SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO NAM ĐỊNH KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH KHỐI NĂM HỌC 2018-2019 MƠN THI: TỐN ĐỀ THI CHÍNH THỨC Câu (3,0 điểm) Rút gọn biểu thức P 10 Xét ba số thực dương x, y, z thỏa mãn xy x yz 1 yz y 1 89 28 10 xz z z2 z y z2 Chứng minh y 1 zx z Câu (5,0 điểm) Giải phương trình x3 x x x 2 x4 15 x y 2 x y 1 4 Giải hệ phương trình xy x y 4 x y x y x 13 Câu (3,0 điểm) Q x Q 1 x x Biết hệ số P( x) số nguyên không âm P Tính P 3P 3 P Cho đa thức P( x) Q( x) thỏa mãn P( x) Tìm tất cặp số nguyên x; y thỏa mãn phương trình: x y 1 x y 6xy y x y x 1 y 1 Câu (7,0 điểm) Cho tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn O; R , vẽ đường tròn O '; R ' tiếp xúc với cạnh AD H, tiếp xúc với cạnh BC G tiếp xúc với đường tròn O (điểm M thuộc cung CD không chứa điểm A) Vẽ đường thẳng tt ' tiếp tuyến chung M hai đường tròn (O) ( O ') (tia Mt nằm nửa mặt phẳng bờ đường thẳng MA chứa điểm D) Chứng minh DHM DMt AMH MH , MG tia phân giác góc AMD & BMC Đường thẳng MH cắt đường tròn (O) E ( E khác M ) Hai đường thẳng HG CE cắt I Chứng minh EHI EIM Chứng minh đường thẳng HG qua tâm đường tròn nội tiếp tam giác ACD Câu (2,0 điểm) Cho ba số thực dương a, b, c Chứng mnh : 1 1 1 1 c. c a 3b c a. a b 3c a b b c 3a b a b c Cho đa giác có 10 đỉnh hình vẽ bên (bốn đỉnh A, B, C, D B, C, D, E C, D, E, F … J , A, B, C gọi đỉnh liên tiếp đa giác) Các đỉnh đa giác đánh số cách tùy ý số nguyên thuộc tập hợp 1;2;3;4;5;6;7;8;9;10 (biết đỉnh đánh số, số đánh đỉnh khác nhau) Chứng minh ta ln tìm đỉnh liên tiếp đa giác đánh số mà tổng số lớn 21) J B A C I D H G F E ĐÁP ÁN Câu 1.Ta có: 10 5 ;9 2 Và 89 28 10 10 , Do đó: P 2 52 1 7 1 2 10 2 1 2 10 2 5 10 5 Vậy P ta có: z2 xz y z z2 xz z z z2 y xyz z z z2 z y z z xyz Ta có: xy x yz 1 yz y Và xy x xyz x zx z x yz y xy xy xy x x x xyz xy x xy x zx z xy x yz xyz xy xy x xy Do đó: xy x 1 yz y 1 xy x yz Vậy xz z z z2 y zx z 1 x xy x 1 xy x xy 1 x xy 1 1khi x, y, z thỏa mãn yz y zx z z2 y Câu Điều kiện xác định : x R 1 +)Nhận xét x 0x ; x 0x , x x x 0x 4 Do từ (1) suy x 2 5 x4 Phương trình (1) x x x 15 x x2 2 5 2 4 5 2 2 x 1 x x x x x 4 x 15 x x2 x 15 x x Đặt a x a 2 x Khi ta có phương trình 15 a 1 5a a 45 a 1 16a a 16a 109a 90a 45 a 3 16a 48a 35a 15 a 16a3 48a 35a 15 a 2 +)Với a ta có: x Vậy S 1;2 x 1(tm) x 3x x x 2(tm) xy Điều kiện x y x (*) Phương trình 1 x y xy 1 x y 1 x y x y 1 4 0 x y xy x y x y 1 x y 1 x y 1 x y xy x x y 1 y2 x y xy x y 0 x y y x (vì với x, y thỏa mãn điều kiện (*) ta có: x y x y 0) Thay y x vào phương trình thứ (2) hệ phương trình ta phương trinh: x 1 x 13 x x x x x x x x x 1 x 3 2 x x 2 x x x x x x 1 )2 x x x x 0(VN vi x 0) 2 x 17 33 x x 17 33 x )4 x x x 2 + x x 4 x 17 x 16 17 33 x 17 33 33 thỏa mãn điều kiện (*) y 8 17 33 33 ; Vậy hệ phương trình cho có nghiệm x; y 8 Với x Câu Từ giả thiết ta có: P 1 Q Q 1 1 P 1 Q 1 Q 2 Từ (1) (2) suy P 1 (2) Giả sử P x a0 a1x a2 x an x n , a0 , a1, a2 , , an số nguyên không âm suy a0 a1 a2 an P x Vì P( x) 0x x P(2) 0, P(3) 0, đó: 3P 3 P P 3P 3 P Ta có : x y 1 x y xy y x y x 1 y 1 x y xy y x y x y xy 1 x y y x y x y 2 x y x y y x y x y x y y Vì x, y nên x y 2; x y y ước x y y2 x x y y x y y x x y 1 y2 y 2 x y y 3 x y x 1 y x y 3 y2 x 1 x y y 1 x y y x x y y2 y 2 x y y x y x y Vậy cặp số nguyên x; y 3;0 ; 3; 2 ; 1;2 ; 7; 2 ; 3;2 ; 1;0 Câu Xét HAM ta có DHM DAM AMH (1) Xét đường tròn (O) ta có : DAM DMt (2) Từ (1) (2) ta có : DHM DMt AMH Vì Mt DH tiếp tuyến O ' nên DHM HMt Và HMt HMD DMt (3) (4) Từ (1), (2), (3), (4) suy AMH HMD suy MH phân giác AMD Chứng minh tương tự ta có MG phân giác góc BMC Xét O ' có HGM HMt sd HM , xét O có ECM EMt sd EM HGM ECM hay IGM ICM tứ giác IMCG nội tiếp Ta có EHI EHA AHG (4) Và EIM 1800 MIC 1800 MGC MGB MGH BGH (5) Lại có AHG BGH (6) (vì AH BG tiếp tuyến O ') Và EHA DHM MGH Từ (4), (5), (6), (7) suy EIM MGH BGH EHA AHG EHI EIM Ta có CE tia phân giác ACD * (vì EM tia phân giác AMD sdEA sdED) Ta có: EHI EIM (chứng minh câu 4.2), EHI EIM có HEI MEI EHI EIM EHI EIM ( g.g ) EI EH EI EH EM (8) EM EI Lại có : EDH DMH (vì EM tia phân giác AMD sdEA sdED) EHD EDM có HED MED EDH DMH EHD EDM ( g.g ) ED EH ED EH EM (9) EM ED Từ (8) (9) suy EI ED EID cân E EDI EID 10 DI cắt (O) K, ta có: EDI Và EID sdEA sdAK (11) sdED sdKC (12) Từ (10), (11), (12) sdEA sdED sdAK sdKC DK tia phân giác ADC ** Từ (*), (**) suy I tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác BCD Rõ ràng, HG qua I tâm đường tròn nội tiếp BCD Câu 1 1 1 1 1 1.Áp dụng BĐT x y z x, y , z x yz x y z x y z 1 1 1 x, y , z x y z xy yz xz Và Vì a, b, c ta có : 1 1 1 2 2 , bất đẳng thức (1) ta cần chứng minh a b c ab bc ca 1 1 1 2 ac 3bc 2c ab 3ac 2a bc 3ab 2b ab bc ac Ta có (2) 1 1 a bc 2 ac 3bc 2c ab 3ac 2a bc 3ab 2b abc ab bc ac abc a 3b 2c b 3c 2a c 3a 2b Ta có: ab ab ab 1 ab ab a a 3b 2c a c b c 2b a c b c 2b a c b c Vậy ab ab ab a a 3b 2c a c b c Tương tự ta có: (3) bc bc bc b (4) b 3c 2a b a c a ac ac ac c c 3a 2b c b a b (5) Cộng theo vế 3 , , 5 ta có: ab bc ac ab bc ab ac ac bc a b c a b c a 3b 2c b 3c 2a c 3a 2b a c cb a b Vậy BĐT (2) BĐT (1) Gọi x1, x2 , x3 , , x10 số phân biệt đánh liên tiếp cho 10 điểm phân biệt thuộc đường tròn (O) , x1, x2 , x3 , , x10 1;2;3;4;5;6;7;8;9;10 Giả sử ngược lại khơng tìm đỉnh thỏa mãn khẳng định tốn Khi ta có: x1 x2 x3 x4 21 x x x x 21 x3 x4 x5 x6 21 x10 x1 x2 x3 21 Từ suy x1 x2 x3 x10 10.21 210 Mặt khác ta lại có : x1 x2 x3 x10 10 10.11 55 Suy 4.55 210 220 210 (vơ lý), điều giả sử sai Vậy ta ln tìm điểm liên tiếp đánh số mà tổng số lớn 21 ... 1;2;3;4;5;6;7;8 ;9; 10 (biết đỉnh đánh số, số đánh đỉnh khác nhau) Chứng minh ta ln tìm đỉnh liên tiếp đa giác đánh số mà tổng số lớn 21) J B A C I D H G F E ĐÁP ÁN Câu 1.Ta có: 10 5 ;9 ... 2 x Khi ta có phương trình 15 a 1 5a a 45 a 1 16a a 16a 109a 90 a 45 a 3 16a 48a 35a 15 a 16a3 48a 35a 15 a 2 +)Với... sdEA sdED) EHD EDM có HED MED EDH DMH EHD EDM ( g.g ) ED EH ED EH EM (9) EM ED Từ (8) (9) suy EI ED EID cân E EDI EID 10 DI cắt (O) K, ta có: EDI Và EID sdEA