Đề thi HSG toán 9 cấp huyện

Bài 42,5 điểm: Cho đờng tròn tâm O bán kính R và đờng thẳng d không có điểm chung với đờng tròn.. M là một điểm di chuyển trên d, từ M kẻ hai tiếp tuyến MA, MB với đờng tròn A, B là tiế

Đề thi HSG huyện môn toán 9

(Thời gian làm bài 150 phút)

Đề bài

Bài 1(2,0 điểm):

Cho 10 số nguyên dương liên tiếp Nếu xoá một trong 10 số đó thì tổng 9

số còn lại bằng 18047 Xác định số bị xoá

Bài 2(2,0 điểm):

a Giải phơng trình: 8x 11 4 6  11 4 6 .

b Cho biểu thức: A =  3   3 3 

3

2 1 2 1

3

Chứng minh rằng A là một số nguyên

Bài 3(2,0 điểm):

a Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức Q = x3 + (2 - x)3

b Tìm các số nguyên x, y, z thoả mãn bất đẳng thức sau:

2 2 2

x y z xy 3y 4z 6  

Bài 4(2,5 điểm):

Cho đờng tròn tâm O bán kính R và đờng thẳng (d) không có điểm chung với đờng tròn M là một điểm di chuyển trên (d), từ M kẻ hai tiếp tuyến MA, MB với đờng tròn (A, B là tiếp điểm)

a Chứng minh rằng, khi M di chuyển trên (d) thì AB luôn đi qua một

điểm cố định

b Từ O kẻ đờng thẳng song song với AB, cắt MA tại P Hãy xác định vị trí điểm M để tam giác MOP có diện tích nhỏ nhất

Bài 5(1,5 điểm):

Cho tam giác vuông ABC, vuông tại đỉnh A, có các cạnh tơng ứng a, b, c Cho biết: a = 140cm, b:c = 3:4 Tìm độ dài đờng cao h thuộc cạnh huyền

Hết

Đáp án chấm bai thi HSG môn toán 9 Bài 1(2,0 điểm):

Cho 10 số nguyên dương liên tiếp Nếu xoá một trong 10 số đó thì tổng 9

số còn lại bằng 18047 Xác định số bị xoá

Giải

Xét 10 số nguyên dơng liên tiếp l x, x + 1, , x + 9.à x, x + 1, , x + 9.

Tổng của 10 số l 10x + 1 + 2 + + 9 = 10x + 45.à x, x + 1, , x + 9

Giả sử số bị xoá l x + k (k = 0, 1, 2, , 9) thì tổng 9 số còn là x, x + 1, , x + 9 ại l T = 9xà x, x + 1, , x + 9 + 45 – k Vì 18047 chia cho 9 có số d l 2 nên k < 9 v do đó số T chia cho 9à x, x + 1, , x + 9 à x, x + 1, , x + 9

có d l 9 – k = 2, suy ra k = 7 à x, x + 1, , x + 9

Ta có 9x + 45 - 7 = 18047 nên x = 2001 Số bị xoá l à x, x + 1, , x + 9 2008

Bài 2(2,0 điểm):

c Giải phơng trình: 8x 11 4 6  11 4 6 . (0,75đ)

d Cho biểu thức: A =  3   3 3 

3

2 1 2 1

3

Chứng minh rằng A là một số

Giải

a) Phơng tình đã cho tơng đơng với:

 

8x 11 4 6 11 4 6 8x 2 2 3 2 2 3 8x 2 2 3 2 2 3

8x 2 2 3 2 2 3

2 2x 4 2

x 2 b) Đặt B =  3 2 1   3 3 2 1  ta có:

(1)

3

3

2

B 2 1 2 1

2 3 2 2 1 1 2 1

3 2 3 2 3 2 1

3 2 3 2 1 2 1 3 2 1 3

Do đó B3 3 Suy ra 3 3 3

A  B : 3  3 : 3  1 l số nguyên.à x, x + 1, , x + 9

Bài 3(2,0 điểm):

c Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức Q = x3 + (2 - x)3 (0,75đ)

d Tìm các số nguyên x, y, z thoả mãn bất đẳng thức sau: (1,25đ)

2 2 2

x y z xy 3y 4z 6  

a) Ta có

       

  

   

   

3

2 2

2

Q x 2 x x 8 12x 6x x 6x 12x 8

6 x 2x 1 2

6 x 1 2 2 Dấu đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi x = 1 Vậy Qmin 2 (đạt đợc khi x = y

= 1)

b) Bất đẳng thức 2  2  2    

x y z xy 3y 4z 6 tơng đơng với

      

x y z xy 3y 4z 7 1 (*) Vì x, y, z nguyên nên từ (*) ta có

      

x y z xy 3y 4z 7 0

Do đó :           

2

Suy ra



















y

2 y

2

Từ đó ta có các số nguyên thoả mãn bất đẳng thức đã cho l :à x, x + 1, , x + 9

x 1, y 2, z 2

(2)

Bài 4(2,5 điểm):

Cho đờng tròn tâm O bán kính R và đờng thẳng (d) không có điểm chung với đờng tròn M là một điểm di chuyển trên (d), từ M kẻ hai tiếp tuyến MA, MB với đờng tròn (A, B là tiếp điểm)

c Chứng minh rằng, khi M di chuyển trên (d) thì AB luôn đi qua một

điểm cố định

(1,25đ)

d Từ O kẻ đờng thẳng song song với AB, cắt MA tại P Hãy xác định vị trí điểm M để tam giác MOP có diện tích nhỏ nhất (1,25đ)

Giải

N

O K

A

P

M

B

H

a) Vì MA, MB l các tiếà x, x + 1, , x + 9 p tuyến của đờng tròn nên MA = MB v MA à x, x + 1, , x + 9  OA

Vì MA = MB v OA = OB nên OM l trung trựà x, x + 1, , x + 9 à x, x + 1, , x + 9 c của AB, suy ra AB 

OM Trong tam giác AOM vuông tại A có AN l đà x, x + 1, , x + 9 ờng cao nên ON OM = OA2

= R2 (không đổi)

Gọi H l chân đà x, x + 1, , x + 9 ờng vuông góc hạ từ O đến (d) v K l giao củà x, x + 1, , x + 9 à x, x + 1, , x + 9 a AB và x, x + 1, , x + 9

OH Từ hai tam giác đồng dạng ONK v OHM (g-à x, x + 1, , x + 9 g) có

ON OK

OH OM Suy ra ON OM

HK

OH

 Vì ON.OM, OH không đổi nên OK không đổi Mặt khác K nằm giữa O

v H nên suy ra K cố định Vậy khi M di chuyển trên (d) thì AB luôn đi qua mộtà x, x + 1, , x + 9

điểm cố định

(3)

S MP.OA MA AP OA MA AP R

Áp dụng bất đẳng thức Côsi có

1

MA AP MA.AP

Dấu đẳng thức xẩy ra khi v chà x, x + 1, , x + 9 ỉ khi MA = AP

Trong tam giác vuông MOP có MA AP = OA2 = R2 (3)

Từ (1), (2) v (3) có à x, x + 1, , x + 9 2

MOP

S R Tam giác MOP có diện tích nhỏ nhất l Rà x, x + 1, , x + 9 2 (đạt đợc khi MA = MP = R Vậy để tam giác MOP có diện tích nhỏ nhất thì OM = R 2

Bài 5(1,5 điểm):

Cho tam giác vuông ABC, vuông tại đỉnh A, có các cạnh tơng ứng a, b, c Cho biết: a = 140cm, b:c = 3:4 Tìm độ dài đờng cao h thuộc cạnh huyền

Giải

Từ giả thiết b : c = 3 : 4 ta có

 

b c

k

3 4 Suy ra b = 3k, c = 4k

Áp dụng định lý Pitago v o tam giácà x, x + 1, , x + 9 vuông đang xét có:

3k2 4k2 140 hay 2 5k2 1402 Suy ra 5k = 140, do đó k = 28 Từ đó các cạnh b, c của tam giác l à x, x + 1, , x + 9 84cm

v 112cm à x, x + 1, , x + 9

Từ ahbc hbc

a Do đó đờng cao thuộc cạnh huyền là x, x + 1, , x + 9

84.112 

h 67,2cm 140

Hết