PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THỊ CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 9 Hướng dẫn chấm: TOÁN Câu 1: 4diém a.. Chứng minh rằng trong 8 sô tự nhiên có ba chữ sô, bao giờ cũng chọn được hai sô sao ` Zz
Trang 1PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THỊ CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 9
Hướng dẫn chấm: TOÁN
Câu 1: (4diém)
a Chứng minh rằng trong 8 sô tự nhiên có ba chữ sô, bao giờ cũng chọn được hai sô sao ` Zz
cho khi viết chúng liền nhau tạo thành một sô có sáu chữ sô và sô đó chia hêt cho 7
Khi đem § số trên chia cho 7 thì bao giờ cũng tìm được ít nhat hai sô du ging nhau Ta gọi hai số đó là abc và đef, suy ra: 0.25
abc =7m+r; def =7n+r (m,n EN, 0Sr<7) O29
Ta có
=1000(7m+r)+(7n+r) 0.5
=7(1000m+n)+100Ir
= 7(1000m +n+143r):7
ae = one 0.25
Vay abcdef =1000abc + def :7
b Cho hai số x, y thoả mãn x°y+xy” +l12=0 và x+y+xy+l=0:
Tính giá trị của biểu thức 4=xÌ`+yÌ
Taco 0.25
xy(x + y) =-12 0.25
Dat xy =a vax t+ y = b, suy ra a + b= -l; ab = -12 l
=b“+b-I2=0
=> (b+4)(b-3)=0
28 |~ Khi b = -4 suy ra a =3,
- Khi b= 3 suy ra a = -4
+ Với “ = -
A=x°+y`=(x+y} -3(x+y)=-28 0.25
=-4 =-4
+ Với “ => sự
A=xity =(xt+y) -3(x+y)= 63
Câu 2: (5.0 điểm)
a Cho a, b là hai số thực dương Chứng minh rằng (a+)' ~2b¬Ía >2axJb
Trang 2
Ta có (w-;] >0œa=ýa+2>0()
[W-2] >05-WB+z>0(
sa Cộng từng về (1) và (2) ta được a+b+>2Va+Vb>o
Ma a+b>2Vab >0
(a-+b){ a+6+3|22vlab (Va + VB)
Suy ra
=> (a+b) ch >2aVb +2bVa
0.25 0.25
b Cho hai số A = 111 11 (gồm có 2n chữ số 1) và B = 444 44 (gồm có n chữ số 4)
Chứng minh rằng A + B + 1 la một số chính phương
TacOA=I111 11 = 9 0.25
B= 444,,.44 =410 7! 0.25
Suy ra
9
_10”+4.10”+4 0.25
9
10"+2)
(có n - 1 chữ số 3) Vậy ta có điều phải chứng minh
c Giải phương trình
BS 2g We yy eee =§2-Vx-3-./y-1-Vz-665 Jx-3 Jy-1 Vz-665
Điều kiện x > 3, y > l,z > 665
a (4-vx-3} (2- yl) (35-2665) 0.5
Suy ra (4-Vx-3) +(2-Jy-1) +(35-/2-665 ] =0 0.5
Trang 3
xxz-3=‡i x=l9 ! 0.25
Vậy phương trình có nghiệm là (x = 19: y = 5;z= 1890) 0.25
Câu 3: (3.0 điềm)
Cho tam giác ABC có số đo ba cạnh là AB = 8 cm, BC = 7 cm, CA = Š cm Tìm một điểm D trên cạnh AB và một điểm E trên cạnh AC sao cho tam giác ADE và tứ giác
DECB có cùng số đo chu vi và có cùng số đo diện tích
Hướng dẫn châm Diém
0.5
Đặt AD =x cm với 0<x< 8
Chu vi tam giác ADE và tứ giác DECB có cùng sô đo chu vị nên:
Diện tích tam giác ADE và tứ giác DECB có cùng số đo diện tích, nghĩa là:
Diện tích tam giác ADE bằng nửa diện tích tam giác ABC 0.25
Do EH// CK nên #Í“ = AE _Tị số diện tích là: Ck AC 0.25
l =
Save — = AD! AE 3 vay Fn) oy gyi 3H (2)
S,c lupọg 48 AC 85 san 40 2 0.25
Thế (3) vào (2) ta được x(10 — x)= 20 x2~10x+20=0 => x?-2x.5+25-5=0 = (x-5) -(V5) =0
=x=5+45 ,hoặc x=5-5 0.25
Do 5-J5<5<5+V5 <8 Vì vậy ta chon: x = 545 (cm); y= 5~ 6/5 (cm) 025
Trang 4
Câu 4: (3.0 điểm)
a Số thí sinh trong ky thi chon học sinh giỏi cap huyện, nếu sắp xếp mỗi phòng thi 22 thí sinh thì thừa một thí sinh; còn nếu giảm một phòng thi thì số thí sinh dự thỉ được chia đều cho mỗi phòng thi Biết rằng mỗi phòng thi không quá 40 thí sinh; hỏi có bao nhiêu thí sinh tham dự
ky thi?
Gọi số phòng thi lúc đầu là x (phòng) (ĐK: x > 1, x eN)
Số học sinh tham dự kỳ thi là 22x + I (học sinh) 0.25
Số phòng thi sau khi giảm 1a x - 1 (phòng) 0.25 Theo đầu bài, khi này số học sinh chia đều cho mỗi phòng thi, do đó 0.25
2.0d | Ta cé 22x + 1 = (22x - 22) + 23 = 22(x - 1) + 23 :(x- 1)
Suy ra 23 :(x- 1) >(x- 1) €U(23) va(x- 1) EN 0.25
Suy ra x- 1= 1 =x=2 hoặc x- I =23 =x = 24
Khi x = 2 thì số học sinh là 22.2 + I = 45 em ( không thoả mãn)
Khi x = 24 thì số học sinh là 22.24 + I = 529 em (thoả man dé bai)
b Cho a, b, c là các số dương thoả mãn a+ + < 43 Tìm giá trị lớn nhất của biêu thức
b
\a?+1 Ajb2+1 Ac?+l
Ta có (a+b)(a+e)=a°+ab+bc+ca_ (l)
Từ atbtesv3 >(at+b+c) $3
Do đó 3(ab + bc + ca) <3 suy ra ab + be + ca <1 thay vào (1) ta co
(a+b)(a+e)>a°+l_ (Œ)
Tương tự (b+e)(b+a) >ð? +1; (c+a)(c+b) >e” +l 0.25
cày a b c 0.25 Khi đó ÄM⁄ < + +——
, ans a+b
Ap dung bat dang thire “~~ > Jab
pene Ẻ 2 0.25
2\a+b a+e) 2(b+c b+a) 2\c+a c+b
2\at+b b+c c+aj 2
Vậy M đạt giá trị lớn nhất là Š khi a= b=e = S|~
Trang 5
Câu 4: (5.0 điểm)
Cho đường tròn tâm O bán kính R và hai đường kính bất kỳ AB và CD sao cho tiếp tuyến tại A của đường tròn tâm O cắt các đường thăng BC và BD tại hai điểm tương
ứng là E và F Gọi P và Q lần lượt là trung điểm của các đoạn thăng EA va AF
a) Chứng minh trực tâm H của tam giác BPQ là trung điểm của đoạn thăng OA
b) Tìm điều kiện của hai đường kính AB và CD đề tam giác BPQ có diện tích nhỏ
nhất
Hướng dẫn cham Diém
0.5
E P A Q F
2.54 | 3) Ve PIL BQ tai I, PI cat AB tai H thi H là trực tâm của tam giác BPQ 0.25
~AE
Q AB lạp 204
—= an = 4b-AP _ 4B _R_OA
8R 8k 2 2
b) Vi tri trong doi cua AB va CD
Simo = ABPQ _ RPO =R(AP + AQ) = = (AE+ AR) > “=
2.5d S1 AE.AF = RV AB’ =2R
S;pạ =2? © AE = AF © ABEF vuông cân tại B 0.5
© ABCD vuông cân tại B © AB LCD oe Vậy Sppo dat GTNN 1a 2R* khi AB 1 CD 0.5
Chú ý: - Mọi cách giải khác nếu đúng và phù hợp thì van dat diém toi da;
- T6 cham cân thảo luận dé thong nhat dap an, biểu điểm trước khi chấm