SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TỈNH SƠN LA ĐỀ THI CHÍNH THỨC KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH LỚP THCS NĂM HỌC 2018-2019 MƠN THI: TỐN Ngày thi: 18/03/2019 Câu (3,0 điểm) 6x 3x 3x3 3x 3x Tìm giá trị nguyên x để biểu thức A nhận giá trị nguyên Câu (4,0 điểm) Cho phương trình x m 1 x 3m (1) Cho biểu thức A a) Tìm m cho phương trình 1 có hai nghiệm phân biệt x1 , x2 thỏa mãn biểu thức M x12 x22 5x1x2 đạt giá trị nhỏ b) Xác định m để phương trình 1 có hai nghiệm phân biệt lớn Câu (5,0 điểm) 2x 13x a) Giải phương trình: 6 x2 5x x2 x 3 x xy 12 y b) Giải hệ phương trình: 8 y x 12 Câu (6,0 điểm) Cho điểm A, B, C cố định nằm đường thẳng d (B nằm A C) Vẽ đường tròn tâm O thay đổi qua B C(O không nằm đường thẳng d ) Kẻ AM , AN tiếp tuyến đường tròn tâm O M N Gọi I trung điểm BC , AO cắt MN H cắt đường tròn điểm P Q( P nằm A O), BC cắt MN K a) Chứng minh điểm O, M , N , I nằm đường tròn b) Chứng minh điểm K cố định đường tròn tâm O thay đổi c) Gọi D trung điểm HQ, từ H kẻ đường thẳng vng góc với MD cắt đường thẳng MP E Chứng minh P trung điểm ME Câu (2,0 điểm) Cho hình vng ABCD 2019 đường thẳng phân biệt thỏa mãn: đường thẳng cắt hai cạnh đố hình vng chia hình vng thành phần có tỷ số diện tích Chứng minh rằng: 2019 đường thẳng có 505 đường thẳng đồng quy ĐÁP ÁN Câu Nên điều kiện để A có nghĩa 3x Ta có: 3x 3x 3x 0; x 8 3x 3x 3x 0; x x 0 x 3x 6x 3x A 3 x 23 x x A A 3x 3x 3x 23x 3x 6x 3x 3x 3x 3x 3x 4 0 x 3 3x Với x nguyên dương, để biểu thức A nhận giá trị ngun đó: nguyên Khi 3x x 3 x x 3x 1 x x 3x Vì x nguyên dương nên x , A Vậy x Câu a) PT (1) có hai nghiệm phân biệt ' m2 5m Với ĐK (*) phương trình có hai nghiệm x1 , x2 Ta có: x1 x2 m 1 x1 x2 3m 2 M x12 x22 x1 x2 x1 x2 3x1 x2 m 1 3m 3 81 81 M 4m m 2m 16 16 Dấu " " xảy m (thỏa mãn điều kiện (*)) m (*) m 81 m 16 b) ĐK: ' m 5m (*) Đặt x t x t 1thay vào phương trình (1) ta được: t 1 m 1 t 1 3m Vậy MinM t m t m (2) Phương trình 1 có hai nghiệm phân biệt x lớn PT (2) có hai nghiệm phân biệt t lớn ' m 5m m 1 m m m P m m m m 4(tmdk ) S 2m 2m m Vậy m Câu a) Với x 0, phương trình (1) có dạng (vơ lý) Vậy x khơng nghiệm phương trình (1) 13 6 x 0, ta có: 1 3 2x 2x x x 13 Đặt x t , PT (1) trở thành: 6 x t t 1 t 6t 39t 33 11 t +)Với t ta có PT x x x , có nên phương trình VN x x 11 11 +)Với t ta có PT x x 11x x x 3 Vậy S 2; 4 x3 xy 12 y (1) b) Giải hệ phương trình: (2) 8 y x 12 Thế (2) vào PT (1) ta được: x3 x2 y xy y3 (3) Nếu y từ (1) suy x khơng thỏa mãn phương trình (2) x x x Xét y , PT (3) y y y x Đặt t ta được: t t 2t y t 2 t 2 t t 4 t 2 t t 0( VN ) y x 2 Với t 2 x 2 y, thay vào (2) y y 1 x Vậy hệ phương trình cho có nghiệm 2;1; 2; 1 Câu M Q H P A B E K I OD C N a) I trung điểm BC (dây BC không qua O) OI BC OIA 900 Ta có: AMO 900 (do AM tiếp tuyến (O)) ANO 900 (do AN tiếp tuyến (O)) Suy điểm O, M , N , I thuộc đường tròn đường kính OA b) Ta có AM , AN hai tiếp tuyến với (O) cắt A nên OA tia phân giác MON mà OMN cân O nên OA MN ABN ANC ANB ACN sd NB & CAN chung AB AN AB AC AN (1) AN AC +) ANO vuông N đường cao NH nên ta có AH AO AN (2) Từ (1) (2) suy AB AC AH AO (3) AHK AIO AHK AIO 900 & OAI chung AH AK AK AI AH AO(4) AI AO AB AC AI Mà A, B, C cố định nên I cố định suy AK cố định, K giao điểm dây BC dây MN nên K thuộc tia AB suy K cố định c) Ta có PMQ 900 (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) Từ (3) (4) suy AI AK AB AC AK Xét MHE QDM có MEH DMQ (cùng phụ với DMP), EMH MQD (cùng phụ với MPO) ME MH MHE QDM ( g.g ) * MQ DQ PMH MQH MHP QHM 900 ; PMH MQH MP MH MH (**) MQ HQ DQ MP ME ME 2MP P trung điểm ME Từ (*) (**) suy MQ MQ Câu A A1 E B H M I J N K D B1 F C Gọi MN , EF đường nối trung điểm hai cạnh đối hình vng (hình vẽ) Giả sử đường thẳng d1 cắt cạnh AB A1 cắt MN I cắt cạnh CD B1 Ta có tứ giác AA1B1D BCB1 A1 hình thang có MI , NI đường trung bình hai hình thang Khi đó: SAA1B1D AD AA1 DB1 IM IM S A1BCB1 BC A B B C IN IN 1 MI 1 Suy nên MI MN , điểm I cố định MN 3 Lập luận tương tự ta tìm điểm H , J , K cố định ( I , J , H , K chia đoạn thẳng cố định MN , NM , EF , FE theo tỉ số 1: 2) Có điểm cố định mà có 2019 đường thẳng qua nên theo nguyên lý Dirichle phải có 505 đường thẳng đồng quy ... E K I OD C N a) I trung điểm BC (dây BC không qua O) OI BC OIA 90 0 Ta có: AMO 90 0 (do AM tiếp tuyến (O)) ANO 90 0 (do AN tiếp tuyến (O)) Suy điểm O, M , N , I thuộc đường tròn đường... AIO 90 0 & OAI chung AH AK AK AI AH AO(4) AI AO AB AC AI Mà A, B, C cố định nên I cố định suy AK cố định, K giao điểm dây BC dây MN nên K thuộc tia AB suy K cố định c) Ta có PMQ 90 0... I , J , H , K chia đoạn thẳng cố định MN , NM , EF , FE theo tỉ số 1: 2) Có điểm cố định mà có 20 19 đường thẳng qua nên theo nguyên lý Dirichle phải có 505 đường thẳng đồng quy