PHÒNG GD VÀ ĐTHUYỆN THIỆU HÓA (Đề thi gồm có 01 trang)ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 9 CẤP HUYỆNNĂM HỌC 2015 2016Môn: ToánThời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề)Ngày thi: 25 tháng 11 năm 2015 Hết PHÒNG GD VÀ ĐTHUYỆN THIỆU HÓA HƯỚNG DẪN CHẤMĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 9 CẤP HUYỆNNĂM HỌC 2015 2016Môn: Toán.CâuNội dungĐiểmCâu 14,0 đa. (2,0đ)ĐKXĐ 0,5 đ0,5 đ0,5 đ0,5 đb.(1,0đ)Với A = 8 (thỏa mãn đk)Vậy x = 0 hoặc x = 64 thì A = 8.0,25 đ0,25 đ0,5 đc.(1,0đ)Áp dụng bất đẳng thức Côsi, ta có: Dấu “=” xảy ra (Thỏa mãn điều kiện)Vậy GTNN của A = 4 khi x = 4.0,5 đ0,5 đCâu 23,0 đa.(1,5đ)Vì đường thẳng (d): y = (a 3)x + b song song với đường thẳng y = 2x + 1 nên: a 3 = 2 và b 1 => a = 1; b 1Tìm được giao điểm của đường thẳng y = 5x + 5 và y = x 3 là M(2;5)Vì (d): y = 2x + b đi qua M(2;5) => b = 9 (thỏa mãn)Vậy a = 1; b = 9.0,5 đ0,5 đ0,5 đb.(1,5đ)+ Từ hệ đã cho ta thấy nếu một trong ba số x; y; z bằng 0 thì suy ra hai số còn lại bằng 0 vậy (x; y; z) = (0; 0; 0) là một giá trị cần tìm.+ Trường hợp xyz 0: = + Vậy các cặp số (x; y; z) cần tìm là (x; y; z) = (0; 0; 0) và (x; y; z) = ( )0,5 đ0,75 đ0,25 đCâu 34,0 đa.(2,0đ) Ta có: Tương tự: 0,5 đ0,5 đ0,5 đ0,5 đb.(2,0đ)+ Trước hết, chứng minh (x + 1) và (x + 1) nguyên tố cùng nhau: Gọi d = ƯCLN (x + 1, x + 1) => d phải là số lẻ (vì 2y + 1 lẻ) 2 mà d lẻ nên d = 1.+ Nên muốn (x + 1)(x + 1) là số chính phương Thì (x + 1) và (x + 1) đều phải là số chính phương Đặt: (k + x)(k – x) = 1 hoặc + Với x = 0 thì (2y + 1) = 1 y = 0 hoặc y = 1 (Thỏa mãn pt) Vậy nghiệm của phương trình là: (x; y) 0,25 đ0,25 đ0,5 đ0,5 đ0,5 đCâu 45,0 đ a.(2,0đ)Gọi Q là giao điểm của AB với OM.Ta có AMCE (cùng vuông góc với AC) (so le trong) Mà ; và (Dễ chứng minh).Suy ra = (cùng phụ với hai góc bằng nhau) tan BCE = tan OMB (1)Lại có (cùng phụ với góc ABO)Nên ( cùng = 900 + ) (2) Từ (1) và (2) suy ra (c.g.c).0,5 đ0,5 đ0,5 đ0,5 đb.(1,5đ)Từ Gọi I và N lần lượt là giao điểm của OE với BC và MC. (g.g) Mà => . Vậy CM OE0,5 đ0,5 đ0,5 đc.(1,5đ)Gọi H là hình chiếu vuông góc của O trên d. P là giao điểm của AB với OH Ta có (.g.g) => QO. OM = OP. OH = OA2 = R2 Mà O và d cố định => OH không đổi => OP không đổi Lại có : AB = 2AQ = 2 mà OQ OP (K.đổi)Dấu “=” xảy ra Vậy GTNN của AB = 0,5 đ0,5 đ0,5 đCâu 52,0 đ(2,0đ) Vẽ tam giác đều CMNTa có: BC = AC; CN = CM; BCN = ACM (Vì đều có tổng với MCB bằng 600)Do đó BCN = ACM (c.g.c) Suy ra BN = BM Theo giả thiết: vuông tại M (Định lý Pitago). 0,5 đ0,5 đ0,5 đ0,5 đCâu 62,0 đTừ x + y + z = 1 (x + y + z)3 = 1Mà: x3 + y3 + z3 = 1 (x + y + z)3 x3 y3 z3 = 0 Nếu Nếu Nếu 0,5 đ0,5 đ0,5 đ0,5 đLưu ý: Học sinh làm cách khác đúng vẫn cho điểm tối đa. Hết PHÒNG GDĐT THÀNH PHỐ THANH HÓAĐỀ THI HỌC SINH GIỎI THÀNH PHỐ NĂM HỌC 2015 2016MÔN: TOÁN LỚP 9Thời gian làm bài: 150 phútBài 1: (4,0 điểm) Cho P = + 1. Rút gọn P. Với giá trị nào của x thì P > 12. Tìm x nguyên biết P đạt giá trị nguyên lớn nhấtBài 2: (4,0 điểm)1. Giải phương trình = 42. Tìm số nguyên x, y thỏa mãn x2 + xy + y2 = x2y2 Bài 3: (4,0 điểm)1. Cho a = x + ; b = y + , c = xy + Tính giá trị biểu thức: A = a2 + b2 + c2 – abc2. Chứng minh rằng với mọi x > 1 ta luôn có. 3(x2 ) < 2(x3 )Bài 4: (4,0 điểm) Cho tứ giác ABCD có AD = BC; AB < CD. Gọi I, Q, H, P lần lượt là trung điểm của AB, AC, CD, BD1. Chứng minh IPHQ là hình thoi và PQ tạo với AD, BC hai góc bằng nhau.2. Về phía ngoài tứ giác ABCD, dựng hai tam giác bằng nhau ADE và BCF. Chứng minh rằng trung điểm các đoạn thẳng AB, CD, EF cùng thuộc một đường thẳng.Bài 5: (2,0 điểm) Tam giác ABC có BC = 40cm, phân giác AD dài 45cm đường cao AH dài 36cm. Tính độ dài BD, DC.Bài 6: (2,0 điểm) Với a, b là các số thực thỏa mãn đẳng thức (1 + a)(1 + b) = .Hãy tìm GTNN của P = + PHÒNG GD VÀ ĐTHUYỆN THIỆU HÓA (Đề thi gồm có 01 trang)ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 9 CẤP HUYỆNNĂM HỌC 2015 2016Môn: ToánThời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề)Ngày thi: 25 tháng 11 năm 2015 Hết PHÒNG GD VÀ ĐTHUYỆN THIỆU HÓA HƯỚNG DẪN CHẤMĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 9 CẤP HUYỆNNĂM HỌC 2015 2016Môn: Toán.CâuNội dungĐiểmCâu 14,0 đa. (2,0đ)ĐKXĐ 0,5 đ0,5 đ0,5 đ0,5 đb.(1,0đ)Với A = 8 (thỏa mãn đk)Vậy x = 0 hoặc x = 64 thì A = 8.0,25 đ0,25 đ0,5 đc.(1,0đ)Áp dụng bất đẳng thức Côsi, ta có: Dấu “=” xảy ra (Thỏa mãn điều kiện)Vậy GTNN của A = 4 khi x = 4.0,5 đ0,5 đCâu 23,0 đa.(1,5đ)Vì đường thẳng (d): y = (a 3)x + b song song với đường thẳng y = 2x + 1 nên: a 3 = 2 và b 1 => a = 1; b 1Tìm được giao điểm của đường thẳng y = 5x + 5 và y = x 3 là M(2;5)Vì (d): y = 2x + b đi qua M(2;5) => b = 9 (thỏa mãn)Vậy a = 1; b = 9.0,5 đ0,5 đ0,5 đb.(1,5đ)+ Từ hệ đã cho ta thấy nếu một trong ba số x; y; z bằng 0 thì suy ra hai số còn lại bằng 0 vậy (x; y; z) = (0; 0; 0) là một giá trị cần tìm.+ Trường hợp xyz 0: = + Vậy các cặp số (x; y; z) cần tìm là (x; y; z) = (0; 0; 0) và (x; y; z) = ( )0,5 đ0,75 đ0,25 đCâu 34,0 đa.(2,0đ) Ta có: Tương tự: 0,5 đ0,5 đ0,5 đ0,5 đb.(2,0đ)+ Trước hết, chứng minh (x + 1) và (x + 1) nguyên tố cùng nhau: Gọi d = ƯCLN (x + 1, x + 1) => d phải là số lẻ (vì 2y + 1 lẻ) 2 mà d lẻ nên d = 1.+ Nên muốn (x + 1)(x + 1) là số chính phương Thì (x + 1) và (x + 1) đều phải là số chính phương Đặt: (k + x)(k – x) = 1 hoặc + Với x = 0 thì (2y + 1) = 1 y = 0 hoặc y = 1 (Thỏa mãn pt) Vậy nghiệm của phương trình là: (x; y) 0,25 đ0,25 đ0,5 đ0,5 đ0,5 đCâu 45,0 đ a.(2,0đ)Gọi Q là giao điểm của AB với OM.Ta có AMCE (cùng vuông góc với AC) (so le trong) Mà ; và (Dễ chứng minh).Suy ra = (cùng phụ với hai góc bằng nhau) tan BCE = tan OMB (1)Lại có (cùng phụ với góc ABO)Nên ( cùng = 900 + ) (2) Từ (1) và (2) suy ra (c.g.c).0,5 đ0,5 đ0,5 đ0,5 đb.(1,5đ)Từ Gọi I và N lần lượt là giao điểm của OE với BC và MC. (g.g) Mà => . Vậy CM OE0,5 đ0,5 đ0,5 đc.(1,5đ)Gọi H là hình chiếu vuông góc của O trên d. P là giao điểm của AB với OH Ta có (.g.g) => QO. OM = OP. OH = OA2 = R2 Mà O và d cố định => OH không đổi => OP không đổi Lại có : AB = 2AQ = 2 mà OQ OP (K.đổi)Dấu “=” xảy ra Vậy GTNN của AB = 0,5 đ0,5 đ0,5 đCâu 52,0 đ(2,0đ) Vẽ tam giác đều CMNTa có: BC = AC; CN = CM; BCN = ACM (Vì đều có tổng với MCB bằng 600)Do đó BCN = ACM (c.g.c) Suy ra BN = BM Theo giả thiết: vuông tại M (Định lý Pitago). 0,5 đ0,5 đ0,5 đ0,5 đCâu 62,0 đTừ x + y + z = 1 (x + y + z)3 = 1Mà: x3 + y3 + z3 = 1 (x + y + z)3 x3 y3 z3 = 0 Nếu Nếu Nếu 0,5 đ0,5 đ0,5 đ0,5 đLưu ý: Học sinh làm cách khác đúng vẫn cho điểm tối đa. Hết PHÒNG GDĐT THÀNH PHỐ THANH HÓAĐỀ THI HỌC SINH GIỎI THÀNH PHỐ NĂM HỌC 2015 2016MÔN: TOÁN LỚP 9Thời gian làm bài: 150 phútBài 1: (4,0 điểm) Cho P = + 1. Rút gọn P. Với giá trị nào của x thì P > 12. Tìm x nguyên biết P đạt giá trị nguyên lớn nhấtBài 2: (4,0 điểm)1. Giải phương trình = 42. Tìm số nguyên x, y thỏa mãn x2 + xy + y2 = x2y2 Bài 3: (4,0 điểm)1. Cho a = x + ; b = y + , c = xy + Tính giá trị biểu thức: A = a2 + b2 + c2 – abc2. Chứng minh rằng với mọi x > 1 ta luôn có. 3(x2 ) < 2(x3 )Bài 4: (4,0 điểm) Cho tứ giác ABCD có AD = BC; AB < CD. Gọi I, Q, H, P lần lượt là trung điểm của AB, AC, CD, BD1. Chứng minh IPHQ là hình thoi và PQ tạo với AD, BC hai góc bằng nhau.2. Về phía ngoài tứ giác ABCD, dựng hai tam giác bằng nhau ADE và BCF. Chứng minh rằng trung điểm các đoạn thẳng AB, CD, EF cùng thuộc một đường thẳng.Bài 5: (2,0 điểm) Tam giác ABC có BC = 40cm, phân giác AD dài 45cm đường cao AH dài 36cm. Tính độ dài BD, DC.Bài 6: (2,0 điểm) Với a, b là các số thực thỏa mãn đẳng thức (1 + a)(1 + b) = .Hãy tìm GTNN của P = +
PHỊNG GD VÀ ĐT HUYỆN THIỆU HĨA ĐỀ CHÍNH THỨC (Đề thi gồm có 01 trang) ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP CẤP HUYỆN NĂM HỌC 2015 - 2016 Mơn: Tốn Thời gian: 150 phút (khơng kể thời gian giao đề) Ngày thi: 25 tháng 11 năm 2015 Hết PHÒNG GD VÀ ĐT HƯỚNG DẪN CHẤM HUYỆN THIỆU HÓA Câu Câu a ĐKXĐ x ≥ 0, x ≠ (2,0đ) x x −3 A= A= ( x + 1)( x − 3) ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP CẤP HUYỆN NĂM HỌC 2015 - 2016 Mơn: Tốn Nội dung Điểm 4,0 đ 0,5 đ − 2( x − 3) x +1 − x +3 x −3 0,5 đ x x − − 2( x − 3) − ( x + 3)( x + 1) ( x − 3)( x + 1) A= x x − − x + 12 x − 18 − x − x − ( x − 3)( x + 1) A= x x − x + x − 24 ( x + 8)( x − 3) x +8 = = ( x − 3)( x + 1) ( x − 3)( x + 1) x +1 b Với x ≥ 0, x ≠ (1,0đ) x +8 =8 A=8 ⇔ x +1 ⇔ x ( x − 8) = 0,5 đ 0,5 đ 0,25 đ ⇔ x+8 = x +8 x =0 ⇔ x − = ⇔ x −8 x = x = ⇔ (thỏa mãn đk) x = 64 Vậy x = x = 64 A = c Áp dụng bất đẳng thức Cơ-si, ta có: (1,0đ) x +8 x + + 4 x + 4( x + 1) A= ≥ = =4 x +1 x +1 x +1 Dấu “=” xảy ⇔ x = (Thỏa mãn điều kiện) x +1 = Vậy GTNN A = x = Câu a Vì đường thẳng (d): y = (a - 3)x + b song song với đường thẳng y = (1,5đ) -2x + nên: a - = -2 b ≠ => a = 1; b ≠ Tìm giao điểm đường thẳng y = 5x + y = x - M(2;-5) Vì (d): y = -2x + b qua M(-2;-5) => b = -9 (thỏa mãn) Vậy a = 1; b = -9 b + Từ hệ cho ta thấy ba số x; y; z suy hai (1,5đ) số lại (x; y; z) = (0; 0; 0) giá trị cần tìm + Trường hợp xyz ≠ 0: 0,25 đ 0,5 đ 0,5 đ 0,5 đ 3,0 đ 0,5 đ 0,5 đ 0,5 đ 0,5 đ 1 17 24 x + y = x = 24 x = 17 2( x + y ) = xy 1 49 1 19 24 + + ⇒ = ⇒ y = = 3( y + z ) = yz ⇔ + = ⇒ x y z 24 4( x + z ) = xz y z y 24 19 1 13 24 + = = z = 13 z 24 z x + Vậy cặp số (x; y; z) cần tìm 24 24 24 (x; y; z) = (0; 0; 0) (x; y; z) = ( ; ; ) 17 19 13 Câu a (2,0đ) A = a(4 − b)(4 − c) + b(4 − c)(4 − a) + c(4 − a)(4 − b) − abc Ta có: a + b + c + abc = ⇔ 4a + 4b + 4c + abc = 16 0,75 đ 0,25 đ 4,0 đ 0,5 đ ⇒ a (4 − b)(4 − c) = a(16 − 4b − 4c + bc) 0,5 đ = a (2 a + bc ) = a (2 a + bc ) = 2a + abc Tương tự: b(4 − c)(4 − a) = 2b + abc , c(4 − a)(4 − b) = 2c + abc b (2,0đ) 0,5 đ ⇒ A = 2(a + b + c) + abc − abc = 2(a + b + c + abc ) = 0,5 đ + Trước hết, chứng minh (x + 1) (x + 1) nguyên tố nhau: 0,25 đ Gọi d = ƯCLN (x + 1, x + 1) => d phải số lẻ (vì 2y + lẻ) 0,25 đ x + x Md x + 1Md x + 1Md ⇒ ⇒ x + 1M ⇒ ⇒ 2M d d mà d lẻ nên d = x + M d x − M d x + 1Md 0,5 đ + Nên muốn (x + 1)(x + 1) số phương Thì (x + 1) (x + 1) phải số phương x + = k k = k = −1 ⇒ ⇒ Đặt: (k + x)(k – x) = x + = t x = x = + Với x = (2y + 1) = ⇒ y = y = - (Thỏa mãn pt) Vậy nghiệm phương trình là: (x; y) ∈ { (0; 0); (0; − 1)} Câu 0,5 đ 0,5 đ 5,0 đ A O Q N P C I B M E H d a Gọi Q giao điểm AB với OM (2,0đ) Ta có AM//CE (cùng vng góc với AC) ⇒ ∠BEC = ∠MAB (so le trong) Mà ∠ABC = 90 ; ∠AQM = 90 ∠AMO = ∠OMB (Dễ chứng minh) Suy ∠AMO = ∠OMB = ∠BCE (cùng phụ với hai góc nhau) ⇒ tan BCE = tan OMB ⇒ BE OB MB OB ⇒ = = (1) BC MB BC BE Lại có ∠MBA = ∠OBC (cùng phụ với góc ABO) Nên ∠MBC = ∠OBE ( = 900 + ∠OBC ) (2) ∆ OBE (c.g.c) Từ (1) (2) suy ∆ MBC ∆ OBE ⇒ ∠BCM = ∠BEO b Từ ∆ MBC (1,5đ) Gọi I N giao điểm OE với BC MC ∆ BIE ∆ NIC (g.g) ⇒ ∠IBE = ∠INC Mà ∠IBE = 90 => ∠INC = 90 Vậy CM ⊥ OE c Gọi H hình chiếu vng góc O d P giao điểm AB (1,5đ) với OH OQ OP ∆ OHM (.g.g) => = Ta có ∆ OQP OH OM R2 2 QO OM = OP OH = OA = R ⇒ OP = OH Mà O d cố định => OH không đổi => OP khơng đổi Lại có : AB = 2AQ = 0A − OQ mà OQ ≤ OP R4 2R ⇒ AB ≥ OA − OP = R − = OH − R (K.đổi) OH OH Dấu “=” xảy ⇔ Q ≡ P ⇔ M ≡ H 2R OH − R ⇔ M ≡ H Vậy GTNN AB = OH 2 0,5 đ 0,5 đ 0,5 đ 0,5 đ 0,5 đ 0,5 đ 0,5 đ 0,5 đ 0,5 đ Câu 0,5 đ 2,0 đ (2,0đ) * Vẽ tam giác CMN Ta có: BC = AC; CN = CM; ∠ BCN = ∠ ACM (Vì có tổng với ∠ MCB 600) Do ∆ BCN = ∆ ACM (c.g.c) Suy BN = BM * Theo giả thiết: AM = BM + CM ⇔ BN = BM + MN ⇔ ∆BMN vuông M (Định lý Pitago) · · · ⇒ BMC = BMN + NMC = 900 + 600 = 1500 Câu Từ x + y + z = ⇔ (x + y + z)3 = Mà: x3 + y3 + z3 = ⇒ (x + y + z)3 - x3 - y3 - z3 = ⇔ ( x + y + z ) − z − ( x3 + y ) = 0,5 đ 0,5 đ 0,5 đ 0,5 đ 2,0 đ 0,5 đ ( ) ⇔ ( x + y + z − z ) ( x + y + z ) + ( x + y + z ) z + z − ( x + y ) x − xy + y = ⇔ ( x + y ) ( x + y + z + 2xy + yz + 2xz+xz + yz + z + z − x + xy − y ) = ⇔ ( x + y ) ( 3z + 3xy + yz + 3xz ) = 0,5 đ ⇔ ( x + y ) 3( y + z ) ( x + z ) = x + y = x = − y ⇔ y + z = ⇔ y = −z x + z = x = − z 2015 2015 2015 * Nếu x = − y ⇒ z = ⇒ A = x + y + z = 2015 2015 2015 * Nếu y = − z ⇒ x = ⇒ A = x + y + z = 2015 2015 2015 * Nếu x = − z ⇒ y = ⇒ A = x + y + z = Lưu ý: Học sinh làm cách khác cho điểm tối đa Hết - 0,5 đ 0,5 đ PHÒNG GD&ĐT ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI THÀNH PHỐ THÀNH PHỐ THANH HĨA NĂM HỌC 2015 - 2016 MƠN: TỐN LỚP Thời gian làm bài: 150 phút Bài 1: (4,0 điểm) Cho P = x x − 2x − x + x x −3 x −2 + x x + 2x − x − x x −3 x +2 Rút gọn P Với giá trị x P > Tìm x nguyên biết P đạt giá trị nguyên lớn Bài 2: (4,0 điểm) Giải phương trình − 3x − x − x − + + 2x =4 Tìm số nguyên x, y thỏa mãn x2 + xy + y2 = x2y2 Bài 3: (4,0 điểm) Cho a = x + 1 ; b=y+ y x , c = xy + xy Tính giá trị biểu thức: A = a2 + b2 + c2 – abc Chứng minh với x > ta ln có 3(x2 - 1 ) ) < 2(x x x3 Bài 4: (4,0 điểm) Cho tứ giác ABCD có AD = BC; AB < CD Gọi I, Q, H, P trung điểm AB, AC, CD, BD Chứng minh IPHQ hình thoi PQ tạo với AD, BC hai góc Về phía ngồi tứ giác ABCD, dựng hai tam giác ADE BCF Chứng minh trung điểm đoạn thẳng AB, CD, EF thuộc đường thẳng Bài 5: (2,0 điểm) Tam giác ABC có BC = 40cm, phân giác AD dài 45cm đường cao AH dài 36cm Tính độ dài BD, DC Bài 6: (2,0 điểm) Với a, b số thực thỏa mãn đẳng thức (1 + a)(1 + b) = Hãy tìm GTNN P = + a + + b -Hết PHÒNG GD&ĐT HƯỚNG DẪN CHẤM THÀNH PHỐ THANH HÓA ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI THÀNH PHỐ NĂM HỌC 2015 - 2016 MƠN: TỐN LỚP Bài Thời gian làm bài: 150 phút Tóm tắt cách giải Câ u 1 Điều kiện x > 0; x ≠ 1; P= ( x − 2)( x + 1) x −1 = = ( x − 2)( x − 1)( x + 1) + x +1 0,5 + ( x + 2)( x − 1)( x + 1) ( x + 2)( x − 1) ⇔ 0,5 x +1 x −1 2( x + 1) x −1 P > 1⇔ Điểm 0,5 2( x + 1) 2( x + 1) 2x + − x + > 1⇔ - > 0⇔ >0 x −1 x −1 x −1 x + > Theo đ/k x > ⇒ x+3>0 x −1 ⇒ x–1>0 ⇒ x>1 0,5 Kết hợp điều kiện x > 0; x ≠ 1; Suy x > 1; x ≠ P > P= 2( x + 1) =2+ Với x > 0; x ≠ 1; x −1 x −1 P nguyên ⇔ x – ước P đạt giá trị nguyên lớn ⇔ x – = ⇔ x = Vậy P đạt giá trị lớn x = Điều kiện x – + + x ≠ 0,5 0,5 0,5 0,5 0,25 Phương trình tương đương x − - x − - x + - 4x + 12 = (*) Xét x < - Thì (*) ⇔ - 3x + + ( x – 1) + 4(2x + 3) – 4x + 12 =0 0,5 ⇔ 2x = -28 0,25 ⇔ x = - 14 (Thỏa mãn đk) 0,25 Xét - ≤ x < Thì (*) ⇔ - 3x + + x – – 4(2x + 3) – 4x + 12 = ⇔ x= (Thỏa mãn đk) Xét ≤ x < 0,25 Thì (*) ⇔ - 3x + – (x -1) – 4(2x + 3) – 4x + 12 = ⇔ x= (loại) Xét x ≥ Thì (*) ⇔ 3x – – (x – 1) – 4(2x + 3) – 4x + 12 = 0,25 0,25 ⇔x=- (Loại) 2 7 Vậy phương trình có nghiệm x ∈ − 14; Ta có x2 + xy + y2 = x2y2 ⇔ (x + y)2 = xy(xy + 1) 0,5 xy = + Nếu x + y = ⇒ xy(xy + 1) = ⇔ xy = −1 0,5 Với xy = Kết hợp với x + y = ⇒ x = y = x = x = −1 y = −1 y = Với xy = -1 Kết hợp với x + y = ⇒ 0,5 + Nếu x + y ≠ ⇒ (x + y)2 số phương xy(xy + 1) hai số nguyên liên tiếp khác nên chúng ngun tố Do khơng thể số phương Vậy nghiệm ngun phương trình (x; y) = (0; 0); (1; -1); (-1; 1) a2 = x2 + +2 x2 0,5 1 b2 = y2 + y + 0,5 c2 = x2y2 + x y + 1 x x y y )(y + y ) = xy + xy + y + = c + y + x x x ab = (x + x y + ).c y x 0,5 y ) x 0,5 ⇒ abc = (c + x = c2 + c( y + x y 0,5 = c2 + (xy + xy )( y + ) x 1 = c2 + x2 + y2 + y + x = a2 – + b2 – + c 2 ⇒ A = a2 + b2 + c2 – abc = 1 3(x2 - ) < 2(x3 - ) x x ⇔ 3(x - 1 1 )(x + ) < 2(x - )(x2 + + 1) x x x x ⇔ 3(x + 1 ) < 2(x2 + + 1) (1) x x ( Vì x > nên x - 0,5 > 0) x 1,0 1 Đặt x + = t x2 + = t2 – x x 0,5 Ta có (1) ⇔ 2t2 – 3t – > ⇔ (t – 2)(2t + 1) > (2) Vì x > nên (x – 1)2 > ⇔ x2 + > 2x ⇔ x + ⇒ (2) Suy điều phải chứng minh > hay t > x IP = HQ; IP//HQ (Tính chất đường trung bình) AD = BC 0,5 (GT) 0,5 ⇒ IPHQ h.b.h Có IP = IQ = 1 AD = BC nên IPHQ hình thoi 2 Gọi P ; Q giao điểm PQ với AD BC Nhận thấy ∆ HPQ cân đỉnh H ⇒ HPQ = HQP (Góc đáy tam giác cân) (1) Mà PH // BC ⇒ BQ P = HPQ (So le trong) (2) QH // AD ⇒ AP P = HQP (So le trong) (3) 0,5 0,5 Từ (1); (2); (3) Suy AP P = BQ P ( đpcm) Gọi K, M, N trung điểm EF, DF, CE Từ giả thiết ∆ ADE = ∆ BCF dựa vào tính chất đường trung bình tam giác ta có ∆ HMP = ∆ HNQ (c.c.c) 0,5 Suy MHP = NHQ ⇒ MHQ = NHP ⇒ MHN PHQ có tia phân giác 0,5 Mặt khác dễ có IPHQ KMHN hình thoi 0,5 Suy HK HI phân giác MHN PHQ 10 Suy H, I, K thẳng hàng 0,5 Đặt BD = x, DC = y Giả sử x < y Pitago tam giác vng AHD ta tính HD = 27cm Vẽ tia phân giác góc ngồi A, cắt BC E Ta có AE ⊥ AD nên AD2 = DE.DH Suy AD 45 DE = = = 75cm DH 27 0,5 Theo tính chất đường phân giác ngồi tam giác x 75 − x DB EB ⇒ = = (1) y 75 + y DC EC 0,5 Mặt khác x + y = 40 (2) Thay y = 40 – x vào (1) rút gọn x2 – 115x + 1500 = ⇔ (x – 15)(x – 100) = 0,5 Do x < 40 nên x = 15, từ y = 25 Vậy DB = 15cm, DC = 25cm Áp dụng Bunhiacopski cho hai dãy a2; 1; ta có 0,5 (12 + 42)(a4 + 1) ≥ (a2 + 4)2 ⇒ 1+ a ≥ a2 + 17 0,5 (1) Dấu “=” xảy ⇔ a = Áp dụng Bunhiacopski cho b2; 1; ta có 17(b + 1) ≥ (b + 4) ⇒ 2 b +1 ≥ Dấu “=” xảy ⇔ b = 11 b2 + 17 (2) 0,5 Từ (1) (2) ⇒ P ≥ a2 + b2 + 17 (∗ ) Mặt khác theo giả thiết (1 + a)(1 + b) = ⇔ a + b + ab = 4 Áp dụng Cơsi ta có: a ≤ a2 + b ≤ b2 + ab ≤ 0,5 a2 + b2 Cộng vế ba bất đẳng thức ta (a + b ) + ≥ a + b + ab = 2 ⇒ a2 + b2 ≥ ( - ): = Thay vào ( ∗ ) 2 +8 P≥ = 17 17 Vậy giá trị nhỏ P 17 a = b = 2 Lưu ý: - Học sinh làm cách khác cho điểm tương đương - Bài hình khơng có hình vẽ hình vẽ sai khơng cho điểm 12 0,5 PHỊNG GIÁO DỤC - ĐÀO TẠO BÙ ĐĂNG KỲ THI CHỌN HS GIỎI LỚP CẤP HUYỆN Năm học: 2015 - 2016 Môn thi: Tốn Thời gian: 150 phút (khơng kể thời gian giao đề) Bài 1(5,0 điểm): Cho biểu thức: a) Tìm điều kiện xác định rút gọn A; b) Tính giá trị A, biết Tìm nghiệm ngun khơng âm phương trình: Bài 2(5,0 điểm): Giải hệ phương trình: Cho phương trình a) Chứng minh phương trình (1) có nghiệm với m b) Tìm m để phương trình (1) có nghiệm không âm Bài 3(5,0 điểm): Cho tam giác ABC có ba góc nhọn nội tiếp đường tròn tâm O Ba đường cao AK; BE; CD cắt H ( Chứng minh tứ giác ; nội tiếp Chứng minh Chứng minh KA phân giác góc Gọi M, N trung điểm BC DE Chứng minh: OA//MN Bài 4(2,0 điểm): Cho tứ giác lồi có khơng song song với Gọi M, N trung điểm cạnh Chứng minh rằng: Bài 5(3,0 điểm): Cho a, b, c số nguyên dương Chứng minh chia hết cho Cho Tìm giá trị nhỏ - - - Hết - - - 13 PHÒNG GIÁO DỤC - ĐÀO TẠO VĨNH YÊN ĐỀ THI CHỌN HS GIỎI LỚP CẤP HUYỆN NĂM HỌC 2015 - 2016 Môn Tốn (Thời gian: 150 phút, khơng kể thời gian giao đề) - Câu 1: (3,5 điểm) a Cho tính giá trị biểu thức Rút gọn biểu thức b Trong mặt phẳng tọa độ cho ba điểm tính diện tích tam giác Hãy vẽ điểm c Cho Tính Câu 2: (1,5 điểm) a Tìm tất số nguyên dương thỏa mãn b Cho số nguyên tố số nguyên dương Tìm tất số Câu 3: (1,0 điểm) Cho số thực dương a thỏa mãn phương trình thỏa mãn Chứng minh rằng: b Câu 4: (3,0 điểm) Cho hai đường tròn ( ) tiếp xúc với điểm Gọi tiếp tuyến chung ngồi hai đường tròn cho ( ) Đường thẳng cắt đường thẳng điểm a Chứng minh tam giác tam giác vng b Tính độ dài đoạn thẳng theo c Đường tròn tiếp xúc với minh thẳng hàng Bài 5: (1,0 điểm) Cho số thực dương x, y, z thỏa mãn: Tìm giá trị nhỏ biểu thức: -Hết - 14 Chứng ... trị nhỏ - - - Hết - - - 13 PHÒNG GIÁO DỤC - ĐÀO TẠO VĨNH YÊN ĐỀ THI CHỌN HS GIỎI LỚP CẤP HUYỆN NĂM HỌC 2015 - 2016 Mơn Tốn (Thời gian: 150 phút, khơng kể thời gian giao đề) - Câu 1:... thẳng y = (1,5đ) -2 x + nên: a - = -2 b ≠ => a = 1; b ≠ Tìm giao điểm đường thẳng y = 5x + y = x - M(2 ;-5 ) Vì (d): y = -2 x + b qua M (-2 ;-5 ) => b = -9 (thỏa mãn) Vậy a = 1; b = -9 b + Từ hệ cho... tương đương x − - x − - x + - 4x + 12 = (*) Xét x < - Thì (*) ⇔ - 3x + + ( x – 1) + 4(2x + 3) – 4x + 12 =0 0,5 ⇔ 2x = -2 8 0,25 ⇔ x = - 14 (Thỏa mãn đk) 0,25 Xét - ≤ x < Thì (*) ⇔ - 3x + + x – –