Phòng giáo dục và đào tạo nga sơn Kỳ thi chọn đội tuyển dự thi học sinh giỏi lớp 9 cấp tỉnh năm học 2009 2010 Môn thi: Toán Thời gian làm bài: 150 phút đề bài Bài 1 ( 4 điểm): Cho biểu thức: A = + + + + 2 10 2: 2 1 63 6 4 x x x xxxxx x a, Tìm điều kiện của x để A có nghĩa. b, Rút gọn A. c, Tìm x để A < 2. Bài 2 (3 điểm): Giải phơng trình sau: ( ) ( ) ( ) .2201020092008 222 =++ xxx Bài 3 (3 điểm): Chứng minh rằng với a > 0 ta có: ( ) 2 15 2 17 1 2 2 + + + a a a a Bài 4 (3 điểm): Cho hai số dơng x và y thoả mãn x + y = 2. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức M = x 2 y 2 (x 2 + y 2 ) Bài 5 (4.5điểm): Cho đờng tròn tâm O đờng kính AB và điểm M di động trên đờng tròn đó ( M khác A, B). Vẽ đờng tròn tâm E tiếp xúc với đờng tròn (O) tại M và tiếp xúc với đờng kính AB tại N. Đờng tròn (E) cắt MA, MB lần lợt tại các điểm thứ hai là D và C. a, Chứng minh CD // AB. b, Chứng minh MN là phân giác của góc AMB. c, Gọi giao điểm thứ hai của MN với đờng tròn (O) là K. Chứng minh tích KM.KN không đổi. Bài 6 (2.5 điểm): Cho tam giác ABC vuông cân tại A, trên cạnh BC lấy điểm I bất kỳ. a, Hãy nêu cách xác định điểm M trên đờng thẳng AB, điểm N trên đờng thẳng AC sao cho I là trung điểm của MN. b, Cho biết IA = 6 cm; BC = 10 cm, hãy tính chu vi tam giác AMN. hớng dẫn chấm Kỳ thi chọn đội tuyển dự thi học sinh giỏi lớp 9 cấp tỉnh năm học 2009 2010 Môn thi: Toán Bài ý Nội dung Điểm 1 4đ a Điều kiện x 0; x 4 0.5 b A = + + + + 2 10 2: 2 1 63 6 4 x x x xxxxx x = ( )( ) ( ) 2 104 : 2 1 23 6 22 + + + + + x xx xxxxx x = ( ) ( )( ) 2 6 : 22 222 ++ ++ xxx xxx = ( )( ) x x xx = + + 2 1 6 2 . 22 6 0.5 0.5 0.5 c Ta có A < 2 2 2 1 < x và x 0; x 4 0 2 32 02 2 1 < < x x x 0.5 + Trờng hợp 1: 4 4 4 9 02 032 > > > < > x x x x x 0.5 + Trờng hợp 2: 4 9 4 4 9 02 032 < < < > < x x x x x 0.5 Kết hợp với điều kiện ta có x > 4 hoặc 0 x < 4 9 thì A < 2. 0.5 2 3đ Ta có: baba ++ Thật vậy: baba ++ ( ) ( ) 22 baba ++ 2222 22 babababa ++++ abab luôn đúng, dấu = xảy ra khi ab 0. 0.5 Phơng trình đã cho tơng đơng với: 2201020092008 =++ xxx áp dụng bất đẳng thức đã chứng minh trên ta đợc: 22010200820102008 =++ xxxx (1) Dấu = xảy ra khi (x 2008)(2010-x) 0 20102008 x Luôn có: 02009 x (2) Dấu bằng xảy ra khi x = 2009 Cộng vế với vế của (1) và (2) ta đợc: 1 1 2201020092008 ++ xxx Dấu bằng xảy ra khi x = 2009 Vậy nghiệm của phơng trình là x = 2009 0.5 3 3đ ( ) 2 15 2 17 1 2 2 + + + a a a a Biến đổi vế trái ta đợc: ( ) ( ) ( ) a a a a a a a a a a a a a a 4 113 4 1 14 114 12 17 1 22 2 2 2 2 2 + + + + = + + + = + + + 0.5 áp dụng BĐT Côsi ta có: 1 4 1 . 1 2 4 1 1 2 2 2 2 = + + + + + a a a a a a a a Và a 2 + 1 2a ( ) 2 13 4 2.13 4 113 2 = + a a a a ( a > 0) 1 1 Vậy ( ) 2 15 2 13 1 2 17 1 2 2 =+ + + + a a a a 0.5 4 3đ Vì x, y > 0 nên áp dụng BĐT Côsi ta đợc: xy ( ) 1 4 2 = + yx ( vì x + y = 2) Suy ra M ( ) ( ) 2222 .22. yxxyMyxxy ++ 0.75 0.5 áp dụng BĐT Côsi ta lại có: ( ) ( ) 4 4 2 2 22 22 = ++ + yxxy yxxy ( vì x + y = 2) Suy ra M 2. Vậy giá trị lớn nhất của M là 2 khi x = y = 1. 0.75 0.5 0.5 5 4.5 đ a Ta có AMB = 90 0 (góc nội tiếp chắn nửa đờng tròn) Hay DMC = 90 0 DC là đờng kính của (E) Do (E) và (O) tiếp xúc nhau tại M nên ba điểm O, E, M thẳng hàng Xét hai tam giác cân OMA và EMD có chung góc M nên suy ra OAM = EDM suy ra DC // AB ( có cặp góc đồng vị bằng nhau) 0.5 0.5 0.5 b Theo chứng minh câu (a) ta có DC // AB nên hai cung DN và CN bằng nhau suy ra DMN = CMN suy ra MN là phân giác của AMB. 0.5 0.5 0.5 c Ta có MN hay MK là phân giác của AMB ( Theo câu b ) suy ra hai cung AK và BK bằng nhau suy ra OK AB Kẻ đờng kính KH ta có KMH = 90 0 0.5 A B H K O M N D C E Xét hai tam giác KON và KMH có góc K chung, KON = KMH =90 0 suy ra hai tam giác KON và KMH đồng dạng 2 2 RKHKOKNKM KH KN KM KO === không đổi (với R là bán kính của đờng tròn tâm O) 0.5 0.5 6 2.5đ a Giả sử xác định đợc M, N thoả mãn yêu cầu bài toán, khi đó tam giác AMN vuông tại A có IM = IN nên AI là trung tuyến ứng với cạnh huyền suy ra IA = IM = IN I cố định, AI không đổi nên M, N nằm trên đờng tròn (I, IA) Cách xác định điểm M và N: - Vẽ đờng tròn (I, IA) - Giao điểm của (I, IA) và AB là điểm M - Giao điểm của (I, IA) và AC là điểm N 0.5 0.5 b Qua M kẻ đờng thẳng song song với AC cắt BC tại H (giải sử AM < AN ) Ta có MHB = ACB (đồng vị) mà ACB = ABC (gt) MHB = ABC MBH cân tại M MB = MH (1) MIH = NIC (g-c-g) CN = MH (2) Từ (1) và (2) suy ra CN = BM áp dụng định lý Pitago vào tam giác ABC vuông tại A ta đợc: AB 2 + AC 2 = BC 2 2AB 2 = BC 2 = 10 2 = 100 AB = 25 2 210 = MN = 2AI = 12 Chu vi tam giác AMN là: AM + AN + MN = AM + MB + AC + 2AI = 2AB + 2AI = 12 + 10 2 (cm) 0.5 0.5 0.5 A B C M N I H . Phòng giáo dục và đào tạo nga sơn Kỳ thi chọn đội tuyển dự thi học sinh giỏi lớp 9 cấp tỉnh năm học 20 09 2010 Môn thi: Toán Thời gian làm bài: 150 phút đề bài Bài 1 ( 4 điểm): Cho biểu. 10 cm, hãy tính chu vi tam giác AMN. hớng dẫn chấm Kỳ thi chọn đội tuyển dự thi học sinh giỏi lớp 9 cấp tỉnh năm học 20 09 2010 Môn thi: Toán Bài ý Nội dung Điểm 1 4đ a Điều kiện x 0; x 4 0.5 b A. (2) Dấu bằng xảy ra khi x = 20 09 Cộng vế với vế của (1) và (2) ta đợc: 1 1 2201020 092 008 ++ xxx Dấu bằng xảy ra khi x = 20 09 Vậy nghiệm của phơng trình là x = 20 09 0.5 3 3đ ( ) 2 15 2 17 1 2 2 + + + a a a a Biến