SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO GIA LAI ĐỀ CHÍNH THỨC ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH MƠN: TỐN LỚP NĂM HỌC : 2018-2019 Câu Từ chữ số 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9 Có thể lập số tự nhiên có chữ số đơi khác lớn 2019 Câu a) Chứng minh với số nguyên n, số A 3n3 15n chia hết cho 18 b) Một đoàn học sinh tham quan quảng trường Đại đoàn kết tỉnh Gia Lai Nếu tơ chở 12 người thừa người Nếu bớt tơ số học sinh đồn chia cho tơ lại Hỏi có học sinh tham quan có tơ? Biết tô chở không 16 người Câu 1) Một nến hình lăng trụ đứng đáy lục giác có chiều cao độ dài cạnh đáy 20 cm cm Người ta xếp nến vào hộp có dạng hình hộp chữ nhật cho nến nằm khít hộp Tính thể tích hộp 2) Cho đường tròn O; R điểm I cố đinhk nằm bên đường tròn (I khác O) Qua điểm I dựng hai cung AB CD Gọi M , N , P, Q trung điểm IA, IB, IC, ID a) Chứng minh bốn điểm M , N , P, Q thuộc đường tròn b) Giả sử dây cung AB CD thay đổi vng góc với I Xác định vị trí dây cung AB CD cho tứ giác MNPQ có diện tích lớn Câu x y y x 13 a) Giải hệ phương trình 5 x x y 10 x3 y y b) Cho x, y, z thỏa mãn x2 y z xyz Tìm GTLN P xy yz zx xyz Câu Trong kỳ thi chọn học sinh giỏi THCS cấp tỉnh, đồn học sinh huyện A có 17 học sinh dự thi Mỗi thí sinh có số báo danh số tự nhiên khoảng từ đến 907 Chứng minh chọn học sinh đồn có tổng số báo danh chia hết cho ĐÁP ÁN Câu Gọi số cần lập có dạng abcd 2019 với a, b, c, d ;2 a 9,0 b, c, d Xét a b ta có số từ 2031 đến 2098 Có cách chọn c, có cách chọn d Do có 7.7 49 số thỏa mãn Nếu b có số từ 2103 đến 2198 Có cách chọn b, cách chọn c cách chọn d Do có 8.8.7 448 số thỏa mãn Xét a có số từ 3012 đến 9876, có cách chọn a, cách chọn b , cách chọn c cách chịn d, có: 7.9.8.7 3528 số thỏa mãn Vậy có tất 49 448 3528 4025 số thỏa mãn toán Câu a) Ta có: A 3n3 3n 18n 3 n 1 n n 1 18n chia hết cho 18 b) Gọi số ô tô a ĐK: a , a Vì bớt tơ số học sinh đồn chia cho tơ lại, nghĩa 12a 1 a 1 12 a 1 13 a 1 13 a 1 a 1U (13) 1;13 a 2;14 Với a số học sinh 25 em, bớt tơ xe chở 25 em (quá 16 em) vô lý Với a 14 số học sinh 169 em (thỏa mãn) Vậy số tơ 14 có 169 học sinh Câu E A M D I H F B K C 1) Ta có đáy nến nội tiếp hình chữ nhật ABCD hình vẽ Khi ABCD mặt đáy hình hộp chữ nhật có chiêu cao chiều cao nến h 20cm Ta có: BC EF 2EH 2KE.sin EKH 2.1.sin 600 AN KM 2MI 2.1 Vậy thể tích hộp AB.BC.h 40 3(cm3 ) 2) C P A M B H I N K O Q D a) Ta có MI MA, QI QD nên MQ đường trung bình AID MQ / / AD Tương tự NP đường trung bình BIC NP / / BC Do NMQ BAD NPQ nên tứ giác MPNQ nội tiếp b) Kẻ OH AB H OK CD K Ta có AB CD OHIK hình chữ nhật Do AB2 CD2 BH CK R2 OH R2 OK 2R OI MN PQ AB.CD AB CD 2R OI Diện tích tứ giác MPNQ khơng đổi 16 R OI GTLN diện tích tứ giác MPNQ , AB CD Câu a) ĐKXĐ: x 1; y 2; x 1 y 1 x Từ phương trình x x y 10 x3 y y 5x3 x y x x y x x y 5x 1 Xét x thay vào phương trình thứ ta 2y 2y 16 y 16 y y 0(tmdk ) Xét 2y x thay vào phương trình thứ ta x 1 x x 1 x t2 Ta có phương trình: t 2t 15 t 5 t 3 t Đặt x 1 x t x 1 x x y x 1 x x 3x x y 2 Vậy phương trình có nghiệm x; y 0;0 ; 3; b) Theo nguyên lý Dirichle số x 1;2 y 1;2 z 1bao tồn số dấu Giả sử x 1;2 y dấu Khi x 1 y 1 x y xy z z x y xyz Từ giả thiết x2 y z xyz z x2 y xyz 1 z 1 z z xy xyz xy z 1 xy Do P xy yz zx xyz 2 2 1 Vậy GTLN P Đạt x y z 2 Câu Xét số tự nhiên khác đôi Lấy số chia cho 3, theo nguyên lý Dirichle có số có số dư Xét khả sau: - Nếu có số dư giống Khi phải có số chia cho có số dư 0,1,2 nên tổng chúng chia hết cho - Nếu có số dư giống Khi tổng chúng ln chia hết cho Ta chia 17 số có khoảng từ đến 907 thành nhóm: Nhóm I gồm số, nhóm II gồm số nhóm III gồm số Mỗi nhóm ln tồn số có tổng chia hết cho Giả sử tổng số nhóm 3a,3b,3c a, b, c * Còn lại 17 số, số lại chọn số có tổng chia hết cho 3, đặt tổng số 3d d * Còn lại số, số lại chọn số có tổng chia hết cho đặt tổng số 3e e * Cuối số a, b, c, d , e tồn số có tổng chia hết cho 3, giả sử số x, y, z x, y, z * suy 3 x y z Do ln chọn học sinh thi tốn có tổng số báo danh mang chia hết cho ... chọn c cách chịn d, có: 7.9.8.7 3528 số thỏa mãn Vậy có tất 49 448 3528 4025 số thỏa mãn toán Câu a) Ta có: A 3n3 3n 18n 3 n 1 n n 1 18n chia hết cho 18 b) Gọi số ô tô... Giả sử x 1;2 y dấu Khi x 1 y 1 x y xy z z x y xyz Từ giả thi t x2 y z xyz z x2 y xyz 1 z 1 z z xy xyz xy z 1 xy Do P... có tổng chia hết cho 3, giả sử số x, y, z x, y, z * suy 3 x y z Do ln chọn học sinh thi tốn có tổng số báo danh mang chia hết cho