Đềthi học sinh giỏi Toán ĐỀSỐ Câu : (2 điểm) a − 4a − a + P= a − a + 14a − Cho a) Rút gọn P b) Tìm giá trị nguyên a để P nhận giá trị nguyên Câu : (2 điểm) a) Chứng minh tổng hai số nguyên chia hết cho tổng lập phương chúng chia hết cho b) Tìm giá trị x để biểu thức : P=(x-1)(x+2)(x+3)(x+6) có giá trị nhỏ Tìm giá trị nhỏ Câu : (2 điểm) a) Giải phương trình : 1 1 + + = x + x + 20 x + 11x + 30 x + 13 x + 42 18 b) Cho a , b , c cạnh tam giác Chứng minh : A= a b c + + ≥3 b+c−a a+c−b a+b−c Câu : (3 điểm) Cho tam giác ABC , gọi M trung điểm BC Một góc xMy 600 quay quanh điểm M cho cạnh Mx , My cắt cạnh AB AC D E Chứng minh : a) BD.CE= BC b) DM,EM tia phân giác góc BDE CED c) Chu vi tam giác ADE không đổi Câu : (1 điểm) Tìm tất tam giác vuông có số đo cạnh số nguyên dương số đo diện tích số đo chu vi Hocmai.vn GV: Trần Nhật Minh ĐT tư vấn: 01234646464 Đềthi học sinh giỏi Toán HƯỚNG DẪN Câu : (2 đ) a) (1,5) a3 - 4a2 - a + = a( a2 - ) - 4(a2 - ) =( a2 - 1)(a-4) =(a-1)(a+1)(a-4) 0,5 a3 -7a2 + 14a - =( a3 -8 ) - 7a( a-2 ) =( a -2 )(a2 + 2a + 4) - 7a( a-2 ) =( a -2 )(a2 - 5a + 4) = (a-2)(a-1)(a-4) Nêu ĐKXĐ : a ≠ 1; a ≠ 2; a ≠ Rút gọn P= b) (0,5đ) P= a +1 a−2 0,5 0,25 0,25 a−2+3 ; ta thấy P nguyên a-2 ước 3, =1+ a−2 a−2 mà Ư(3)= {− 1;1;−3;3} 0,25 Từ tìm a ∈ {− 1;3;5} 0,25 Câu : (2đ) a)(1đ) Gọi số phải tìm a b , ta có a+b chia hết cho 0,25 Ta có a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2)=(a+b) [(a + 2ab + b ) − 3ab]= =(a+b) [(a + b) − 3ab] 0,5 Vì a+b chia hết (a+b)2-3ab chia hết cho ; Do (a+b) [(a + b) − 3ab] chia hết cho b) (1đ) P=(x-1)(x+6)(x+2)(x+3)=(x2+5x-6)(x2+5x+6)=(x2+5x)2-36 Ta thấy (x2+5x)2 ≥ nên P=(x2+5x)2-36 ≥ -36 0,25 0,5 0,25 Do Min P=-36 (x2+5x)2=0 Từ ta tìm x=0 x=-5 Min P=-36 0,25 Câu : (2đ) a) (1đ) x2+9x+20 =(x+4)(x+5) ; Hocmai.vn GV: Trần Nhật Minh ĐT tư vấn: 01234646464 Đềthi học sinh giỏi Toán x2+11x+30 =(x+6)(x+5) ; x2+13x+42 =(x+6)(x+7) ; 0,25 ĐKXĐ : x ≠ −4; x ≠ −5; x ≠ −6; x ≠ −7 0,25 Phương trình trở thành : 1 1 + + = ( x + 4)( x + 5) ( x + 5)( x + 6) ( x + 6)( x + 7) 18 1 1 1 − + − + − = x + x + x + x + x + x + 18 1 − = x + x + 18 0,25 18(x+7)-18(x+4)=(x+7)(x+4) (x+13)(x-2)=0 Từ tìm x=-13; x=2; 0,25 b) (1đ) Đặt b+c-a=x >0; c+a-b=y >0; a+b-c=z >0 Từ suy a= y+z x+z x+ y ; ;b = ;c = 2 Thay vào ta A= 0,5 y+z x+z x+ y 1 y x x z y z + + = ( + ) + ( + ) + ( + ) 0,25 2x 2y 2z 2 x y z x z y Từ suy A ≥ (2 + + 2) hay A ≥ 0,25 Câu : (3 đ) a) (1đ) Trong tam giác BDM ta có : Dˆ = 120 − Mˆ Vì Mˆ =600 nên ta có : Mˆ = 120 − Mˆ Suy Dˆ = Mˆ x E Chứng minh ∆BMD ∾ ∆CEM (1) D B Hocmai.vn GV: Trần Nhật Minh y A 0,5 2 M C ĐT tư vấn: 01234646464 Đềthi học sinh giỏi Suy Toán BD CM , từ BD.CE=BM.CM = BM CE BC Vì BM=CM= , nên ta có b) (1đ) Từ (1) suy BC BD.CE= 0,5 BD MD mà BM=CM nên ta có = CM EM BD MD = BM EM Chứng minh ∆BMD ∾ ∆MED 0,5 Từ suy Dˆ = Dˆ , DM tia phân giác góc BDE Chứng minh tương tự ta có EM tia phân giác góc CED 0,5 c) (1đ) Gọi H, I, K hình chiếu M AB, DE, AC Chứng minh DH = DI, EI = EK 0,5 Tính chu vi tam giác 2AH; Kết luận 0,5 Câu : (1đ) Gọi cạnh tam giác vuông x , y , z ; cạnh huyền z (x, y, z số nguyên dương ) Ta có xy = 2(x+y+z) (1) x2 + y2 = z2 (2) 0,25 Từ (2) suy z2 = (x+y)2 -2xy , thay (1) vào ta có : z2 = (x+y)2 - 4(x+y+z) z2 +4z =(x+y)2 - 4(x+y) z2 +4z +4=(x+y)2 - 4(x+y)+4 (z+2)2=(x+y-2)2 , suy z+2 = x+y-2 0,25 z=x+y-4 ; thay vào (1) ta : xy=2(x+y+x+y-4) xy-4x-4y=-8 (x-4)(y-4)=8=1.8=2.4 Hocmai.vn GV: Trần Nhật Minh 0,25 ĐT tư vấn: 01234646464 Đềthi học sinh giỏi Toán Từ ta tìm giá trị x , y , z : (x=5,y=12,z=13) ; (x=12,y=5,z=13); (x=6,y=8,z=10) ; (x=8,y=6,z=10) Hocmai.vn GV: Trần Nhật Minh 0,25 ĐT tư vấn: 01234646464 ... 0,25 a−2 +3 ; ta thấy P nguyên a-2 ước 3, =1+ a−2 a−2 mà Ư (3) = {− 1;1; 3; 3} 0,25 Từ tìm a ∈ {− 1 ;3; 5} 0,25 Câu : (2đ) a)(1đ) Gọi số phải tìm a b , ta có a+b chia hết cho 0,25 Ta có a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2)=(a+b)... xy-4x-4y= -8 (x-4)(y-4) =8= 1 .8= 2.4 Hocmai.vn GV: Trần Nhật Minh 0,25 ĐT tư vấn: 01 234 646464 Đề thi học sinh giỏi Toán Từ ta tìm giá trị x , y , z : (x=5,y=12,z= 13) ; (x=12,y=5,z= 13) ; (x=6,y =8, z=10)... P=(x2+5x)2 -36 ≥ -36 0,25 0,5 0,25 Do Min P= -36 (x2+5x)2=0 Từ ta tìm x=0 x=-5 Min P= -36 0,25 Câu : (2đ) a) (1đ) x2+9x+20 =(x+4)(x+5) ; Hocmai.vn GV: Trần Nhật Minh ĐT tư vấn: 01 234 646464 Đề thi học