PHềNG GIO DC V O TO THI CHN HC SINH GII LP TP H NI NM HC 2015-2016 Mụn thi: TON CHNH THC Thi gian: 120 phỳt (khụng k thi gian giao ) ( thi gm cú 01 trang) LU í : - Thớ sinh khụng c mang bt c ti liu no vo phũng thi - Khụng c s dng mỏy tớnh cm tay Cõu 1.(4 im) a) Phân tích đa thức thành nhân tử: x( x + 2)( x + x + 2) + b) Rỳt gn biu thc: 2n + A = (1.2) + (2.3) + (3.4) + + [ n(n + 1)] Cõu 2.(4 im) 1 yz xz xy a) Cho x + y + z = Tớnh A = x + y + z b) Tỡm tt c cỏc s x, y, z nguyờn tha món: x + y + z xy y z + = 0. Cõu 3: (4 im) a) Chng minh rng vi mi s nguyờn x, y thỡ : A = (x + y)(x + 2y)(x + 3y)(x + 4y) + y4 l s chớnh phng b) Cho a1 , a2 , , a2016 l cỏc s t nhiờn cú tng chia ht cho 3 Chng minh rng: A = a13 + a23 + + a2016 chia ht cho Cõu (6 im) Cho im M di ng trờn on thng AB Trờn cựng mt na mt phng b AB v cỏc hỡnh vuụng AMCD, BMEF a) Chng minh rng: AE BC b) Gi H l giao im ca AE v BC Chng minh ba im D, H, F thng hng c) Chng minh rng ng thng DF luụn i qua mt im c nh im M di ng trờn on thng AB Cõu (2 im) Cho a;b;c l ba s ụi mt khỏc tha món: (a + b + c) = a + b + c Tớnh giỏ tr ca biu thc: P= a2 b2 c2 + + a + 2bc b + 2ac c + 2ab HT Giỏm th coi thi khụng gii thớch gỡ thờm - SBD: PHềNG GIO DC & O TO TP H NI HNG DN CHM THI K THI CHN HC SINH GII LP NM HC 2015 - 2016 Mụn thi : Toỏn Cõu Phn a Cõu (4 im) Ni dung x( x + 2)( x + x + 2) + = ( x + x )( x + x + 2) + 2 = ( x + x ) + 2( x + x) + = ( x + x + 1) im 0.5 0.5 0.5 0.5 = ( x + 1) b 2n + (n + 1) n 1 = Ta cú : 2 n (n + 1) n (n + 1) [ n(n + 1)] n( n + 2) => B = =1- (n + 1) = (n + 1) = Ta có a + b + c = a a + b + c = ( a + b ) 3ab( a + b ) + c = c 3ab( c ) + c = 3abc (vì a + b + c = nên a + b = c ) A= yz xz xy xyz xyz xyz + + = + + x2 y2 z2 x y z 1 = xyz + + ữ = xyz =3 y z xyz x b a Cõu (4 im) 1 1 + + = + + = Theo giả thiết xyz x y z x y z Cõu (4 im ) 0.5 0.5 0.5 0.5 x2 + y2 + z2 xy 3y 2z + = y2 (x2 xy + ) + (z2 2z + 1) + ( y2 3y + 3) = 4 y (x - )2 + (z 1)2 + (y 2)2 = 0,5 Cú cỏc giỏ tr x,y,z l: (1;2;1) a) Chng minh rng vi mi s nguyờn x, y thỡ A = (x + y)(x + 2y)(x + 3y)(x + 4y) + y l s chớnh phng Ta cú A = (x + y)(x + 2y)(x + 3y)(x + 4y) + y4 = (x2 + 5xy + 4y2)( x2 + 5xy + 6y2) + y4 t x2 + 5xy + 5y2 = t ( t Z) thỡ A = (t - y2)( t + y2) + y4 = t2 y4 + y4 = t2 = (x2 + 5xy + 5y2)2 0.5 0.5 0.5 0.5 V ỡ x, y, z Z nờn x2 Z, 5xy Z, 5y2 Z x2 + 5xy + 5y2 Z Vy A l s chớnh phng b 0.5 D thy a a = a (a + 1)(a 1) l tớch ca ba s t nhiờn liờn tip nờn chia ht cho 0.5 Xột hiu A (a1 + a2 + + a2016 ) = (a + a + + a 3 2016 ) (a1 + a2 + + a2016 ) = (a13 a1 ) + (a23 a2 ) + + (a2016 a2016 ) chia ht cho M a1 , a2 , a2013 l cỏc s t nhiờn cú tng chia ht cho Do vy A chia ht cho 0.5 0.5 0.5 C D I H O E F 0,5 A Cõu (6 im ) a b 1,5 M B AME = CMB (c-g-c) EAM = BCM M BCM + MBC = 900 EAM + MBC = 900 AHB = 900 Vy AE BC Gi O l giao im ca AC v BD AHC vuụng ti H cú HO l ng trung tuyn HO = c K 1 AC = DM 2 DHM vuụng ti H DHM = 900 Chng minh tng t ta cú: MHF = 900 Suy ra: DHM + MHF = 1800 Vy ba im D, H, F thng hng Gi I l giao im ca AC v DF Ta cú: DMF = 900 MF DM m IO DM IO // MF Vỡ O l trung im ca DM nờn I l trung im ca DF K IK AB (KAB) IK l ng trung bỡnh ca hỡnh thang ABFD AD + BF AM + BM AB IK = = = (khụng i) 2 Do A, B c nh nờn K c nh, m IK khụng i nờn I c nh 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 Vy ng thng DF luụn i qua mt im c nh im M di ng trờn on thng AB Cõu (2 im ) (a+b+c)2= a + b + c ab + ac + bc = 2 0,5 a a a = = a + 2bc a ab ac + bc (a b)(a c) b2 b2 = Tng t: b + 2ac (b a )(b c ) c2 c2 = c + 2ac (c a )c b) a2 b2 c2 + + a + 2bc b + 2ac c + 2ab a2 b2 c2 = + (a b)( a c) (a b)(b c) ( a c)(b c ) (a b)( a c)(b c ) = =1 (a b)( a c)(b c ) 0,5 0,5 P= Lu ý : Hc sinh cú cỏch gii khỏc ỳng cho im ti a 0,5 ...PHÒNG GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO TP HÀ NỘI HƯỚNG DẪN CHẤM THI KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP NĂM HỌC 2015 - 2016 Môn thi : Toán Câu Phần a 2đ Câu (4 điểm) Nội dung x( x + 2)( x + x + 2)... 1 1 = xyz + + ÷ = xyz =3 y z xyz x b 2đ a 2đ Câu (4 điểm) th× 1 1 + + = ⇒ + + = Theo gi¶ thi t xyz x y z x y z Câu (4 điểm ) 0.5 0.5 0.5 0.5 x2 + y2 + z2 – xy – 3y – 2z + = y2 (x2 –... = DM 2 ⇒ ∆DHM vuông H ⇒ ∠DHM = 900 Chứng minh tương tự ta có: ∠MHF = 900 Suy ra: ∠DHM + ∠MHF = 180 0 Vậy ba điểm D, H, F thẳng hàng Gọi I giao điểm AC DF Ta có: ∠DMF = 900 ⇒ MF ⊥ DM mà IO ⊥ DM