Đường trung trực của đoạn AC cắt đường phân giác trong của góc BAC tại K.. a Gọi K là đường tròn có tâm K và tiếp xúc với đường thẳng AB.. Chứng minh rằng đường tròn K tiếp xúc với đường
Trang 1SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI TUYỂN SINH THPT CHUYÊN QUỐC HỌC
Thời gian làm bài: 150 phút
Bài 1 : (1,5 điểm)
Xác định tham số m để phương trình ( ) 2 ( )
m+ x − m− x m+ − = có hai nghiệm phân biệt x x1, 2 thoả mãn: 4(x1+x2) =7x x1 2.
Bài 2 : (2,0 điểm)
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P x= 2+xy y+ 2−2x−3y+2010 khi các số thực x,
y thay đổi Giá trị nhỏ nhất đó đạt được tại các giá trị nào của x và y.
Bài 3 : (2,5điểm)
a) Giải phương trình : 3 x+ +3 35− =x 2
b) Giải hệ phương trình :
1 1
4 0
1
- 4 = 0 x
x y
xy
+ + +
Bài 4 : (2,0 điểm)
Cho tam giác ABC có BC = 5a, CA = 4a, AB = 3a Đường trung trực của đoạn AC cắt đường phân giác trong của góc BAC tại K.
a) Gọi (K) là đường tròn có tâm K và tiếp xúc với đường thẳng AB Chứng minh rằng đường tròn (K) tiếp xúc với đường tròn ngoại tiếp của tam giác ABC.
b) Chứng minh rằng trung điểm của đoạn AK cũng là tâm đường tròn nội tiếp của tam giác ABC.
Bài 5 : (2,0 điểm)
a) Với bộ số (6 ; 5 ; 2), ta có đẳng thức đúng : 65 5
26 = 2 Hãy tìm tất cả các bộ số (a ; b ; c) gồm các chữ số hệ thập phân a , b, c đôi một khác nhau và khác 0 sao cho đẳng thức ab b
ca = c đúng.
b) Cho tam giác có số đo một góc bằng trung bình cộng của số đo hai góc còn lại và
độ dài các cạnh a, b, c của tam giác đó thoả mãn: a b c+ − = a + b− c .
Chứng minh rằng tam giác này là tam giác đều.
HẾT
Trang 2-SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI TUYỂN SINH THPT CHUYÊN QUỐC HỌC
THỪA THIÊN HUẾ Khoá ngày 24.6.2010
HƯỚNG DẪN CHẤM
Phương trình có hai nghiệm phân biệt 0
0
a≠
1 0 1(*)
− > <
0,25
Ta có:
1 2
1 2
2( 1) 1 2 1
m
x x
m m
x x m
−
+ =
0,25
( 1 2) 1 2 ( )
0,25
⇔8(m− =1) 7(m− ⇔ = −2) m 6 Thoả mãn (*)
Vậy: m = − 6 thoả mãn yêu cầu bài toán
0,5
( )2
2
2 2 2
3 2010
y y
P=x+ − − − +y − y+
0,5
0,5
6023 3
6023 3
P= khi và chỉ khi:
1
3
0 3
3
y
y
0,25
Vậy giá trị nhỏ nhất của P là min
6023 3
3
3
3.a
(1đ) Lập phương hai vế phương trình
3 x+ +3 3 5− =x 2 (1), ta được:
8 3 (+ 3 x+3)(5−x)(3 x+ +3 35−x) 8=
0,25
Dùng (1) ta có: 3 (x+3)(5−x) 0= (2) 0,25 Giải (2) và thử lại tìm được : x= −3, x=5 là hai nghiệm của phương trình đã cho 0,5
Trang 3Viết lại hệ :
4
+ + + = −
÷ ÷
0,5
Đặt : u x 1
x
= + ; v y 1
y
= + , ta có hệ : 4
4
u v uv
+ = −
0,25
Giải ra được : x = −1 ; y = −1 Hệ đã cho có nghiệm : (x ; y) = (−1 ; −1) 0,25
BÀI 4
(2đ)
4 a
(1đ) Do BC2 = AC2 + AB2 nên tam giác ABC vuông tại A 0,25
Đường tròn (O) ngoại tiếp ΔABC có tâm là trung điểm O của BC, có bán kính
5
2
0,25
Gọi Q là trung điểm AC và R là tiếp điểm của (K) và AB
KQAR là hình vuông cạnh 2a Đường tròn (K) có bán kính ρ = 2a
0,25
Do OK= KQ – OQ = 2a –3
2a =
1
2a = r – ρ, nên (K) tiếp xúc trong với (O).
0,25
4.b
(1đ)
Gọi I là trung điểm AK, nối BI cắt OQ tại T Ta chứng minh T thuộc đường tròn (O) 0,25
Vì OT = OQ + QT =3
2a + a = r nên T thuộc đường tròn (O).
Từ đó T là trung điểm của cung AC của đường tròn (O)
0,25
Suy ra BI là phân giác của góc ABC Vì vậy I là tâm nội tiếp của ΔABC
0,25
T
O I
K R
B
A
Trang 4BÀI 5 (2đ)
5 a
(1đ)
Hãy tìm tất cả các bộ số (a ; b ; c) gồm các chữ số a , b, c khác nhau và khác 0 sao
cho đẳng thức: ab b
ca = c ( 1) đúng
Viết lại (1): (10a + b)c =(10c + a)b ⇔ 2.5.c(a – b) = b(a – c)
Do 5 nguyên tố và 1≤a b c, , ≤9; a c≠ nên:
1) hoặc b = 5 2) hoặc -a c=5 3) hoặc -c a=5
0,25
+ Với b = 5: 2c(a −5) = a − c⇔c =
a c a
=
9
c
a
= +
− .
Suy ra: 2a −9 = 3 ; 9 (a ≠ 5, do a ≠ c)
Trường hợp này tìm được: (a; b; c) = (6; 5; 2), (9; 5; 1)
+ Với a = c + 5: 2c(c + 5 − b) = b⇔ b =2 2 10
c
+ + Viết lại:
9
c
= + −
+
Suy ra: 2c + 1 = 3 ; 9 (c ≠ 0)
Trường hợp này tìm được: (a; b; c) = (6; 4; 1), (9; 8; 4)
+ Với c = a + 5: 2(a + 5)(a − b) = −b ⇔ b =2 2 10
a
+
−
Viết lại : 2 2 19 9.19
a
− Suy ra: b > 9, không xét
+ Vậy:
Các bộ số thỏa bài toán: (a ; b ; c) = (6 ; 5 ; 2), (9 ; 5 ; 1), (6; 4 ; 1), (9 ; 8 ; 4).
0,5
5.b
(1đ) Từ giả thiết số đo một góc bằng trung bình cộng của số đo hai góc còn lại, suy ra
tam giác đã cho có ít nhất một góc bằng 60o
Ví dụ: Từ 2A = B + C suy ra 3A = A + B + C = 180o Do đó A = 60o
0,25
Từ a b c+ − = a+ b− c (*), suy ra tam giác đã cho là tam giác cân
Thật vậy, bình phương các vế của (*):
⇒( a− c)( b− c) =0
Vì vậy tam giác này có a = c hoặc b = c
0,5
Tam giác đã cho là tam giác cân và có góc bằng 60o nên là tam giác đều 0,25
Trang 5SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 9
THÀNH PHỐ ĐÀ NẴNG NĂM HỌC 2009 - 2010
ĐỀ CHÍNH THỨC MÔN THI: TOÁN
Thời gian làm bài: 150 phút (không tính thời gian giao đề)
Bài 1: (2,5 điểm)
1
x x P
= − + ÷÷ − ÷
Tính giá trị của biểu thức P khi x= −4 2 3
8
−
Bài 2: (2,5 điểm)
a) Giải phương trình (2x+1) x =x2+2.
b) Giả sử hệ phương trình
1
4 3 12
1
3 10 5
− − =
+ + =
có nghiệm ( x y z; ; )
Chứng tỏ x y z+ + không đổi
Bài 3: (2,0 điểm) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hàm số y= x có đồ thị là (G) Trên đồ thị (G) lấy hai điểm A, B có hoành độ lần lượt là −1 và 3
a) Vẽ đồ thị (G) và viết phương trình đường thẳng (d) đi qua hai điểm A và B.
b) Tính khoảng cách từ gốc tọa độ O đến đường thẳng (d)
Bài 4: (3,0 điểm)
a) Cho một điểm P ngoài đường tròn tâm O, kẻ tiếp tuyến PA với đường tròn Từ trung
điểm B của đoạn PA kẻ cát tuyến BCD (C nằm giữa B và D) Các đường thẳng PC và PD lần lượt cắt đường tròn (O) tại điểm thứ hai E và F Chứng minh DCE = DPE + CAF và tam giác PBC đồng dạng tam giác DBP
b) Cho tam giác ABC thỏa điều kiện BC > CA > AB Trong tam giác ABC lấy điểm O
tùy ý Gọi I, J, K lần lượt là hình chiếu vuông góc của điểm O trên các đường thẳng BC, CA,
AB Chứng minh rằng:
OI + OJ + OK < BC
HẾT
Trang 6-Họ và tên thí sinh: Số báo danh:
Chữ ký của giám thị 1: Chữ ký của giám thị 2:
Trang 7SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 9
THÀNH PHỐ ĐÀ NẴNG NĂM HỌC 2009-2010
HƯỚNG DẪN CHẤM MÔN TOÁN LỐP 9
Bài
1
2,50
đ
Câu a
1,75
đ
ĐK: x>0,x≠1
P
x
0,50
1
−
Khi x= −4 2 3 thì ( )2
3 1
3 1
Câu b
0,75
đ
8
x
+
4x y− = ⇒ =8 y 4x−8
3x−2y+ =4 3x−2(4x− + =8) 4 3x− + + = − +8x 16 4 5x 20= −5(x−4) 0,25
A =
4
11 4
5
Bài
2
2,50
đ
Câu a
1,50
đ
Suy ra: x− =2 0,x x− = ⇔ =1 0 x 1;x=4 0,50
Câu b
1,00
đ
HPT
7
Bài
3
2,0
đ
Câu a
PT đường thẳng AB: 1 3
Câu b
1,00 đ
Hạ OH vuông góc với AB 1 2 12 12
Trang 84
3,0
đ
Câu a
1,75 đ
F
E C
B
O
A
P
D
sđ DCE = 1
2sđ DE, sđ DPE =
1
2sđ(DE - CF), sđ CAF =
1
Dođó sđ(DPE + CAF) =1
2sđ(DE - CF + CF) =
1
Ta có: BA2 = BC BD ⇒ BC BA
Do đó: BC BP;
Câu a
1,25 đ
L M
Y
E
F K
I
J
B
A
C
O
L Y
M
X
F
E D
J
I
K A
C B
Vẽ các tia AO, BO, CO lần l;ượt cắt BC, CA, AB tại D, E, F ta có:
Qua O vẽ các đường thẳng song song với AB và AC lần lượt cắt BC tại các điểm
X và Y Qua X vẽ đường thẳng song song với CF cắt AB tại M; qua Y vẽ đường thẳng song song với BE cắt AC tại L Ta có các kết quả sau:
(3) ∆OXY ≈∆ ABC ⇒ OX < OY < XY mà 2OD < OX+OY ⇒ OD < XY 0,25
(4) ∆MBX ≈∆ FBC ⇒ MX < BX (vì ∆FBC cũng có cạnh BC lớn nhất) (5) ∆LYC ≈∆ EBC ⇒ YL < YC (vì ∆EBC cũng có cạnh BC lớn nhất) 0,25
Từ 5 kết quả suy luận trên ta được:
OI + OJ + OK ≤ OD + OE + OF < XY + YC + XM = BC 0,25
HƯỚNG DẪN CHẤM:
có kết quả chính xác đến ý nào thì cho điểm tối đa ở ý đó; chỉ cho điểm đến phần học sinh làm đúng từ trên xuống dưới và phần làm bài sau không cho điểm Điểm toàn bài thi không làm tròn số.
Trang 9…HẾT…