024 đề thi HSG toán 9 tỉnh nam định 2018 2019

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO NAM ĐỊNH KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH KHỐI NĂM HỌC 2018-2019 MƠN THI: TỐN ĐỀ THI CHÍNH THỨC Câu (3,0 điểm) Rút gọn biểu thức P    10 Xét ba số thực dương x, y, z thỏa mãn  xy  x yz  1  yz  y   1   89  28 10 xz z  z2   z  y z2  Chứng minh y 1 zx  z  Câu (5,0 điểm) Giải phương trình x3  x  x  x  2 x4   15   x  y 2   x  y  1   4  Giải hệ phương trình  xy x y  4 x  y  x  y   x  13 Câu (3,0 điểm) Q  x   Q 1  x  x  Biết hệ số P( x) số nguyên không âm P    Tính P  3P  3  P    Cho đa thức P( x) Q( x) thỏa mãn P( x)  Tìm tất cặp số nguyên  x; y  thỏa mãn phương trình:  x  y  1 x   y   6xy  y   x  y    x  1 y  1 Câu (7,0 điểm) Cho tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn  O; R  , vẽ đường tròn  O '; R ' tiếp xúc với cạnh AD H, tiếp xúc với cạnh BC G tiếp xúc với đường tròn  O  (điểm M thuộc cung CD không chứa điểm A) Vẽ đường thẳng tt ' tiếp tuyến chung M hai đường tròn (O) ( O ') (tia Mt nằm nửa mặt phẳng bờ đường thẳng MA chứa điểm D) Chứng minh DHM  DMt  AMH MH , MG tia phân giác góc AMD & BMC Đường thẳng MH cắt đường tròn (O) E ( E khác M ) Hai đường thẳng HG CE cắt I Chứng minh EHI  EIM Chứng minh đường thẳng HG qua tâm đường tròn nội tiếp tam giác ACD Câu (2,0 điểm) Cho ba số thực dương a, b, c Chứng mnh : 1 1 1 1        c. c  a  3b   c a. a  b  3c   a b  b  c  3a   b  a b c  Cho đa giác có 10 đỉnh hình vẽ bên (bốn đỉnh A, B, C, D B, C, D, E C, D, E, F … J , A, B, C gọi đỉnh liên tiếp đa giác) Các đỉnh đa giác đánh số cách tùy ý số nguyên thuộc tập hợp 1;2;3;4;5;6;7;8;9;10 (biết đỉnh đánh số, số đánh đỉnh khác nhau) Chứng minh ta ln tìm đỉnh liên tiếp đa giác đánh số mà tổng số lớn 21) J B A C I D H G F E ĐÁP ÁN Câu  1.Ta có:  10  5     ;9    2  Và 89  28 10   10 , Do đó: P 2  52  1  7 1  2    10  2 1  2      10  2     5 10 5  Vậy P  ta có: z2  xz   y z  z2  xz z   z  z2  y   xyz  z  z    z2   z y z   z  xyz  Ta có:  xy  x yz  1  yz  y  Và  xy  x xyz  x  zx  z   x  yz  y  xy  xy xy  x  x x  xyz  xy  x  xy  x   zx  z   xy x yz  xyz  xy  xy x   xy Do đó:  xy  x  1  yz  y  1  xy  x yz  Vậy xz z   z  z2  y  zx  z  1 x   xy  x  1  xy  x xy 1 x   xy 1   1khi x, y, z  thỏa mãn yz  y  zx  z  z2  y Câu Điều kiện xác định : x  R 1  +)Nhận xét x   0x  ; x   0x  , x  x    x     0x  4  Do từ (1) suy x  2 5  x4  Phương trình (1)  x    x  x 15  x x2 2 5 2 4 5 2  2  x  1 x  x   x    x  x        4 x 15  x x2 x 15  x  x Đặt a  x  a  2 x   Khi ta có phương trình  15  a  1  5a a   45  a  1  16a  a    16a  109a  90a  45    a  3 16a  48a  35a  15     a  16a3  48a  35a  15  a  2 +)Với a  ta có: x  Vậy S  1;2   x  1(tm)   x  3x     x  x  2(tm)  xy   Điều kiện  x  y  x   (*) Phương trình 1  x  y  xy 1  x  y  1  x  y     x  y  1  4 0 x y xy x y  x  y  1 x  y  1   x  y  1    x y xy x  x  y  1  y2  x  y  xy  x  y  0  x  y    y   x (vì với x, y thỏa mãn điều kiện (*) ta có: x  y  x  y  0) Thay y   x vào phương trình thứ (2) hệ phương trình ta phương trinh: x  1  x   13  x   x  x   x   x  x   x  x    x  1   x 3  2 x   x  2 x   x    x    x   x  x  1 )2 x   x  x    x    0(VN vi x  0)  2 x    17  33  x   x  17  33   x  )4  x  x      x    2 +   x   x 4 x  17 x  16     17  33  x    17  33 33  thỏa mãn điều kiện (*) y 8  17  33 33   ; Vậy hệ phương trình cho có nghiệm  x; y     8   Với x  Câu Từ giả thiết ta có: P    1 Q    Q 1   1 P 1   Q 1  Q     2 Từ (1) (2) suy P 1  (2) Giả sử P  x   a0  a1x  a2 x   an x n , a0 , a1, a2 , , an số nguyên không âm suy a0  a1  a2   an  P  x   Vì P( x)  0x  x   P(2)  0, P(3)  0, đó: 3P  3  P     P  3P  3  P     Ta có :  x  y  1 x   y   xy  y   x  y    x  1 y  1   x  y    xy  y  x  y     x  y  xy  1   x  y   y  x  y     x  y   2   x  y  x  y    y  x  y      x  y    x  y  y   Vì x, y  nên x  y  2; x  y  y ước x  y    y2  x       x  y  y  x  y   y   x    x  y   1  y2    y  2      x  y  y  3  x  y    x  1    y   x  y   3  y2   x  1       x  y  y  1  x  y    y   x   x  y    y2    y  2      x  y  y   x  y    x     y  Vậy cặp số nguyên  x; y   3;0 ;  3; 2  ;  1;2  ;  7; 2 ; 3;2 ;  1;0  Câu Xét HAM ta có DHM  DAM  AMH (1) Xét đường tròn (O) ta có : DAM  DMt (2) Từ (1) (2) ta có : DHM  DMt  AMH Vì Mt DH tiếp tuyến  O ' nên DHM  HMt Và HMt  HMD  DMt (3) (4) Từ (1), (2), (3), (4) suy AMH  HMD suy MH phân giác AMD Chứng minh tương tự ta có MG phân giác góc BMC     Xét  O ' có HGM  HMt   sd HM  , xét  O  có ECM  EMt   sd EM       HGM  ECM hay IGM  ICM  tứ giác IMCG nội tiếp Ta có EHI  EHA  AHG (4) Và EIM  1800  MIC  1800  MGC  MGB  MGH  BGH (5) Lại có AHG  BGH (6) (vì AH BG tiếp tuyến  O ') Và EHA  DHM  MGH   Từ (4), (5), (6), (7) suy EIM  MGH  BGH  EHA  AHG  EHI  EIM Ta có CE tia phân giác ACD * (vì EM tia phân giác AMD  sdEA  sdED) Ta có: EHI  EIM (chứng minh câu 4.2), EHI EIM có HEI  MEI EHI  EIM  EHI EIM ( g.g )  EI EH   EI  EH EM (8) EM EI Lại có : EDH  DMH (vì EM tia phân giác AMD  sdEA  sdED) EHD EDM có HED  MED EDH  DMH  EHD EDM ( g.g )  ED EH   ED  EH EM (9) EM ED Từ (8) (9) suy EI  ED  EID cân E  EDI  EID 10  DI cắt (O) K, ta có: EDI  Và EID   sdEA  sdAK  (11)  sdED  sdKC  (12) Từ (10), (11), (12) sdEA  sdED  sdAK  sdKC  DK tia phân giác ADC ** Từ (*), (**) suy I tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác BCD Rõ ràng, HG qua I tâm đường tròn nội tiếp BCD Câu 1 1 1 1 1 1.Áp dụng BĐT  x  y  z             x, y , z  x yz x y z x y z 1 1 1       x, y , z   x y z xy yz xz Và Vì a, b, c  ta có : 1 1 1  2 2   , bất đẳng thức (1) ta cần chứng minh a b c ab bc ca 1 1 1         2 ac  3bc  2c ab  3ac  2a bc  3ab  2b  ab bc ac  Ta có     (2) 1 1 a bc       2 ac  3bc  2c ab  3ac  2a bc  3ab  2b  abc  ab bc ac abc    a  3b  2c b  3c  2a c  3a  2b Ta có: ab ab ab  1   ab ab a           a  3b  2c  a  c    b  c   2b  a  c b  c 2b   a  c b  c  Vậy ab  ab ab a      a  3b  2c  a  c b  c  Tương tự ta có: (3) bc  bc bc b      (4) b  3c  2a  b  a c  a  ac  ac ac c      c  3a  2b  c  b a  b  (5) Cộng theo vế  3 ,   ,  5 ta có: ab bc ac  ab  bc ab  ac ac  bc a  b  c  a  b  c         a  3b  2c b  3c  2a c  3a  2b  a  c cb a b  Vậy BĐT (2) BĐT (1) Gọi x1, x2 , x3 , , x10 số phân biệt đánh liên tiếp cho 10 điểm phân biệt thuộc đường tròn (O) , x1, x2 , x3 , , x10 1;2;3;4;5;6;7;8;9;10 Giả sử ngược lại khơng tìm đỉnh thỏa mãn khẳng định tốn Khi ta có:  x1  x2  x3  x4  21  x  x  x  x  21   x3  x4  x5  x6  21    x10  x1  x2  x3  21 Từ suy  x1  x2  x3   x10   10.21  210 Mặt khác ta lại có : x1  x2  x3   x10      10  10.11  55 Suy 4.55  210  220  210 (vơ lý), điều giả sử sai Vậy ta ln tìm điểm liên tiếp đánh số mà tổng số lớn 21 ... 1;2;3;4;5;6;7;8 ;9; 10 (biết đỉnh đánh số, số đánh đỉnh khác nhau) Chứng minh ta ln tìm đỉnh liên tiếp đa giác đánh số mà tổng số lớn 21) J B A C I D H G F E ĐÁP ÁN Câu  1.Ta có:  10  5     ;9  ...  2 x   Khi ta có phương trình  15  a  1  5a a   45  a  1  16a  a    16a  109a  90 a  45    a  3 16a  48a  35a  15     a  16a3  48a  35a  15  a  2 +)Với... sdEA  sdED) EHD EDM có HED  MED EDH  DMH  EHD EDM ( g.g )  ED EH   ED  EH EM (9) EM ED Từ (8) (9) suy EI  ED  EID cân E  EDI  EID 10  DI cắt (O) K, ta có: EDI  Và EID   sdEA