a) Chứng minh: 1 + không đổi AE AF ∧ ∧ ∧ ∧ ∧ b) Chứng minh: cos AKE = sin EKF cos EFK + sin EFK cos EKF Bài 4: Cho ABCD hình bình hành Đường thẳng d qua A khơng cắt hình bình hành, ba điểm H, I , K hình chiếu B, C, D đường thẳng d Xác định vị trí đường thẳng d để tổng: BH + CI + DK có giá trị lớn -Hết - 18 HD CHẤM ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TRƯỜNG NĂM HỌC: 2012 – 2013 Mơn thi: TỐN Thời gian: 150 phút( không kể thời gian giao đề) Bài Ý Nội dung cần đạt Ta có: 5a + b = 5(a + 3b) – 14b Vì a + 3b M7 ⇒ 5(a + 3b) Và: 14b M7 Vậy: 5a + b = 5(a + 3b) – 14b M7 x x+2 + + x ( x − 1) x ( x + 2) x ( x − 1)( x + 2) P= x( x + 2) + 2( x − 1) + x + x x + x + x − + x + = x ( x − 1)( x + 2) x ( x − 1)( x + 2) a = x x + 2x + x + x = x ( x − 1)( x + 2) = Điểm 1,0 1,0 1,0 1,0 x ( x + 1)( x + 2) = x ( x − 1)( x + 2) 2,0 x +1 x −1 x = + 2 ⇔ x = + 2 + = ( + 1) = + b x +1 +1+1 2+2 = = = 1+ x −1 +1−1 ĐK: x > 0; x ≠ : c P= 2,0 P= ( x + 1) = ( x − 1) x −1+ = 1+ x −1 x −1 2,0 Học sinh lập luận để tìm x = x = 1 a > 0, b > a + b = => a > 1, b > ⇒ a − 1, b − tồn 1,0 Ta có 1 + = ⇒ ab − a − b + = ⇒ ( a − 1) ( b − 1) = ⇒ a b a +b = a +b +2 ( a − 1) ( b − 1) − = ( ( a − 1) ( b − 1) a −1 + b −1 ) =1⇔ ( a − 1) ( b − 1) =2 1,0 1,0 a + b = a −1 + b −1 B A M M' 0,5 N N' K P D E Q C F H a Học sinh c/m: ∆ ABF = ∆ ADK (g.c.g) suy AF = AK Trong tam giác vng: KAE có AD đường cao nên: 1 1 1 + = + = = (không đổi) 2 hay 2 AK AE AD AF AE AD a 19 2,0 ∧ ∧ HS c/m S KEF = KE.EF sin AEK = KE.EF cos AKE 2 Mặt khác: S KEF = EH KF = EH ( KH + HF ) Suy ra: b EH KH + EH HF KE.EF cos AKE = EH ( KH + HF ) ⇔ cos AKE = KE.EF : ∧ ∧ ∧ ∧ ∧ EH KH EH HF ⇔ cos AKE = + = sin EFK cos EKF + sin EKF cos EFK EF EK KE EF ∧ ∧ 2,0 d H 0,5 I A P B K O D C Gọi O giao điểm đường chéo hình bình hành, kẻ OP vng góc d P HS lập luận BH + CI + DK = 4OP 2,0 Mà OP ≤ AO nên BH + CI + DK ≤ 4AO Vậy Max(BH + CI + DK) = 4AO Đạt P ≡ A hay d vng góc AC Học sinh làm cách khác với yêu cầu đề chấm điểm tối đa 20 TRƯỜNG THCS TRẦN QUỐC TOẢN THI HỌC SINH GIỎI LỚP (VỊNG TRƯỜNG) MƠN : TỐN - THỜI GIAN : 120 PHÚT NĂM HỌC: 2012-2013 ĐỀ: Bài 1: (4,0đ) 9x + 2− x x 2 a b c a+b+c + + ≥ b) Cho a, b, c ba số dương Chứng minh : b+c c+a a +b a) Cho < x < 2, tìm giá trị nhỏ biểu thức : A= Bài 2: (4,0đ) a/ Cho x + y = a , x2 + y2 = b, x3 + y3 = c Chứng minh a3 + 2c = 3ab b/ Cho a; b; c ≠ 0, a + b + c =1 1 + + = a b c Chứng minh rằng: a2 + b2 + c2 = Bài 3: (4,0đ) Chứng minh: (a2 + 3a + 1)2 – chia hết cho 24 với a số tự nhiên Bài 4: (4,0đ) Cho tam giác ABC , ba đường cao AA', BB', CC' cắt H Chứng minh: HA ' HB ' HC ' + + =1 AA ' BB ' CC ' Bài 5: (4,0đ) Cho tam giác ABC (AB < AC) M điểm cạnh BC vẽ BI ⊥ AM, CK ⊥ AM Xác định vị trí điểm M cạnh BC để tổng BI + CK lớn Hết 21 PHÒNG GD - ĐT NINH SƠN TRƯỜNG THCS TRẦN QUỐC TOẢN THI HỌC SINH GIỎI LỚP (VÒNG TRƯỜNG) NĂM HỌC: 2011-2012 MƠN : TỐN - THỜI GIAN : 120 PHÚT HƯỚNG DẪN CHẤM: Đáp án Biểu điểm Bài 1: (4,0 đ) a) Ta có : A = 9x 2− x + +1 2− x x Với < x < , ta có : 0,5 9x 2− x 9x − x + ≥2 = ( Bất đẳng thức Côsi) 2− x x 2− x x Suy : A ≥ Dấu « = » xảy : Vậy : minA = ⇔ x = 9x 2− x = ⇔x= 2− x x 2 0,5 0,5 0,5 b) Vì a, b, c > , áp dụng bất đẳng thức Cơsi ta có : a2 b+c a2 b + c + ≥2 =a b+c b+c 0,5 b2 c+a b2 c + a + ≥2 =b c+a c+a 0,5 c2 a+b c2 a + b + ≥2 =c a+b a+b a2 b2 c2 a +b+c + + + ≥ a+b+c b+c c+a a +b a2 b2 c2 a +b+c ⇔ + + ≥ (đpcm) b+c c+a a+b Suy : Bài a/ Cho x + y = a , x2 + y2 = b, x3 + y3 = c Chứng minh a3 + 2c = 3ab a3 + 2c = (x + y)3 + 2(x3 + y3) = 3x3 + 3y3 + 3x2y +3xy2 3ab = 3(x + y)(x2 + y2) = 3x3 + 3y3 + 3x2y +3xy2 Vậy: a3 + 2c = 3ab b/ Cho a;b;c ≠ 0, a + b + c =1 0,5 0,5 (4,0 đ) 0,5 0,5 0,5 0,5 1 + + = Chứng minh: a2 + b2 + c2 = a b c (a + b + c)2 = a2 + b2 + c2 + 2ab + 2ac + 2bc = 1 1 ab + ac + bc + + =0 ⇒ =0 a b c abc ⇒ ab + ac + bc = ⇒ 2ab + 2ac + 2bc = 0,5 0,5 0,5 22 ⇒ a2 + b2 + c2 = Bài 3: (a2 + 3a + 1)2 – = (a2 + 3a + + 1)( a2 + 3a + – 1) = (a(a + 3)(a + 1)(a + 2) chia hết cho 24 (tích số tự nhiên liên tiếp) Bài 4: A B' C' B Ta có: ⇔ ⇔ ⇔ (4,0 đ) Hình vẽ 0,5đ 0,5 jH A' 0,5 (4,0 đ) C S HBC + S HAC + S HAB = S ABC 1,0 S HBC S HAC S HAB + + =1 S ABC S ABC S ABC 1,0 HA'.BC HB '.AC HC '.AB + + =1 AA'.BC BB'.AC CC '.AB HA' HB ' HC ' + + =1 AA' BB ' CC ' 1,0 0,5 Bài 5: Vẽ đường cao AH ta có: S∆ABM + S∆ACM = S∆ABC 1 AM.BI + AM CK = S∆ABC 2 AM ( BI + CK ) = S∆ABC 2S 2S ⇒ BI + CK = ∆ABC ≤ ∆ABC = BC AM AH Vaä y Max ( BI + CK ) = BC Khi AM ≡ BC ⇒ M làchâ n đườ ng cao vẽtừA đế n cạnh BC Hết 23 (4,0 đ) Hình vẽ: 0,5 0,5 0,5 1,0 1,0 0,5 PHÒNG GIÁO DỤC - ĐÀO TẠO CẨM XUYÊN KỲ THI CHỌN HS GIỎI LỚP CẤP HUYỆN Năm học: 2012 - 2013 Mơn thi: Tốn Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề) Bài (5 điểm) Cho biểu thức: A = , với a ≥ Rút gon biểu thức A Thính giá trị biểu thức A a = 2010 -2 Bài (4 điểm) Giải phương trình (x + 1)(x +2)(x + 4)(x + 8) = 28x2 Giải hệ phương trình: Bài (4 điểm) Tìm nghiệm nguyên phương trình: y2 = - 2(x6- x3y - 32) Cho tam giác ABC vuông A có phân giác AD Gọi M, N hình chiếu B, C lên đường thẳng AD Chứng minh rằng: 2AD ≤ BM + CN Bài (5 điểm) Cho tam giác ABC vuông cân C Gọi M trung điểm cạnh AB, P điểm cạnh BC; điểm N, L thuộc AP cho CN ┴ AP AL = CN Chứng minh góc MCN góc MAL Chứng minh ∆LMN vng cân Diện tích ∆ ABC gấp lần diện tích ∆MNL, tính góc CAP Bài (2 điểm) Cho a b ab = Chứng minh: Hết 24 PHÒNG GIÁO DỤC - ĐÀO TẠO TP HẢI DƯƠNG ĐỀ THI CHỌN HS GIỎI LỚP CẤP TP NĂM HỌC 2012 - 2013 Mơn Tốn (Thời gian: 150 phút, không kể thời gian giao đề) - Bài (2,0đ) Cho biểu thức: A = Rút gọn tìm giá trị nguyên x để A có giá trị nguyên Bài (2,0đ) Giải phương trình: a b Bài (1,5đ) a Cho Tính với b Tìm số ngun x, y thỏa mãn: Bài (1,5 điểm) a Cho a, b, c ba số hữu tỉ thỏa mãn: abc = Chứng minh ba số a, b, c bình phương số hữu tỉ b Cho a, b, c số dương thỏa mãn: a + b + c = Chứng minh Bài (3,0 điểm) Cho đường tròn (O; R) hai đường kính AB CD cho tiếp tuyến A đường tròn (O; R) cắt đường thẳng BC BD hai điểm tương ứng E F Gọi P Q trung điểm đoạn thẳng AE AF a Chứng minh trực tâm H tam giác BPQ trung điểm đoạn thẳng OA b Hai đường kính AB CD thoả mãn điều kiện tam giác BPQ có diện tích nhỏ c Chứng minh hệ thức sau: CE.DF.EF = CD3 d Nếu tam giác vng BEF có hình vng BMKN nội tiếp (K EF; M BE N BF) cho tỉ số cạnh hình vng với bán kính đường tròn nội tiếp tam giác BEF Hãy tính góc nhọn tam giác BEF? ………………… Hết……………… 25 PHÒNG GIÁO DỤC - ĐÀO TẠO HÂU LỘC Câu (4,0 đ): Cho biểu thức: a) Rút gọn biểu thức M b) Tính giá trị M với ĐỀ THI CHỌN HS GIỎI LỚP CẤP HUYỆN NĂM HỌC 2012 - 2013 Mơn Tốn (Thời gian: 150 phút, không kể thời gian giao đề) - c) Chứng minh Câu (4,0 đ): Cho đường thẳng: y = (m - 2)x + ( m tham số) (d) a) Tìm giá trị m để đường thẳng (d) song song với đường thẳng : y = 2x - b) Chứng minh đường thẳng (d) qua điểm cố định với giá trị m c) Tìm giá trị m để khoảng cách từ gốc tọa độ đến đường thẳng (d) Câu (4,0 đ): Giải phương trình sau: a) b) Câu (2,0điểm: Giải phương trình nghiệm nguyên: Câu (5,0đ): Cho tam giác ABC vuông A, đường cao AH, HB = 2cm, HC = 4,5cm Vẽ đường tròn tâm A bán kính AH Kẻ tiếp tuyến BM, CN với đường tròn (M N tiếp điểm, khác điểm H) a) Chứng minh ba điểm M, A, N thẳng hàng b) Tính diện tích tứ giác BMNC c) Gọi K giao điểm CN HA Tính độ dài AK, KN Câu (1,0đ): Cho Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ biểu thức: -Hết - 26 ... ĐÀO TẠO ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP CẤP HUYỆN NĂM HỌC 2012 - 2013 HUYỆN YÊN ĐỊNH Môn thi: Tốn Thời gian: 150 phút (khơng kể thời gian giao đề) ĐỀ THI CHÍNH THỨC Ngày thi: 26/02/2013 (Đề thi gồm... - 12 PHÒNG GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO TRIỆU SƠN KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI HUYỆN Năm học 2012 - 2013 Đề thức Mơn thi: Tốn Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề) Ngày thi: 28/11/2012 (Đề thi. .. Hết - PHÒNG GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO HUYỆN YÊN ĐỊNH Câu ý a HƯỚNG DẪN CHẤM THI HỌC SINH GIỎI LỚP CẤP HUYỆN NĂM HỌC 2012 - 2013 Mơn thi: Tốn Ngày thi: 26/02/2013 (Hướng dẫn chấm