024 đề thi HSG toán 9 tỉnh nam định 2018 2019

��   y  2      x  y  y   x  y    x     y  Vậy cặp số nguyên  x; y   3;0 ;  3; 2  ;  1;2  ;  7; 2 ; 3;2 ;  1;0  Câu Xét HAM ta có DHM  DAM  AMH (1) Xét đường tròn (O) ta có : DAM  DMt (2) Từ (1) (2) ta có : DHM  DMt  AMH Vì Mt DH tiếp tuyến  O ' nên DHM  HMt Và HMt  HMD  DMt (3) (4) Từ (1), (2), (3), (4) suy AMH  HMD suy MH phân giác AMD Chứng minh tương tự ta có MG phân giác góc BMC     Xét  O ' có HGM  HMt   sd HM  , xét  O  có ECM  EMt   sd EM       HGM  ECM hay IGM  ICM  tứ giác IMCG nội tiếp Ta có EHI  EHA  AHG (4) Và EIM  1800  MIC  1800  MGC  MGB  MGH  BGH (5) Lại có AHG  BGH (6) (vì AH BG tiếp tuyến  O ') Và EHA  DHM  MGH   Từ (4), (5), (6), (7) suy EIM  MGH  BGH  EHA  AHG  EHI  EIM Ta có CE tia phân giác ACD * (vì EM tia phân giác AMD  sdEA  sdED) Ta có: EHI  EIM (chứng minh câu 4.2), EHI EIM có HEI  MEI EHI  EIM  EHI EIM ( g.g )  EI EH   EI  EH EM (8) EM EI Lại có : EDH  DMH (vì EM tia phân giác AMD  sdEA  sdED) EHD EDM có HED  MED EDH  DMH  EHD EDM ( g.g )  ED EH   ED  EH EM (9) EM ED Từ (8) (9) suy EI  ED  EID cân E  EDI  EID 10  DI cắt (O) K, ta có: EDI  Và EID   sdEA  sdAK  (11)  sdED  sdKC  (12) Từ (10), (11), (12) sdEA  sdED  sdAK  sdKC  DK tia phân giác ADC ** Từ (*), (**) suy I tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác BCD Rõ ràng, HG qua I tâm đường tròn nội tiếp BCD Câu 1 1 1 1 1 1.Áp dụng BĐT  x  y  z             x, y , z  x yz x y z x y z 1 1 1       x, y , z   x y z xy yz xz Và Vì a, b, c  ta có : 1 1 1  2 2   , bất đẳng thức (1) ta cần chứng minh a b c ab bc ca 1 1 1         2 ac  3bc  2c ab  3ac  2a bc  3ab  2b  ab bc ac  Ta có     (2) 1 1 a bc       2 ac  3bc  2c ab  3ac  2a bc  3ab  2b  abc  ab bc ac abc    a  3b  2c b  3c  2a c  3a  2b Ta có: ab ab ab  1   ab ab a           a  3b  2c  a  c    b  c   2b  a  c b  c 2b   a  c b  c  Vậy ab  ab ab a      a  3b  2c  a  c b  c  Tương tự ta có: (3) bc  bc bc b      (4) b  3c  2a  b  a c  a  ac  ac ac c      c  3a  2b  c  b a  b  (5) Cộng theo vế  3 ,   ,  5 ta có: ab bc ac  ab  bc ab  ac ac  bc a  b  c  a  b  c         a  3b  2c b  3c  2a c  3a  2b  a  c cb a b  Vậy BĐT (2) BĐT (1) Gọi x1, x2 , x3 , , x10 số phân biệt đánh liên tiếp cho 10 điểm phân biệt thuộc đường tròn (O) , x1, x2 , x3 , , x10 1;2;3;4;5;6;7;8;9;10 Giả sử ngược lại khơng tìm đỉnh thỏa mãn khẳng định tốn Khi ta có:  x1  x2  x3  x4  21  x  x  x  x  21   x3  x4  x5  x6  21    x10  x1  x2  x3  21 Từ suy  x1  x2  x3   x10   10.21  210 Mặt khác ta lại có : x1  x2  x3   x10      10  10.11  55 Suy 4.55  210  220  210 (vơ lý), điều giả sử sai Vậy ta ln tìm điểm liên tiếp đánh số mà tổng số lớn 21 ... x1, x2 , x3 , , x10 1;2;3;4;5;6;7;8;9;10 Giả sử ngược lại khơng tìm đỉnh thỏa mãn khẳng định toán Khi ta có:  x1  x2  x3  x4  21  x  x  x  x  21   x3  x4  x5  x6  21 