Đề thi HSG Toán 9 cấp trường

Trờng: THCS Yên Phong Đề thi môn: Toán Thời gian làm bài: 150 phút (không kể thời gian giao đề) Họ tên ngời đề: Vũ Thị Mỹ Hòa Đề thi Câu 1: (4 điểm) Rút gọn biểu thức sau: a) M = ( b) N = x x +3 x+ x) với x 0, x 3 x x 3x + (49 20 6)(5 + 6) + 11 Câu 2: (4 điểm) a) Giải hệ phơng trình: x + y = x y = b) Cho điểm A(7;2) ; B(2;8) C(8;4) xác định đờng thẳng (d) qua A cho điểm B C nằm hai phía (d) cách (d) Câu 3: (5 điểm) a) Chứng minh số dơng a,b,c có tổn a+b+c=1 1 + + a b c b) Cho số a,b,c thỏa mãn điều kiện a+b+c=0 Chứng minh rằn 2(a5+b5+c5)= 5abc(a2 +b2 + c2 ) Câu 4: ( 5điểm) Cho nửa đờng tròn (O) đờng kính BC điểm A tr nửa đờng tròn(A khác B C) Kẻ AH vuông góc với BC Trên nửa mặ phẳng bờ BC chứa điểm A, vẽ nửa đờng tròn (O1) (O2) đờng kính BH C chúng lần lợt cắt AB, AC E F a) Chứng minh: AE.AB = AF.AC b) Chứng minh EF tiếp tuyến chung hai đờng tròn (O1) (O2) c) Gọi I K lần lợt điểm đối xứng H qua AB AC Chứng minh điểm I, A, K thẳng hàng d) Gọi M giao điểm IK với tiếp tuyến kẻ từ B đờng tr (O) Chứng minh MC, AH EF đồng qui Câu 5: (2 điểm) Cho S = So sánh S với 1 1 + + + + 1.2009 2.2008 3.2007 2009.1 2009 2010 Hớng dẫn chấm Câu Nội dung M =( x x +3 x+ x ) x x 3x + ( x + 3)( x x + 3) x+ = x x 3x + x 1a) = ( x + 3) x+ ( x + 3)( x 3) =1 N= = 1b) (49 20 6)(5 + 6) + 11 (5 6) (5 + 6) ( + 2) 11 = (5 6)( + 2) ( 2) ( + 2) = = 11 11 = ( 2)(9 + 11 2) =5=2 (9 3) (11 2) Điểm 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 2a) Trừ vế với vế phơng trình (1) cho phơng trình (2) ta 0,5 y + y = x y = hệ phơng trình tơng đơng y = 11 x y = y = 5,5 x = 1,5; x = 0,5 0,5 0,5 0,5 Vậy hệ có nghiệm (0,5;5,50; (1,5;5,5) 2b) Gọi đờng thẳng d y=ax+b Điểm A( 7;2) thuộc d nên0,5 2=7a+b(1) Đờng d cắt đờng thẳng song song với trục hoành B M C 16 Gọi BH, CK đờng thẳng vuông góc với d B C Ta có BH=CK 0,5 nên BM=CN=m Ta có M(2+m;8) H N(8-m;4) B M Vì M N thuộc d nên 0,5 8=a(2+m) +b (2) N 4=a(8-m) +b (3) K C Từ (1),(2) (3) ta có A 0,5 a=-2;b=16 m=2 Đờng thẳng d phải tìm y=-2x+16 3a) Ta có a+b+c=1 nên 1 a+b+c a+b+c a+b+c + + = + + a b c a b c b a c b c a = 3+ + + + + + a b b c a c 3+ 2+ 2+ = 0,5 0,5 0,5 0,5 Dấu xảy a=b=c=1/3 3b) Ta có a+b+c=0 nên a+b=-c Do a+b=-c nên( a+b) Suy a3+b3+c3= 3abc;a2+b2=c2-2ab; a2+c2=b2-2ac; 0,5 c2+b2=a2-2bc Nên 3abc(a2+b2+c2)= (a3+b3+c3) (a2+b2+c2) 0,5 5 2 2 2 = (a +b +c )+a (b +c )+ b (a +c )+ c (b +a ) = (a5+b5+c5)+a3(a2-2bc)+ b3(b2-2ac) +c3(c2-2ab) 0,5 5 2 =2(a +b +c )-2abc(a +b +c ) Vậy 3abc(a2+b2+c2)= 2(a5+b5+c5)-2abc(a2+b2+c2) 0,5 5 2 Hay 2(a +b +c )= 5abc(a +b + c ) a)AE.AB=AF.AC=AH2 K b) C/m VGEO =VGHO(c.c.c) suy GEO1 = IHO1 = 900 nên EF l tip 0,5 A M F Tuyến đờng tròn (O) I G Tơng tự EF tiếp tuyến E 0,5 đờng tròn (O1) B C c)C/m EF//AK EF//AI suy A,I1và K O O O 0,5 thẳng hàng d) C/m AH cắt EF trung điểm G 0,5 AH( Vì AEHF hình chũ nhật) MC cắt AH trung điểm G 0,5 AH ( Vì AH// MB AB//HF nên GM BH AF = = nên AM//GF G trung điểm AH) GC CH FC 0,5 Suy đờng EF, AH MC đồng qui áp dụng bất đẳng thức Co-si cho số không âm a b ta có dấu xảy a=b ab a + b 0,5 2 > = 1.2009 + 2009 2010 2 > = Ta có 2.2008 + 2008 2010 2 > = 0,5 2009.1 + 2009 2010 1 1 2009 + + + + = Nên S = > 2009 1.2009 2.2008 3.2007 2009.1 2010 2010 0,5 2009 Vậy S=2 2010 a + b ab 0,5 ... b 0,5 2 > = 1.20 09 + 20 09 2010 2 > = Ta có 2.2008 + 2008 2010 2 > = 0,5 20 09. 1 + 20 09 2010 1 1 20 09 + + + + = Nên S = > 20 09 1.20 09 2.2008 3.2007 20 09. 1 2010 2010 0,5 20 09 Vậy S=2 2010 a +... 1.20 09 2.2008 3.2007 20 09. 1 20 09 2010 Hớng dẫn chấm Câu Nội dung M =( x x +3 x+ x ) x x 3x + ( x + 3)( x x + 3) x+ = x x 3x + x 1a) = ( x + 3) x+ ( x + 3)( x 3) =1 N= = 1b) ( 49 20... 6)(5 + 6) + 11 (5 6) (5 + 6) ( + 2) 11 = (5 6)( + 2) ( 2) ( + 2) = = 11 11 = ( 2) (9 + 11 2) =5=2 (9 3) (11 2) Điểm 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 2a) Trừ vế với vế phơng trình (1) cho