SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐĂK LĂK KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH LỚP NĂM HỌC 2018-2019 ĐỂ CHÍNH THỨC Câu a) Rút gọn biểu thức A 33 12 37 30 x x x 12 x y y b) Giải hệ phương trình: x x y Câu a) Cho phương trình x x x m ( m tham số) Tìm tất giá trị m để phương trình có nghiệm phân biệt b) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, đường thẳng d có hệ số góc k di qua điểm M 0;3 cắt Parabol P : y x hai điểm A, B Gọi C , D hình chiếu vng góc A, B trục Ox Viết phương trình đường thẳng d , biết hình thang ABCD có diện tích 20 Câu a) Giải phương trình nghiệm nguyên: x2 y xy x y 20 b) Tìm tất số tự nhiên có chữ số, biết số lập phương tổng chữ số Câu Cho điểm A nằm ngồi đường tròn O Vẽ hai tiếp tuyến AB, AC ( B, C tiếp điểm) cát tuyến ADE (O) cho ADE nằm hai tia AO AB ( D, E thuộc O ) Đường thẳng qua D song song với BE cắt BC, AB P, Q a) Gọi H giao điểm BC với OA Chứng minh tứ giác OEDH nội tiếp b) Gọi K điểm đối xứng B qua E Chứng minh A, P, K thẳng hàng Câu Cho hình vng ABCD Trên cạnh CB, CD lấy điểm M , N (M khác B C, N khác C D) cho MAN 450 Chứng minh đường chéo BD chia tam giác AMN thành hai phần có diện tích a 1 b 1 c 1 3 Câu Cho a, b, c thỏa mãn a b c Chứng minh rằng: b c2 a2 ĐÁP ÁN Câu a) Ta có: A 3 33 12 3 33 12 1 3 3 3 33 12 21 12 3 b) ĐKXĐ: x, y Ta có: x x x 12 x y y y x 2 y x 2 Thế vào phương trình thứ hai x x 1 x x 1 x y 1(ktm) x 3 0 x y y Vậy hệ có nghiệm x; y 9;1 Câu a) Ta có phương trình tương đương x x m Đặt x t Ta có phương trình t 2t m 0(*) Để phương trình ban đầu có nghiệm phân biệt phương trình * phải có nghiệm t dương phân biệt Khi đó: ' m 1 m 2 m m b) Gọi phương trình đường thẳng d : y ax b Vì d qua M 0;3 nên d : y ax Hoành độ giao điểm d P nghiệm phương trình: x2 ax , 1. 3 nên phương trình x2 ax ln có nghiệm phân biệt hay d cắt P tai x xB a hai điểm phân biệt A B có hồnh độ xA , xB Theo Vi-et A Khi tọa độ x A xB 3 A xA ; xA2 , B xB ; xB2 ; C xA ;0 ; D xB ;0 Ta có: S ABCD 2 AC BD CD xA xB xA xB 2 xA xB xA xB Đặt 20 xA xB xA xB 40 a a 12 40 a 12 t , ta có: t 6t 40 t t 4t 10 t t 6 t a 12 a 2 Phương trình đường thẳng d : y 2 x 3; d : y x Câu a) Ta có phương trình tương đương: x 1 x y 25 2 x x y 25 02 52 32 42 Xét trường hợp sau: 2 x TH 1: x; y 1; 6 ; 1;4 x y x 1 TH : x; y 6;4 ; 4; 6 x y x TH 3: x; y 2; 8 ; 2;0 ; 4;6 ; 4; 2 x y x TH : x; y 3; 8 ; 3; 2 ; 5; 6 ; 5;0 x y b) Gọi số tự nhiên cần tìm abcd a b c d , theo 1000 abcd 9999 Đặt a b c d n 1000 n3 9999 10 n 21 Mặt khác abcd 999a 99b 9c n n3 n3 n n 1 n n 1 Do số n 1; n; n 1phải có số chia hết cho 9,kết hợp với 10 n 21 n 10;17;18;19 Với n 10 a b c d 10 abcd 1000(ktm) Với n 17 a b c d 17 abcd 4913(tm) Với n 18 a b c d 18 abcd 5832(tm) Với n 19 a b c d 19 abcd 6859(ktm) Vậy n4913;5832 Câu B Q D E K I P A H O C a) Áp dụng phương tích đường tròn ta có AB2 AD AE Áp dụng hệ thức lượng tam giác ABO vuông có: AB2 AH AO AH AO AD AE AH AD AHD AEO AE AO AHD AEO nên tứ giác OEDH nội tiếp b) Gọi I giao điểm AE với BC Ta có: AHD DEO ODE OHE BHD BHE Suy HI phân giác DHE mà HI AH nên HA phân giác DHE HD AD ID DQ AD ID DP DQ DP Do mà PQ / / BK nên HE AE IE EB AE IE EB Ta có: DQ DP, EB EK PQ / / BK nên A, P, K thẳng hàng Câu B A H Q M P D N C Đường chéo BD cắt AN , AM P Q Ta có PAM PBA PAM 450 nên tứ giác ABMP nội tiếp Suy PMA PBA PAM 450 APM vuông cân Tương tự NDQ NAQ 450 nên tứ giác ADNQ nội tiếp QNA QDA QAN 450 AQN vuông cân Kẻ PH AM H HA HM PH hay AM 2PN Ta có: S APQ S AMN PH AQ PH NQ S AMN 2S APQ NQ AM NQ.2 PH Câu a 1 b2 a 1 b2 a 1 ab b Áp dụng Cơ si ta có a 1 a 1 a 1 b 1 b 1 2b b 1 bc c c ca a b 1 ; c 1 Tương tự ta có c 1 a 1 Cộng vế theo vế ta được: a 1 b 1 c 1 ab bc ca a b c ab bc ca a b c 3 6 b 1 c 1 a 1 2 Mặt khác ta có BDT a b c 3 ab bc ca ab bc ca Do : a 1 b 1 c 1 Dấu " " xảy a b c b2 c a