Đề thi HSG Toán 9+ĐA

ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN V1 MÔN : TOÁN 9 (Thời gian: 150 phút) Câu 1: Tính giá trị biểu thức. a) A = ( 3 - 1) 128181223.226 −++−+ b) B = ( 2 + 1)( 2 2 + 1)( 2 4 + 1)( 2 8 + 1)( 2 16 + 1)( 2 32 + 1). Câu 2: a) Cho các số thực a, b, c thoả mãn cả ba điều kiện: a + b + c > 0 ab + bc + ca > 0 abc > 0 Chứng minh rằng cả ba số a, b, c đều là số dương. b) Chứng minh rằng nếu các số dương a, b, c có tổng: a + b + c =1 thì 9 111 ≥++ cba Câu 3: Tìm x và y nguyên dương, biết rằng x + y = 50 Câu 4: Cho x và y liên hệ với nhau bởi hệ thức x 2 + 2xy + 7(x + y) + 2y 2 + 10 = 0 Hãy tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của S = x + y + 1 Câu 5: Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB, dây cung CD. Gọi M, N theo thứ tự là chân các đường vuông góc kẻ từ A, B đến CD. a) Chứng minh rằng: CM = DN. b) Chứng min rằng: S AMNB = S ACD + S ADB. c) Tính diện tích lớn nhất của tứ giác AMNB, khi đó tứ giác AMNB là hình gì. Biết rằng AB = 30 cm, CD = 18 cm. 1 ĐÁP ÁN ĐỀ THI HSG CẤP HUYỆN V1 NĂM HỌC 2009 – 2010 MÔN: TOÁN Câu Nội Dung Điểm 1 a) A = ( 3 - 1) 128181223.226 −++−+ Ta có: 18 - 128 = 18 – 8 2 = ( 4 - 2 ) 2 => 2 + 12 + 12818 − = 2 + 12 + 4 - 2 = ( 3 + 1) 2 vì 4 - 2 > 0 => )13(3226 +−+ = 32426 −+ = 2 )13(26 −+ = )13(26 −+ = 324 + = 2 )13( + = ( 3 + 1) Vì 3 - 1 > 0 => A = ( 3 - 1)( 3 + 1) = 3 – 1 =2. 0.25 0.5 0.5 0.5 0.25 b) B = ( 2 + 1)( 2 2 + 1)( 2 4 + 1)( 2 8 + 1)( 2 16 + 1)( 2 32 + 1). Vì 2 – 1 = 1 nên ta viết: B = ( 2 – 1)( 2 + 1)( 2 2 + 1)( 2 4 + 1)( 2 8 + 1)( 2 16 + 1)( 2 32 + 1). = ( 2 2 - 1)( 2 2 + 1)( 2 4 + 1)( 2 8 + 1)( 2 16 + 1)( 2 32 + 1). = ( 2 4 - 1)( 2 4 + 1)( 2 8 + 1)( 2 16 + 1)( 2 32 + 1). = ( 2 8 - 1)( 2 8 + 1)( 2 16 + 1)( 2 32 + 1). = ( 2 16 -1)( 2 16 + 1)( 2 32 + 1). = ( 2 32 - 1)( 2 32 + 1). = 2 64 - 1 0.5 0.25 0.25 0.25 0.25 0.25 0.25 2 a) Vì abc > 0 nên trong ba số a, b, c phải có ít nhất là một số dương. ( Giả sử ngược lại cả ba số đều âm => abc < 0 => Vô lý) Không mất tính chất tổng quát, ta giả sử a > 0 Mà abc > 0 => bc > 0 Nếu b < 0, c < 0 => b + c < 0 Từ a + b + c > 0 => b + c > -a => ( b + c) 2 < - a(b + c) => b 2 + 2bc + c 2 < - ab - ac => ab + bc + ca < - b 2 – bc – c 2 => ab + bc + ca < 0 trái với giả thiết ab + bc + ca > 0. Vô lý. Vậy b > 0 và c > 0 . Suy ra cả ba số a, b, c đều dương. 0.25 0.25 0.25 0.25 0.25 0.25 0.25 0.25 b) Ta có: cba 111 ++ = (a + b + c)( cba 111 ++ ) = 3 + b c a c c b a b c a b a +++++ = 3 + )()()( b c c b a c c a a b b a +++++ Vì a, b, c là các số dương, nên theo BĐT Cô si ta có: 2≥+ a b b a và 2≥+ a c c a và 2≥+ b c c b 0.25 0.25 0.25 2 => 3 + )()()( b c c b a c c a a b b a +++++ ≥ 3 + 2 + 2 + 2 = 9 Vậy cba 111 ++ ≥ 9 0.5 0.25 3 Ta thấy ngay 0 ≤ x, y ≤ 50. Từ x + y = 50 ta có: y = 50 + x – 2 x50 = 50 + x – 10 x2 Vì y nguyên nên 2x = 4k 2 => x = 2k 2 , k ∈ Z Với 2k 2 ≤ 50 => k 2 ≤ 25 => k có thể nhận các giá trị:0; 1; 2; 3; 4; 5 Lựa chọn k trong các giá trị trên để thoả mãn phương trình ta được các nghiệm là: ( x; y) = ( 0; 50), (2; 32), (8; 18), (18; 8), (32; 2), (50; 0) 0.25 0.25 0.25 0.25 0.5 0.5 4 Từ: x 2 + 2xy + 7(x + y) + 2y 2 + 10 = 0 ⇔ 4x 2 + 8xy + 28x + 28y + 8y 2 + 40 = 0 ⇔ 4x 2 + 4y 2 + 49 + 8xy + 28x + 28y + 4y 2 - 9 = 0 ⇔ ( 2x + 2y + 7) 2 + 4y 2 = 9 Vì 4y 2 ≥ 0, suy ra ( 2x + 2y + 7) 2 ≤ 9 ⇔ ( 2x + 2y + 7 + 3)( 2x + 2y + 7 – 3) ≤ 0 ⇔ ( x + y + 5)( x + y + 2) ≤ 0 ⇔ x + y + 5 ≥ 0 x + y + 2 ≤ 0 ( Vì x + y + 5 > x + y + 2 ) ⇔ S ≥ - 4 S ≤ - 1 Vậy Max S = - 1 khi y = 0 và x = -2. Min S = - 4 khi y = 0 và x = - 5. 0.25 0.25 0.25 0.25 0.25 0.25 0.5 0.5 0.5 0.5 5 Vẽ hình, viết GT – KL a) Gọi I là trung điểm của CD. IC = ID (1) => OI ⊥ CD ( Quan hệ đường kính và dây cung) Tứ giác AMNB là hình thang vuông ( AM ⊥ CD, BN ⊥ CD) => AM //OI//BN ( cùng vuông góc với CD) => OI là đường trung bình của hình thang AMNB. 0.5 0.5 1.0 3 => I là trung điểm của MN => IM = IN. (2) Từ (1) và (2) => CM = DN. b)Qua I kẻ đường thẳng song song với AB,cắt AN và BN ở E và F Xét ∆ IME và ∆ INF có: IME = INE = 1v IM = IN ( câu a) MIE = NIF ( đối dỉnh) => ∆ IME = ∆ INF ( g.c.g) => S IME = S INF => S AMNB = S AEFB (3) Kẻ IH ⊥ AB Ta có: S AEFB = AB.IH. vì tứ giác AEFB là hình bình hành.(4) Kẻ CK ⊥ AB, DP ⊥ AB. Ta có: S ABC = AB.CK và S ADB = 2 1 AB.DP => S ABC + S ADB = 2 1 AB(CK + DP) mà IH = 2 1 (CK + DP) hay S ABC + S ADB = AB.IH (5) Tù (3), (4), (5) => S AMNB = S ABC + S ADB c) Từ GT: AB = 30 cm => OC = 15 cm CD = 18 cm => IC = 9 cm Xét tam giác IOC vuông tại I.Theo pitago ta tính được: IO = 12cm S AMNB = AB.IH ≤ AB.IO = 30.12 = 360 Vậy Max S AMNB = 360 cm 2 . Khi đó tứ giác AMNB là hình chữ nhật. 0.5 0.5 0.25 0.25 0.25 0.5 0.25 0.5 0.5 0.5 4 . đó tứ giác AMNB là hình gì. Biết rằng AB = 30 cm, CD = 18 cm. 1 ĐÁP ÁN ĐỀ THI HSG CẤP HUYỆN V1 NĂM HỌC 2009 – 2010 MÔN: TOÁN Câu Nội Dung Điểm 1 a) A = ( 3 - 1) 128181223.226 −++−+ Ta có: 18. ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN V1 MÔN : TOÁN 9 (Thời gian: 150 phút) Câu 1: Tính giá trị biểu thức. a) A = ( 3 - 1) 128181223.226 −++−+ b). b 2 – bc – c 2 => ab + bc + ca < 0 trái với giả thi t ab + bc + ca > 0. Vô lý. Vậy b > 0 và c > 0 . Suy ra cả ba số a, b, c đều dương. 0.25 0.25 0.25 0.25 0.25 0.25 0.25 0.25 b)