PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI HỌC SINH GIỎI LẦN VII NGA SƠN Đề thức Năm học 2015-2016 Môn: Toán - Lớp (Thời gian làm 150 phút, không kể phát đề) Câu 1: (3,0 điểm ) a) Phân tích đa thức a (b − c) + b (c − a ) + c (a − b) thành nhân tử 3 b) Cho số nguyên a, b, c thoả mãn (a − b) + (b − c ) + (c − a ) = 210 Tính giá trị biểu thức A = a − b + b − c + c − a Bài 1: (4,0 điểm) Cho biểu thức: 10 − x2 x A = + + ÷ ÷: x − + x+ x − 2− x x + 2 a Rút gọn biểu thức A b Tính giá trị A , Biết | x| = c Tìm giá trị x để A < d Tìm giá trị nguyên x để A có giá trị nguyên Câu (3,0 điểm) a) Giải phương trình: x3 – 3x – = b) Tìm giá trị nhỏ biểu thức: P = x2 + 5y2 + 2xy – 4x – 8y + 2015 Câu (3,0 điểm): Đa thức P(x) bậc có hệ số bậc cao Biết P(1)=0 ; P(3)=0 ; P(5)= Hãy tính giá trị biểu thức: Q= P(-2)+7P(6) Bài (6 điểm): Cho tam giác ABC nhọn, đường cao AA’, BB’, CC’, H trực tâm a) Tính tổng HA' HB' HC' + + AA' BB' CC' b) Gọi AI phân giác tam giác ABC; IM, IN thứ tự phân giác góc AIC góc AIB Chứng minh rằng: AN.BI.CM = BN.IC.AM (AB + BC + CA ) ≥ c) Chứng minh rằng: AA'2 + BB'2 + CC'2 Câu : (1 điểm) Tìm tất tam giác vuông có số đo cạnh số nguyên dương số đo diện tích số đo chu vi Câu ĐÁPÁN Nội dung Điểm a) Ta có a (b − c) + b (c − a ) + c (a − b) = a (b − c ) + b (c − a ) − c (b − c + c − a ) 0,5 = (b − c )(a − c ) + (c − a )(b − c ) = (b − c )(a − c)(a + c ) + (c − a )(b − c )(b + c ) = (b − c )(a − c)(a + c − b − c) = (b − c)(a − c)(a − b) 0,5 0,5 0,5 2 2 b) Đặt a − b = x; b − c = y ; c − a = z ⇒ x + y + z = ⇒ z = −( x + y ) Ta có: x3 + y + z = 210 ⇔ x + y − ( x + y )3 = 210 ⇔ −3xy ( x + y ) = 210 ⇔ xyz = 70 Do x, y , z số nguyên có tổng xyz = 70 = ( −2).( −5).7 nên x, y , z ∈ { −2; −5;7} ⇒ A = a − b + b − c + c − a = 14 10 − x2 x + + Biểu thức: A = ÷: x − + x + ÷ x − 2− x x + 2 −1 Rút gọn kết qủa: A = x− 1 −1 x = ⇒ x = x = 2 2a 2b ⇒ A= A= A < ⇔ x - >0 ⇔ x >2 2c A ∈Z ⇔ 2d 3a 3b −1 ∈ Z ⇔ x-2 ∈ Ư(-1) ⇔ x-2 ∈ { -1; 1} ⇔ x ∈ {1; 3} x−2 x3 - 3x - = ⇔ (x3 + 1) – 3(x + 1) = ⇔ (x + 1)(x2 – x – 2) = ⇔ (x - 2)(x + 1)2 = ⇔ x = 2; x = - P = x2 + 5y2 + 2xy – 4x – 8y + 2015 P = (x2 + y2 + 2xy) – 4(x + y) + + 4y2 – 4y + + 2010 P = (x + y – 2)2 + (2y – 1)2 + 2010 ≥ 2010 => Giá trị nhỏ P = 2010 x = ; y = 2 Ta có: P(x)M(x-1), (x-3), (x-5) Nên P(x) có dạng: P(x) = (x-1)(x-3)(x-5) (x+a) Khi đó: P(-2) +7P(6) = (-3).(-5).(-7).(-2 +a) +7.5.3.1.(6+a) = -105.(-2+a) +105.(6+a) = 105.( –a +6 +a) = 840 • Bài (6 điểm): Vẽ hình (0,5điểm) 1,0 0,5 1,0 0,5 1,0 0,75 0,75 0,5 0,5 0,5 1,0 2,0 0,5 0,5 HA'.BC S HBC HA' = = a) ; (0,5điểm) S ABC AA' AA'.BC Tương tự: S HAB HC' S HAC HB' = = ; S ABC CC' S ABC BB' (0,5điểm) HA' HB' HC' SHBC S HAB S HAC + + = + + =1 (0,5điểm) AA' BB' CC' S ABC S ABC S ABC b) Áp dụng tính chất phân giác vào tam giác ABC, ABI, AIC: BI AB AN AI CM IC = ; = ; = (0,5điểm ) IC AC NB BI MA AI BI AN CM AB AI IC AB IC = = =1 IC NB MA AC BI AI AC BI (0,5điểm ) ⇒ BI AN.CM = BN.IC.AM c)Vẽ Cx ⊥ CC’ Gọi D điểm đối xứng A qua Cx (0,5điểm) -Chứng minh góc BAD vuông, CD = AC, AD = 2CC’ (0,5điểm) - Xét điểm B, C, D ta có: BD ≤ BC + CD (0,5điểm) 2 - ∆ BAD vuông A nên: AB +AD = BD ⇒ AB2 + AD2 ≤ (BC+CD)2 (0,5điểm) 2 ≤ AB + 4CC’ (BC+AC) ≤ 4CC’ (BC+AC)2 – AB2 Tương tự: 4AA’2 ≤ (AB+AC)2 – BC2 4BB’2 ≤ (AB+BC)2 – AC2 (0,5điểm) 2 ≤ -Chứng minh : 4(AA’ + BB’ + CC’ ) (AB+BC+AC)2 (AB + BC + CA ) ≥4 ⇔ (0,5điểm) AA'2 + BB'2 + CC'2 (Đẳng thức xảy ⇔ BC = AC, AC = AB, AB = BC ⇔ AB = AC =BC ⇔ ∆ ABC đều) Câu : (1đ) Gọi cạnh tam giác vuông x , y , z ; cạnh huyền z (x, y, z số nguyên dương ) Ta có xy = 2(x+y+z) (1) x2 + y2 = z2 (2) Từ (2) suy z2 = (x+y)2 -2xy , thay (1) vào ta có : 0,25 z2 = (x+y)2 - 4(x+y+z) z2 +4z =(x+y)2 - 4(x+y) z2 +4z +4=(x+y)2 - 4(x+y)+4 (z+2)2=(x+y-2)2 , suy z+2 = x+y-2 0,25 z=x+y-4 ; thay vào (1) ta : xy=2(x+y+x+y-4) xy-4x-4y=-8 (x-4)(y-4)=8=1.8=2.4 0,25 Từ ta tìm giá trị x , y , z : (x=5,y=12,z=13) ; (x=12,y=5,z=13) ; (x=6,y=8,z=10) ; (x=8,y=6,z=10) 0,25 ... vào (1) ta : xy=2(x+y+x+y-4) xy-4x-4y= -8 (x-4)(y-4) =8= 1 .8= 2.4 0,25 Từ ta tìm giá trị x , y , z : (x=5,y=12,z=13) ; (x=12,y=5,z=13) ; (x=6,y =8, z=10) ; (x =8, y=6,z=10) 0,25 ... vào tam giác ABC, ABI, AIC: BI AB AN AI CM IC = ; = ; = (0,5điểm ) IC AC NB BI MA AI BI AN CM AB AI IC AB IC = = =1 IC NB MA AC BI AI AC BI (0,5điểm ) ⇒ BI AN. CM = BN.IC.AM c)Vẽ Cx ⊥ CC’ Gọi... 3(x + 1) = ⇔ (x + 1)(x2 – x – 2) = ⇔ (x - 2)(x + 1)2 = ⇔ x = 2; x = - P = x2 + 5y2 + 2xy – 4x – 8y + 2015 P = (x2 + y2 + 2xy) – 4(x + y) + + 4y2 – 4y + + 2010 P = (x + y – 2)2 + (2y – 1)2 + 2010