Đề thi HSG toán 9 +Đáp án

phòng giáo dục đào tạo gia viễn Đề thi học sinh giỏi lớp 9 Môn: Toán Thời gian làm bài: 150 phút Bài 1: Rút gọn các biểu thức sau. a. M = 4527218.3 2012.283 + + b. N = 6)23( 2 24 2 + xx x Bài 2: Giải phơng trình sau: ( )( ) 36363 =+++ xxxx Bài 3: Cho 2 phơng trình ax 2 + bx + c = 0 (1) và cx 2 + bx + a = 0 (2) trong đó a c > 0 Giả sử (1) và (2) cùng vô nghiệm. Chứng minh rằng: b < a + c. Bài 4: Cho phơng trình x 2 + (2m - 1)x - m = 0 có 2 nghiệm x 1 , x 2 . Tìm m để x 1 2 + x 2 2 - 6 x 1 x 2 đạt giá trị nhỏ nhất. Bài 5: Từ M là 1 điểm bên ngoài đờng tròn (O) kẻ một tiếp tuyến MT và một cát tuyến MAB của đờng tròn đó. a. Chứng minh rằng khi cát tuyến MAB quay quanh M ta luôn có MT 2 = MA.MB b. Cho MT = 20cm và cát tuyến dài nhất cùng xuất phát từ M bằng 50cm. Tính bán kính của đờng tròn. phòng giáo dục đào tạo gia viễn hớng dẫn chấm Đề thi học sinh giỏi lớp 9 Môn: Toán Thời gian làm bài: 150 phút Bài Biểu điểm Bài 1 6.5điểm a. M = 5333.223.3 5232.222.3 + + = )53223(3 )53223(2 + + = 3 2 1,0đ 1,0đ 0,5đ b. N = 6.23 2 224 2 + xxx x = )2(3)2( 2 222 2 + xxx x = )3)(2( 2 22 2 + xx x = 3 1 2 + x ( x 2 2 ) 1,0đ 1,0đ 1,0đ 1,0đ Bài 2: 4điểm Đặt X = xx ++ 63 thì ( )( ) 2 9 63 2 =+ X xx Ta có phơng trình: X - 2 9 2 X = 3 X 2 - 2X - 3 = 0 X = -1 hoặc X = 3 Với X = -1 ta có xx ++ 63 = -1: vô nghiệm Với X = 3 ta có xx ++ 63 = 3 có hai nghiệm x = 6; x = -3 Vậy phơng trình có hai nghiệm: x = 6; x = -3 0,5đ 0,5đ 0,5đ 0,5đ 0,5đ 0,5đ 0,5đ 0,5đ Bài 3: 2,5 điểm Ta có: 1 = 2 = b 2 - 4ac Vì cả hai phơng trình vô nghiệm < 0 b 2 < 4ac mà 4ac < (a + c) 2 do đó b 2 < (a + c) 2 b < a + c 0,5đ 0,5đ 0,5đ 0,5đ 0,5đ Bài 4: 2,5 điểm Ta có x 1 2 + x 2 2 - 6 x 1 x 2 = ( x 1 + x 2 ) 2 - 8 x 1 x 2 0,5đ = (1 - 2m) 2 + 8m = 4m 2 + 4m + 1 = (2m + 1) 2 0 khi đó x 1 2 + x 2 2 - 6 x 1 x 2 đạt giá trị nhỏ nhất là 0 khi m=-1/2 0,5đ 0,5đ 0,5đ 0,5đ Bài 5: 4,5điểm - Vẽ hình đúng 0,5đ a. Ta có MTA = MBT ( cùng chắn cung TA) TMB chung suy ra: MTA MBT (g.g) MT MB MA MT = MT 2 = MA.MB 0,5đ 0,5đ 0,5đ 0,5đ b. Trớc hết chứng minh cát tuyến dài nhất xuất phát từ M là cát tuyến MCD qua tâm O. Thật vậy: CBD vuông ở B nên CD > CB mà MD = MC + CD > MC + CB > MB Theo ý a ta có: MT 2 = MC.MD 20 2 = (50 - 2R).50 R = 21 0,5đ 0,5đ 0,5đ 0,5đ L u ý: Học sinh làm theo cách khác đúng vẫn cho điểm tối đa. T B D C A M O . phát từ M bằng 50cm. Tính bán kính của đờng tròn. phòng giáo dục đào tạo gia viễn hớng dẫn chấm Đề thi học sinh giỏi lớp 9 Môn: Toán Thời gian làm bài: 150. phòng giáo dục đào tạo gia viễn Đề thi học sinh giỏi lớp 9 Môn: Toán Thời gian làm bài: 150 phút Bài 1: Rút gọn các biểu thức