ĐỀ thi hsg cẤp quẬn huyỆn cÓ ĐÁp Án chi tiẾt

PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN owfv HUYỆN LỤC NAM LỚP THCS NĂM HỌC 2011-2012 TRƯỜNG THCS TAM DỊ -*&* -MÔN THI:TOÁN Thời gian:150 phút (không kể thời gian giao đề) Ngày thi: 2/8/2012 (Dề thi gồm 1trang có câu) Câu 1:(2,5đ) a) Chứng minh với số x y − xy ngyên x,y ta có: chia hết cho 30 b) Giải phương trình : x + y + z = y( x + z ) Câu 2:(2,5đ) a) Cho a+b=1.Tìm GTNN biểu thức A= a (a + 2b) + b(b − a ) a+b+c b) Cho tam giác có nửa chu vi p= với a,b,c độ dài ba cạnh 1 CMR:  1 1 + + ≥ 2 + +  Câu 3:(1,5đ) p −a p−b p −c a b c Một người xe đạp người xe máy người ô tô xuất phát từ A glần lượt lúc , 10 với vận tốc theo thứ tự 10km/h ;30km/h;50km/h Hỏi đến ô tô vị trí cách xe đạp xe máy.? Câu 4.(2đ) cho tam giác ABC, I giao điểm ba đường phân giác Đường thẳng qua I vuông góc với CI cắt AC BC theo thứ tự M N.Chứng minh : ∆∆ABC ABI a) đồng dạng b) AM  AI  =  Câu 5(1,5đ) : BN  BI  ∆AIK 12 Cho hình bình hành ABCD BE cm = BC Điểm E thuộc canh BC cho , F trung điểm cạnh CD Các tia AE AF cắt đường chéo BD I K.Tính diện tích , biết diện tích hình bình hành ABCD 48 HẾT Chú ý : Giám thị không giải thích thêm PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN owfv HUYỆN LỤC NAM LỚP THCS NĂM HỌC 2011-2012 TRƯỜNG THCS TAM DỊ -*&* -HƯỚNG DẪN GIẢI: Câu 1: a) Ta có: x y − xy = x y − xy − xy + xy = xy ( x − 1)( x + 1) − xy ( y − 1)( y + 1) x y− => chia hết cho (1) Ta lại có: x y − xy = x y − xy − xy + xy = xy ( x − 1)( xx+51y)(−xxy + 1) − xy ( y − 1)( y + 1)( y + 1) 5 [ ] [ ] = xy( x − 1)( x + 1) ( x − 4) + − xy ( y − 1)( y + 1) ( y − 4) + = xy( x − 1)( x + 1)( x − 2)( x + 2) − xy ( x − 1)( x + 1) − xy ( y − 1)( y + 1)( y − 2)( y + 2) − xy( y − 1)( y + 1) => chia hết cho (2) Từ (1) (2):ta chia hết cho mà (5,6)=1 Nên chia hết cho 30 b) x y − xy x y − xy x + y + z = y( x + z ) => Dấu "=" xảy x=y=z=0 = >2 x + y + z − xy − yz = Vậy x=y=z=0 2 2 x + y + z − xy − yz = ( x − y ) + ( y − z ) + x + z = Câu 2: a) Ta có: a+b=1 => b=1-a (1) a (a + 2b) + b(b − a ) = a + 2ab + b − ab = a + b + ab 2 A = (2) Thay (1) vào (2) ta được: a + (1 − a ) + a (1 − a ) = 2a≥2 0−,52a + = ( ) 2a − 0,5 + 0,5 A= => MinA=0,5 a=b= Vậy giá trị nhỏ A=0,5 12 a=b= 1 b) áp dụng bất đẳng thức + ≥ x y x + y phụ ta được: 1 4 +) + ≥ = 1 4 p −a p −b p −a + p −b a + ≥ = +) 1 4 p − a p − c p − a + p − c b +) + ≥ = Cộng vế với p − b p − c p − b + p − c c vế bất đẳng thức trên:  1   1  =>  ≥ 4 + +  2 + + 1  1 1 p − a p − b p − c    a b c  => + + ≥ 2 + +  p −a p −b p −c a b c (ĐPCM) 1  1  Vậy + + ≥2 + + p−a Câu 3: p −b p−c  a b  c Gọi thời gian để ô tô cách xe máy xe đạp là: t (h) Quãng đường xe đạp khoảng (t+2) (h)là:10(t+2)km Quãng đường ô tô khoảng t (h) là: 50t km Quãng đường xe máy khoảng 30(t+1) km Vì thời gian t (h) vị trí ô tô cách xe đạp xe máy nên ; ta có pt 50t-10(t+2)=30(t+1)-50t 60t =50 => t = (h) Vậy đến 10h 30 phút Câu 4: a) ta có; (tính chất góc Cˆ ∠AMI = 900 + tam giác) (3) Mà (1) ∠ABC = 180o − Aˆ − Cˆ Aˆ Cˆ = > Aˆ = 90O − − 2 ∆AIBcó : ∠AIB = 180O − Aˆ Bˆ − 2 (2) Thay (1) vào (2) ta được: (4) ∠AIB = 90O + Cˆ ∠AMI = ∠AIB Từ (3) (4) : Xét có: ∆∆AIM ABI ∠AMI = ∠AIB   = >∆AIM ~ ∆ABI ∠BAI = ∠IAC  (TH2) b) có: ∆∆MIC ABI ¼ MIC ABI = ¼ ¼ AMI IMC AIB = ¼ AM AIAM  AB AI AMAM BI AI  AB AI ⇔2 = AB= AM2 = = ⇒=2=AI BN BI ∆  BI ∆=IBN AB ABI BN AB AB.BN ∠ AI BN BI BN BI ∆ AIM AMI ABI ~= ∠ AIB INB = ... -*&* -HƯỚNG DẪN GIẢI: Câu 1: a) Ta có: x y − xy = x y − xy − xy + xy = xy ( x − 1)( x + 1) − xy ( y − 1)( y + 1) x y− => chia hết cho (1) Ta lại có: x y − xy = x y − xy − xy + xy = xy (... + 1) − xy ( y − 1)( y + 1)( y − 2)( y + 2) − xy( y − 1)( y + 1) => chia hết cho (2) Từ (1) (2):ta chia hết cho mà (5,6)=1 Nên chia hết cho 30 b) x y − xy x y − xy x + y + z = y( x + z ) => Dấu... − 2 ∆AIBcó : ∠AIB = 180O − Aˆ Bˆ − 2 (2) Thay (1) vào (2) ta được: (4) ∠AIB = 90O + Cˆ ∠AMI = ∠AIB Từ (3) (4) : Xét có: ∆∆AIM ABI ∠AMI = ∠AIB   = >∆AIM ~ ∆ABI ∠BAI = ∠IAC  (TH2) b) có: ∆∆MIC