Đềthi Học sinh giỏi môn toán Câu 1: (2 điểm) Cho biểu thức sau: P= x2 x x + x +1 2x + x x + 2( x 1) x 1 Rút gọn P Tìm giá trị nhỏ P Tìm x để biểu thức Q = x nhận giá trị số nguyên P Câu 2: (2 điểm) Cho đờng thẳng (d) có phơng trình: 2( m 1) x + ( m 2) y = Vẽ (d) với m = Chứng minh (d) qua điểm cố định với m Tìm m để (d) cách gốc toạ độ khoảng lớn Câu 3: (2,5 điểm) Giải phơng trình nghiệm nguyên: x + y + 3xy ( x + y ) + = Cho a, b số thực dơng thoả mãn: a + b = b a Chứng minh rằng: 2a + 3b + + 10 18 b Câu 4: (2,5 điểm) Cho hình thang vuông ABCD ( A = D = 90 ) , tia phân giác góc C qua trung điểm I AD Chứng minh BC tiếp tuyến đờng tròn (I, IA) Cho AD = 2a Tính tích AB CD theo a Gọi H tiếp điểm BC với đờng tròn (I) nói K giao điểm AC BD Chứng minh KH song song với BC Câu 5: (1 điểm) Cho a, b, c cạnh tam giác có góc nhọn Chứng minh với số thực khác không x, y, z ta có: x y z 2x + y + 2z + + a2 b2 c2 a2 + b2 + c2 Hớng dẫn chấm đềthi học sinh giỏi Môn: Toán Câ ý u Điều kiện: < x 1 P= x ( )( ) (2 x x + x +1 x + x +1 P = x x +1 ) ( Điể m 0,25 0,25 0,25 ) x +1 + x +1 1 3 P = x x + + = x + với x thoả mãn 4 4 0,25 điều kiện xác định 1 x =0 x= 4 x x 2 Q= = = = P M x x +1 x+ x > M > < Q < Q nguyên Với < x x + x x Q =1 =1 x x +1 7+3 73 x x +1 = x = ;x = 2 73 Kết luận: với x = Q Z P = Với m = 3: phơng trình đờng thẳng (d) trở thành: 4x + y = 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 Ta có: x = 0; y = y = 0; x = - 2 0,25 1 Gọi điểm cố định mà đờng thẳng (d) qua M(x0,y0) Ta có: 2( m 1) x0 + ( m 2) y = với m x = 1; y = Kết luận: Vậy đờng thẳng (d) qua điểm cố 0,25 0,25 định M(1; -2) Từ phơng trình (d) không qua gốc toạ độ Gọi giao (d) với Ox A ;0 , với trục tung B 0; m m2 0,25 Gọi H chân đờng vuông góc hạ từ O lên AB Ta có: 1 = + OH = 2 OH OA OB 2 ( m 2) + 4( m 1) = 2 x + y + 3xy ( x + y ) + = ( x + y )( x + y 1) = 0,25 0,5 Vậy max OH = m = Vì x, y Z ( x + y ) Z ( x + y 1) Z ( x + y ) x + y Là ớc -3 cho tích chúng -3 Ta có trờng hợp: TH1: x + y = 1; x + y = x = 4; y = TH2: x + y = 1; x + y = x = 6; y = TH3: x + y = 3; x + y = x = 8; y = TH4: x + y = 3; x + y = x = 6; y = Kêt luận: Tập nghiệm phơng trình: S = { ( 4;3) ; ( 6;5) ; ( 8;5); ( 6;3) } b 10 3a 5b 10 2a + 3b + + = + + + +2 a b a b Với a, b > áp dụng BĐT Cauchy ta có: 3a 5b 10 A2 +2 + = 2.3 + 2.5 + = 18 đpcm a b Dấu = a = b = Kẻ IH vuông góc BC Vì I nằm tia phân giác góc BC D nên IH = IB = AB H ( I , IA) BC tiếp tuyến (I,IA) 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 vẽ hìn h đún g (0,2 5) 0,75 BA vuông góc IA CD vuông góc với IB suy BA, CD lần lợt tiếp tuyến (I) A B 0,25 - Xét (I, IA), có BA, BH tiếp tuyến cắt B; CD, CH tiếp tuyến cắt C Theo tính chất tiếp tuyến cắt ta có: ( ) I1 = I2 ; I3 = I4 I1 + I2 + I3 + I4 = I2 + I3 = I2 + I3 (1) BA = BH ; CD = CH (2) Ta có: AIH + HID = 180 I1 + I2 + I3 + I4 = 180 I2 + I3 = 90 BH I = 90 BIC vuông C 0,5 - Xét BIC vuông C, đờng cao IH, ta có: 2 AB 2a IH = BH CH = AB.CD AB.CD = = =a 2 AB BK BH BK = = Vì AB//CD, theo định lý Talet ta có: hay CD KD HC KD (theo (2)) Theo định lý talet đảo: KH // CD 0,25 0,25 0,25 Với a, b, c cạnh tam giác nhọn, ta có: 0,25 a2 + b2 > c2;b2 + c2 > a2 ;a + c2 > b2 a b ( a + b) + Với a, b R, x, y > Ta có: (1) 2 x y x+ y Thật vậy: (1) ( a y + b x )( x + y ) ( a + b ) xy ( ay bx ) (luôn với a, b, x, y) Suy (1) Ta có: 2 2x x x x2 x2 ( x + x) 4x x2 2x = + > + = > a2 a a b + c2 a2 a2 + b2 + c2 a2 + b2 + c2 a a + b2 + c2 0,25 0,25 (2) Làm tơng tự ta có: y2 2y2 > b2 a2 + b2 + c2 z2 2z > c2 a + b2 + c2 (3) x y z 2x + y + 2z Từ (2) (3) + + > (đpcm) a b c a2 + b2 + c2 0,25 ...Hớng dẫn chấm đề thi học sinh giỏi Môn: Toán Câ ý u Điều kiện: < x 1 P= x ( )( ) (2 x x + x +1 x + x +1 P = x x +1 ) ( Điể... + I3 (1) BA = BH ; CD = CH (2) Ta có: AIH + HID = 180 I1 + I2 + I3 + I4 = 180 I2 + I3 = 90 BH I = 90 BIC vuông C 0,5 - Xét BIC vuông C, đờng cao IH, ta có: 2 AB 2a IH = BH CH = AB.CD