Đề thi HSG Toán 9 cấp trường

Đề THI CHọN HSG môn Toán Bài1(4đ) a/ Tính 62 6+2 b/ Cho a +b +c = , a,b,c Chứng tỏ 1 1 1 + + + 2+ = a b c a b c c/ Hãy chứng tỏ x = + nghiệm phơng trình x3 +3x = Bài2(4đ) a/ Rút gọn, tính giá trị biểu thức A= x y 1 + + ữ xy xy x y x + y + xy ( 1 + ữ yữ x+ y x ) ] Với x = 3, y = + b/ Giải phơng trình x + + x = Bài3(5đ) a/ Tìm giá trị lớn ,giá trị nhỏ biểu thức B= x2 x + x2 + x + b/ Trên mặt phẳng toạ độ cho điểm A(0;4) ; B(3;4) ; C(3;0) Viết phơng trình đờng thẳng qua A, C Xác định a để đờng thẳng y =ax chia hình chữ nhật OABC thành hai phần , diện tích phần chứa điểm A gấp đôi diện tích phần chứa điểm C Câu 4:(2) Cho hình ch nht ABCD,AB= 2BC.Trên cnh BC ly im E, tia AE ct ng thng CD F.Chng minh rng : 1 = + 2 AB AE AF Câu (5đ) : Cho tam giác ABC vuông A ,đờng cao AH Gọi D E lần lợt hình chiếu điểm H AB AC Biết BH = 4(cm) ; HC = 9(cm) a, Tính độ dài đoạn DE b, Chứng minh AD AB = AE.AC c, Các đờng thẳng vuông góc với DE D E lần lợt cắt BC M N Chứng minh M trung điểm BH ; N trung điểm CH d, Tính diện tích tứ giác DENM Đáp án thang điểm Bài 1: a/ 62 6+2 = =| 1| - | +1 + +1 = ( ) ( ) +1 + 1| = = 1 1 1 + + + 2+ = a b c a b c b) CM Ta có 1 + + = a2 b2 c2 2 1 1 1 a+b+c + = + + + + + a b c ab bc ac a b c abc a+b+c =0 abc Mà a +b +c = , a,b,c #0 => Vậy 1 + + = a b2 c2 1 + + a b c = 1 + + a b c c) Hãy chứng tỏ x = + nghiệm phơng trình x3 +3x = Tacó : x3 = +2 3 = + 3 ( + ) + 3 + . = + . .3 + = - 3.3 = 3x * x3 = 3x x3 + 3x + = ( )( ) + x Vậy x = + nghiệm PT x3 + 3x + = Bài2(4đ) a/ Rút gọn, tính giá trị biểu thức A= x y 1 + + ữ xy xy x y x + y + xy Với x = 3, y = + Giải : ĐK : x > , y > ( 1 + ữ yữ x+ y x ) ( ] 52 ) A= = = x y 1 : + ữ + xy xy x y x + y + xy x + y : xy xy xy x y x y xy xy ( x+ y ) ( x+ y : xy x + y ( + ) + = x + xy + y : xy x + y xy xy = x+ y : = xy x + y xy xy x y x y ( ( ) ( ( x+ y ) 1 + ữ x ữ y ] x + y xy x+ y xy ( ) x + y ) ) ) x y xy Khi x = 3, y = + A = 2+ (2 )(2 + ) = 2+ => A2 = = Do A < => A = - x + + x = (1) b/ Giải phơng trình ĐK: x (1) => ( x + + x 7) = 42 ( x + 9)( x ) ) = 16 2( ( x + 9)( x ) ) = 16 2( x + 1) ( x + 9)( x ) = (x + 1) (2) 2x + + 2( Nếu ( x+ 1) < x + > x > (2) Vô nghiệm => (1) Vô nghiệm Nếu ( x+ 1) x + x Kết hợp với ĐK đầu => x = Thử x = vào pt(2) ta có = Vậy x = nghiệm pt (2) nghiệm PT (1) Bài3(5đ) x + 3x + x x 2( x + 1) Ta có B = = 3 x + x +1 x + x +1 GTLN B = x = -1 ( ) x 3x + x2 + x +1 x 2x + 1 2( x 1) = + = + B= 2 2 3 x + x +1 3 x + 3x + 3 x + x + x + x +1 ( GTNN B = b) ) ( ) x = y ( ) A O C x Đờng thẳng qua hai điểm A( ;4) C( 3; 0) có dạng y = ax + b A(0;4) đờng thẳng y = ax + b = a.0 + b b = B(3;0) đờng thẳng y = ax + b = a.3 + b 3a + = a = 4 Vậy đờng thẳng qua hai điểm A C : y = x + Đờng thẳng y = ax đờng thẳng qua gốc toạ độ cắt cạnh BC hcn OABC M(3; y0) (y0 > 0) cho chia hình chữ nhật OABC thành hai phần , diện tích phần chứa điểm A gấp đôi diện tích phần chứa điểm C nghĩa SOMC = SOABC 1 OC.CM = OA.OC (1) Mà OC = |3| = , CM = | y0| = y0 ( y0 > 0), OA = | 4| = , OC = | 3| = Từ (1) tacó 1 3.y0 = y0 = 3 Vậy đờng thẳng y =ax qua M(3; 8 ) = a.3 a = 3 Câu 4(2đ) A B E K D K AKAF ( K CD ) (0,5) ABE ADK (g.g) (0,75) C F AE AB = = (0,25) AK AD Suy Hay AK = AE (0,5) p dng h thc lng i vi tam giác vuông AKF,ta có : 1 = + (0,5) 2 AD AK AF 1 = + 2 AF Suy AB ữ AE ữ 1 = + Hay (0,5) AB AE AF Câu 5: (5đ) Vẽ hình ghi giả thiết kết luận đẹp (0,5đ) a.(1đ) Tính DE = (cm) (1đ) b.(1đ) Chứng minh hệ thức dựa vào hệ thức lợng tam giác vuông (1đ) c (2đ) Gọi I giao điểm AH DE thì: ID = IE = IA = IH (0,5đ) MID = MIH (cạnh huyền cạnh góc vuông) (0,5đ) MD = MH MDH cân M MDH = MHD MDB = MBD (0,5đ) MBD cân M ta có MD = MB MB = MH (= MD) M trung điểm BH Chứng ming.thì N trung điểm HC (0,5đ) d (0,5đ) Từ câu c suy ra: DM = EN = S 1 BH = = 2(cm) 2 1 HC = = 4,5(cm) 2 DENM = (0,25đ) 1 (DM + EN) DE = (2 + 4,5) = 19,5 (cm2) 2 (0,25đ) ... (1) b/ Giải phơng trình ĐK: x (1) => ( x + + x 7) = 42 ( x + 9) ( x ) ) = 16 2( ( x + 9) ( x ) ) = 16 2( x + 1) ( x + 9) ( x ) = (x + 1) (2) 2x + + 2( Nếu ( x+ 1) < x + >... 2 AD AK AF 1 = + 2 AF Suy AB ữ AE ữ 1 = + Hay (0,5) AB AE AF Câu 5: (5đ) Vẽ hình ghi giả thi t kết luận đẹp (0,5đ) a.(1đ) Tính DE = (cm) (1đ) b.(1đ) Chứng minh hệ thức dựa vào hệ thức lợng... DM = EN = S 1 BH = = 2(cm) 2 1 HC = = 4,5(cm) 2 DENM = (0,25đ) 1 (DM + EN) DE = (2 + 4,5) = 19, 5 (cm2) 2 (0,25đ)