Đề thi HSG Toan 8 Duc tho- Ha tinh ( 2013)

Đề thi chọn học sinh giỏi Toán 8- lần 2 ( Thời gian: 120 phút) Bi 1: (4 im) a) Phõn tớch cỏc a thc sau thnh nhõn t: a) (x + y + z) 3 x 3 y 3 z 3 . b) Gii phng trỡnh: x 241 x 220 x 195 x 166 10 17 19 21 23 + + + = . Bi 2 (3 im): Cho x, y, z ụi mt khỏc nhau v 0 z 1 y 1 x 1 =++ . Tớnh giỏ tr ca biu thc: xy2z xy xz2y xz yz2x yz A 222 + + + + + = Bài 3: (5 điểm) a. Chứng minh rằng nếu 0; 0x y > > thì 1 1 4 x y x y + + b. Cho ; ;a b c là số đo ba cạnh một tam giác. Chứng minh: 1 1 1 1 1 1 a b c b c a c a b a b c + + + + + + + Bài 4: (6 điểm) Cho hình chữ nhật ABCD, gọi H là hình chiếu vuông góc của A trên BD. Phân giác của góc DAH cắt DH tại M, phân giác của góc BAC cắt BC tại N. Chứng minh: a. Tam giác AHD và tam giác ABC đồng dạng. b. MH.NC = MD.NB c. Tam giác AMN vuông. Bài 5: (2 điểm) Một tam giác vuông có số đo các cạnh là các số nguyên dơng và số đo diện tích bằng số đo chu vi. Tính diện tích tam giác đó. §¸p ¸n Bài 1: ( 4 ®iÓm) a) (x + y + z) 3 – x 3 – y 3 – z 3 = ( ) 3 3 3 3 x y z x y z     + + − − +     = ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 y z x y z x y z x x y z y yz z   + + + + + + + − + − +   = ( ) ( ) 2 y z 3x 3xy 3yz 3zx + + + + = 3 ( ) ( ) ( ) y z x x y z x y + + + +     = 3 ( ) ( ) ( ) x y y z z x+ + + . b) x 241 x 220 x 195 x 166 10 17 19 21 23 − − − − + + + = x 241 x 220 x 195 x 166 1 2 3 4 0 17 19 21 23 − − − − ⇔ − + − + − + − = x 258 x 258 x 258 x 258 0 17 19 21 23 − − − − ⇔ + + + = ( ) 1 1 1 1 x 258 0 17 19 21 23   ⇔ − + + + =  ÷    x= 258 • Bài 2 (3 điểm): 0 z 1 y 1 x 1 =++ 0xzyzxy0 xyz xzyzxy =++⇒= ++ ⇒ ⇒ yz = –xy–xz x 2 +2yz = x 2 +yz–xy–xz = x(x–y)–z(x–y) = (x–y)(x–z) Tương tự: y 2 +2xz = (y–x)(y–z) ; z 2 +2xy = (z–x)(z–y) Do đó: )yz)(xz( xy )zy)(xy( xz )zx)(yx( yz A −− + −− + −− = Tính đúng A = 1 Bµi 3: (5 ®iÓm) a. Chøng minh r»ng nÕu 0; 0x y> > th× 1 1 4 x y x y + ≥ + Do 0; 0x y> > nªn ta cã 2 2 1 1 4 4 ( ) 4 ( ) 0 x y x y xy x y x y x y xy x y + + ≥ ⇔ ≥ ⇔ + ≥ ⇔ − ≥ + + (®óng) Suy ra đpcm. b) Vì ; ;a b c là số đo ba cạnh một tam giác nên ; ;a b c b c a c a b+ + + là các số dơng, áp dụng kết quả câu a, ta có: 1 1 2 a b c b c a b + + + (1) 1 1 2 b c a c a b c + + + (2) 1 1 2 a b c c a b a + + + (3) Cộng từng vế các bất đẳng thức (1);(2) và(3) ta có: 1 1 1 2 2 2 2 a b c b c a c a b a b c + + + + ữ + + + 1 1 1 1 1 1 a b c b c a c a b a b c + + + + + + + (đpcm) Bài 4: A B D C H M N P a) xét AHD và ABC có o AHD ABC 90 = = HDA BCA ( DAC) = = Suy ra AHD và ABC đồng dạng. b) Ta có AM là phân giác của MH AH AHD MD AD = (1) AN là phân giác của NB AB ABC NC AC = (2) Lại có AHD và ABC đồng dạng (cmt) AH AB AD AC = . (3) Từ (1);(2) và(3) ta có: MH NB MH.NC MD.NB MD NC = = (đpcm) c) Qua M kẻ đờng thẳng song song với AD cắt AH tại P ta có: MP MH AD HD = (talet). Mặt khác MH NB MH NB (cmt) MD NC HD BC = = Suy ra MP NB AD BC = mà AD//BC và AD = BC nên MP//NB và MP = NB Tứ giác MPBN là hình bình hành BP// MN. do MP// AD MP AB, mà AH BM nên P là trực tâm tam giác AMB BP AM lại có BP// MN(cmt) MN AM hay tam giác AMN vuông. Bài 5: Gọi cạnh huyền và các cạnh góc vuông của tam giác vuông đó thứ tự là a; b và c (a;b;c N * ), giả sử b c. vì số đo diện tích bằng số đo chu vi nên ta có: 2 bc a b c+ + = 2 2 2 2 2 2 2 2 2 4 bc b c a b c a b c b c bc bc = = + + + Mà 2 2 2 a b c= + (pitago) nên suy ra: 2 2 2 2 2 2 2 2 2 4 4 8 4 4 8 0 4 ( 4)( 4) 8 b c b c bc bc o b c b c bc bc o bc b c b c + = + = + = = Do b; c nguyên dơng và b c nên ta có bảng giá trị sau. b - 4 1 2 c - 4 8 4 b 5 6 c 12 8 * nếu b = 5; c = 12 a = 13 (thoả mãn) khi đó diện tích tam giác đó bằng 30 đvdt. * nếu b = 6; c = 8 a = 10 (thoả mãn) khi đó diện tích tam giác đó bằng 24 đvdt. . x 2 +yz–xy–xz = x(x–y)–z(x–y) = (x–y)(x–z) Tương tự: y 2 +2xz = (y–x)(y–z) ; z 2 +2xy = (z–x)(z–y) Do đó: )yz)(xz( xy )zy)(xy( xz )zx)(yx( yz A −− + −− + −− = Tính đúng A = 1 Bµi 3: (5 ®iÓm) a = ( ) 3 3 3 3 x y z x y z     + + − − +     = ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 y z x y z x y z x x y z y yz z   + + + + + + + − + − +   = ( ) ( ) 2 y z 3x 3xy 3yz 3zx + + + + = 3 (. 23 − − − − ⇔ − + − + − + − = x 2 58 x 2 58 x 2 58 x 2 58 0 17 19 21 23 − − − − ⇔ + + + = ( ) 1 1 1 1 x 2 58 0 17 19 21 23   ⇔ − + + + =  ÷    x= 2 58 • Bài 2 (3 điểm): 0 z 1 y 1 x 1 =++ 0xzyzxy0 xyz xzyzxy =++⇒= ++ ⇒ ⇒ yz