Đề thi HSG Toan 8 Duc tho- Ha tinh ( 2013)

Phân giác của góc DAH cắt DH tại M, phân giác của góc BAC cắt BC tại N.. Tam giác AHD và tam giác ABC đồng dạng.. Tam giác AMN vuông.. Bài 5: 2 điểm Một tam giác vuông có số đo các cạnh

Đề thi chọn học sinh giỏi Toán 8- lần 2

( Thời gian: 120 phút)

Bài 1: (4 điểm)

a) Phõn tớch cỏc đa thức sau thành nhõn tử:

a) (x + y + z) 3 – x3 – y3 – z3

b) Giải phương trỡnh:

x 241 x 220 x 195 x 166

10

Bài 2 (3 điểm): Cho x, y, z đụi một khỏc nhau và 0

z

1 y

1 x

1





Tớnh giỏ trị của biểu thức: A x2 yz2yz y2xz2xz z2 xy2xy













Bài 3: (5 điểm)

a Chứng minh rằng nếu x0;y0 thì 1 1 4

x y x y  

b Cho a b c là số đo ba cạnh một tam giác ; ;

Chứng minh: 1 1 1 1 1 1

a b c b c a c a b a b c          

Bài 4: (6 điểm)

Cho hình chữ nhật ABCD, gọi H là hình chiếu vuông góc của A trên BD Phân giác của góc DAH cắt DH tại M, phân giác của góc BAC cắt BC tại N Chứng minh:

a Tam giác AHD và tam giác ABC đồng dạng

b MH.NC = MD.NB

c Tam giác AMN vuông

Bài 5: (2 điểm)

Một tam giác vuông có số đo các cạnh là các số nguyên dơng và số đo diện tích bằng số

đo chu vi Tính diện tích tam giác đó

Đáp án Bài 1: ( 4 điểm)

a) (x + y + z) 3 – x3 – y3 – z3 = x y z  3 x3  y3 z3

= y z   x y z  2 x y z x x    2  y z y  2  yz z 2

= y z 3x   2 3xy 3yz 3zx   = 3y z x x y     z x y  

= 3x y y z z x       

b) x 241 x 220 x 195 x 166 10

x 241 x 220 x 195 x 166

x 258 x 258 x 258 x 258

0

x 258 1 1 1 1 0

17 19 21 23

 x= 258

 Bài 2 (3 điểm):

0 z

1

y

1

x

1





xyz

xz yz xy















x2+2yz = x2+yz–xy–xz = x(x–y)–z(x–y) = (x–y)(x–z)

Tương tự: y2+2xz = (y–x)(y–z) ; z2+2xy = (z–x)(z–y)

Do đó:A (x yyz)(x z) (y xxz)(y z) (z xxy)(z y)

















Tính đúng A = 1

Bµi 3: (5 ®iÓm)

a Chøng minh r»ng nÕu x 0;y 0 th× 1 1 4

x y x y

Dox 0;y 0 nªn ta cã 1 1 4 4 2 2

x y



Suy ra ®pcm

b) V× a b c; ; lµ sè ®o ba c¹nh mét tam gi¸c nªn a b c b c a c a b  ;   ;   lµ c¸c sè d¬ng, ¸p dông kÕt qu¶ c©u a, ta cã:

a b c b c a     b (1)

b c a c a b     c (2)

a b c c a b     a (3)

Cộng từng vế các bất đẳng thức (1);(2) và(3) ta có:

2

Bài 4:

H

M

N P

a) xét  AHD và  ABC có  AHD  ABC 90  o

 HDA  BCA (  DAC)

Suy ra  AHD và  ABC đồng dạng

b) Ta có AM là phân giác của MH AH

AHD

   (1)

AN là phân giác của NB AB

ABC

   (2)

Lại có  AHD và  ABC đồng dạng (cmt) AH AB

  (3)

Từ (1);(2) và(3) ta có: MH NB

MH.NC MD.NB

MD NC  (đpcm)

c) Qua M kẻ đờng thẳng song song với AD cắt AH tại P ta có: MP MH

AD HD (talet).

Mặt khác MH NB MH NB

(cmt)

Suy ra MP NB

AD BC mà AD//BC và AD = BC

nên MP//NB và MP = NB

 Tứ giác MPBN là hình bình hành BP// MN

do MP// AD  MPAB, mà AHBM nên P là trực tâm tam giác AMB  BPAM lại có BP// MN(cmt)  MNAM hay tam giác AMN vuông

Bài 5: Gọi cạnh huyền và các cạnh góc vuông của tam giác vuông đó thứ tự là a; b và c

(a;b;cN* ), giả sử b  c

vì số đo diện tích bằng số đo chu vi nên ta có:

2

bc

a b c  

2 2

2

Mà 2 2 2

a b c (pitago) nên suy ra:

2 2

4

b c

Do b; c nguyên dơng và b  c nên ta có bảng giá trị sau

* nếu b = 5; c = 12  a = 13 (thoả mãn) khi đó diện tích tam giác đó bằng 30 đvdt

* nếu b = 6; c = 8  a = 10 (thoả mãn) khi đó diện tích tam giác đó bằng 24 đvdt