Phòng giáo dục và đào tạo Huyện nga sơn Kỳ thi chọn học sinh giỏi lớp 8 năm học 2009 2010 Môn thi: Toán Thời gian làm bài: 150 phút Đề bài: Câu 1 (4 điểm): Cho biểu thức A= 2 3 2 2 2 1 1 2 16 16 4 : 1 2 1 2 4 1 4 4 1 x x x x x x x x x x + ữ + + a. Tìm điều kiện của x để biểu thức A có nghĩa. b. Rút gọn biểu thức A. c. Tìm giá trị của x để biểu thức A có giá trị dơng. Câu 2 (4 điểm): Giải các phơng trình: a. (x + 2)(x 2 3x + 5) = (x + 2) x 2 b. 2 2 8 2 1 8 3(1 4 ) 6 3 4 8 x x x x x x + = + Câu 3 (4 điểm): Bình thờng, bạn An đi học từ nhà đến trờng với vận tốc 5km/h thì đến lớp sớm hơn giờ vào học 5 phút. Nhng hôm nay, do dậy muộn so với bình thờng 29 phút nên bạn An phải chạy với vận tốc 7,5 km/h và đến lớp vừa kịp giờ vào học. Tính quãng đờng từ nhà bạn An đến trờng. Câu 4 (6 điểm): Cho hình vuông ABCD và các điểm E, F lần lợt trên các cạnh AB, AD sao cho AE = AF. Gọi H là hình chiếu của A trên DE. a. Chứng minh AD 2 = DH.DE. b. Chứng minh hai tam giác AHF và DHC đồng dạng. c. Xác định vị trí của các điểm E và F để diện tích tam giác CDH gấp 9 lần diện tích tam giác AFH. Câu 5 (2 điểm): Cho M = 2x 2 + 2y 2 + 3xy x y 3. Tính giá trị của M biết xy = 1 và x y+ đạt giá trị nhỏ nhất. Hết Đề thi gồm 01 trang hớng dẫn chấm Kỳ thi chọn học sinh giỏi lớp 8 năm học 2009 2010 Môn thi: Toán Câu ý Nội dung Điểm 1(4đ) a 1.5đ A = 2 3 2 2 2 1 1 2 16 16 4 : 1 2 1 2 4 1 4 4 1 x x x x x x x x x x + ữ + + 0.5 = ( ) ( ) 2 2 2 2 1 1 2 16 4 (4 1) : 1 2 1 2 1 2 1 2 (2 1) x x x x x x x x x x + + ữ ữ + + ĐK: x 1 2 1đ b 1.5đ Với điều kiện ở câu a ta có: A = ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 1 1 2 16 4 (2 1)(2 1) : 1 2 1 2 (2 1) x x x x x x x x x + + + ữ ữ + = 2 16 8 4 (2 1) : (1 2 )(1 2 ) 2 1 x x x x x x x + + + = 8 2 1 . 1 2 4 (2 1) x x x x x = 2 2 1x + 0.5 0.5 0.5 c 1đ A > 0 2 0 2 1x > + 2 1 0x + < 1 2 x < 0.5 0.5 2 a 2đ (x + 2)(x 2 3x + 5) = (x + 2) x 2 (x + 2)(x 2 3x + 5 x 2 ) = 0 (x + 2)(-3x + 5) = 0 2 5 3 x x = = 0.5 0.5 1 b 2đ 2 2 8 2 1 8 3(1 4 ) 6 3 4 8 x x x x x x + = + 2 8 2 1 8 3(1 2 )(1 2 ) 3(2 1) 4(1 2 ) x x x x x x x + = + + (1) ĐK: x 1 2 (1) 2 32 8 (1 2 ) 3(1 8 )x x x x = + + (1 2x) 26x + 3 = 0 x = 3 26 0.5 0.5 0.5 0.5 3 4đ Gọi quãng đờng từ nhà bạn An đến trờng là x (km). ĐK x > 0 Thời gian đi quãng đờng x với vận tốc 5km/h là 5 x Thời gian đi quãng đờng x với vận tốc 7.5 km/h là 7.5 x Thời gian đi quãng đờng x với vận tốc 7.5 km/h ít hơn thời gian đi với vận tốc 5 km/h là 24 phút hay 0.4 giờ. Ta có phơng trình: 5 x - 7.5 x = 0.4 0.25 0.5 0.5 0.5 1 Giải ra đợc x = 6. x = 6 thoả mãn đk x > 0. Vậy quãng đờng cần tìm là 6 km 0.25 4 6đ a 2đ Xét hai tam giác vuông ADE Và HAD có chung góc nhọn ADH nên chúng đồng dạng. Suy ra AD DE DH AD = DEDHAD . 2 = 1 0.5 0.5 b 2đ Từ hai tam giác ADE và HAD đồng dạng ta có: HA AE HD AD = HA AF HD DC = (1) ( Do AD = DC; AF = AE theo bài cho ) Mặt khác HDC = HAD (2) ( cùng phụ với HAD ) Từ (1) và (2) suy ra hai tam giác AHF và DHC đồng dạng (Trờng hợp c - g - c) 0.5 0.5 0.5 0.5 c 2đ Theo chứng minh câu (b) ta có hai tam giác CDH và AFH đồng dạng nên ta có: 2 = AF CD S S AFH CDH 99 2 = = AF CD S S AFH CDH CD = 3 AF. Vậy, để diện tích tam giác CDH gấp 9 lần diện tích tam giác AFH thì E, F thuộc AB và AD sao cho AE = AF = AB 3 1 . 0.5 0.5 0.5 0.5 5 2đ Biến đổi M = 2x 2 + 2y 2 + 3xy x y 3 = 2(x + y) 2 -(x + y) - xy - 3 Ta có (x - y) 2 0 (x + y) 2 4xy Mà xy = 1 nên (x + y) 2 4 x y+ 2. min x y+ = 2. Khi x y+ = 2 ta có x + y = 2 hoặc -2 + Thay x + y = 2 và xy = 1 vào biểu thức M ta đợc M = 2 + Thay x + y = -2 và xy = 1 vào biểu thức M ta đợc M =8 0.5 0.5 0.5 0.5 A C B D F H E VËy M = 2 hoÆc M = 8 . Phòng giáo dục và đào tạo Huyện nga sơn Kỳ thi chọn học sinh giỏi lớp 8 năm học 2009 2010 Môn thi: Toán Thời gian làm bài: 150 phút Đề bài: Câu 1 (4 điểm): Cho biểu thức A= 2. = 0.5 0.5 1 b 2đ 2 2 8 2 1 8 3(1 4 ) 6 3 4 8 x x x x x x + = + 2 8 2 1 8 3(1 2 )(1 2 ) 3(2 1) 4(1 2 ) x x x x x x x + = + + (1) ĐK: x 1 2 (1) 2 32 8 (1 2 ) 3(1 8 )x x x x = + + (1. biết xy = 1 và x y+ đạt giá trị nhỏ nhất. Hết Đề thi gồm 01 trang hớng dẫn chấm Kỳ thi chọn học sinh giỏi lớp 8 năm học 2009 2010 Môn thi: Toán Câu ý Nội dung Điểm 1(4đ) a 1.5đ A = 2 3 2