chứng minh MK BD Tứ giác ABHD có BAD BHD 900 nên nội tiếp suy BHA BDA 450 Tứ giác DMHK có MDK BHM 450 nên nội tiếp Lại có, DHK 900 (gt) nên DMK DHK 900 (cùng chắn cung DK) Ta có điều phải chứng minh b) Tứ giác CEHK nội tiếp ( ECK EHK 900 ) ECH EKH (1) Tứ giác CKBM nội tiếp suy EKH BCM ECM (2) Từ (1) , (2) suy ECH ECM Do đó, EC đường phân giác MCH Chứng minh tương tự, ta có ME đường phân giác CMH Vì E giao điểm hai đường phân giác góc M C tam giác CHM nên ta có điều phải chứng minh 2) A Q R B P C G N Gọi N giao điểm RB QC; O tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC Ta có ARN AQR 1800 nên N nằm đường tròn w ngoại tiếp tam giác AQR Đường tròn w ' ngoại tiếp tam giác BCN cắt w điểm thứ hai G Từ RBG QCG GP phân giác BGC BNC RNQ 1800 2BAC 1800 BOC nên O nằm w ' Mà OB OC nên GO phân giác BGC G, P, O thẳng hàng Ta có N , O, A thẳng hàng Gọi M ' giao điểm thứ hai GO với w Ta có: AM ' G ANG ONG OPC MPC AM '/ / BC M ' M Do G, P, O M thẳng hàng Vậy MP qua O cố định Câu 1) Vì có 21 điểm tô màu mà 21 4.5 nên theo nguyên lý Dirichle tồn điểm tơ màu Gọi điểm màu A, B, C, D, E, F Từ điểm A ta kẻ với điểm lại đoạn thẳng, đoạn tơ màu có đoạn tơ màu Khơng tính tổng quát , giả sử đoạn AB, AC, AD tơ màu tím Trong đoạn nối ba điểm B, C, D có đoạn màu tím, giả sử BD tam giác ABD tam giác cần tìm Nếu đoạn nối ba điểm B, C, D khơng có đoạn màu tím tam giác BCD tam giác cần tìm Trước hết ta chứng minh : an số nguyên tố n số nguyên tố Giả sử n hợp số, n bq; b, q ,1 b, q n Khi đó: an 11 11 10 bq chu so q chu so q b 1 10 q b 11 1là hợp số, trái với giả thiết nên n số nguyên tố 10n 10n 10 1 10n 10 (1) Tiếp tục ta có: an 9 n Theo định lý Fermat nhỏ, ta có 10 10 n (2) Nếu n an 111 khơng thỏa mãn giả thiết Nếu n ta có n,9 1 nên từ (1) (2) suy : 10n 10 9n Vậy n ước an ... trái với giả thi t nên n số nguyên tố 10n 10n 10 1 10n 10 (1) Tiếp tục ta có: an 9 n Theo định lý Fermat nhỏ, ta có 10 10 n (2) Nếu n an 111 khơng thỏa mãn giả thi t Nếu n