Đề thi HSG Toán 8, huyện Thái Thuỵ, tỉnh Thái Bình,2007 2008

PHÒNG GIÁO DỤC THÁI THỤY ĐỀ THI KHẢO SÁT HSG NĂM HỌC 2007 – 2008 MÔN : TOÁN (Thời gian làm : 120 phút) ĐỀ BÀI Bài (3 điểm) Cho f(n) = n5 – 5n3 + 4n (n số nguyên dương) a) Phân tích f(n) thành nhân tử b) Chứng tỏ f(n) chia hết cho 120 với n số nguyên dương Bài (4 điểm) a) Cho x, y, z ba cạnh tam giác Chứng minh : A = 4x2y2 – (x2 + y2 – z2)2 > x+ y = b) Tìm số tự nhiên x, y thoả mãn : xy Bài (3 điểm) Tìm giá trị x1, x2, x3, … , x2008 cho :  x1 + x + x + + x 2008 = 2008  3 3 4 4  x1 + x + x + + x 2008 = x1 + x + x + + x 2008 Bài (2 điểm) Cho số a, b, c đôi khác thoả mãn điều kiện 1 + + = a b c a2 b2 c2 Tính : P = + + a + 2bc b + 2ca c + 2ab Bài (8 điểm) Cho tam giác ABC Gọi M, G trung điểm BC AC I điểm thuộc đoạn BM (I khác B M) Đường thẳng song song với AB kẻ từ I cắt AM AC D E ; đường thẳng song song với AC kẻ từ I cắt AB K KB AB ED AB = = a) Chứng minh : ; KI AC EA AC b) So sánh BK DE ; MI = m diện tích ∆ABC S Tính diện tích ∆IDM c) Cho MB Học sinh : …………………………………………………………Số báo danh : ………………… Trường THCS : ……………………………………………………………………………………… Sưu tầm và giới thiệu: Trần Ngọc Đại, THCS Thụy Thanh, huyện Thái Thụy, tỉnh Thái Bình HƯỚNG DẪN GIẢI Bài (3 điểm) a) f(n) = n(n4 – 5n2 + 4) = n(n2 – 1)(n2 – 4) = (n – 2)(n – 1)n(n + 1)(n + 2) b) Ta thấy n – 2, n – 1, n, n + 1, n + số nguyên liên tiếp nên tồn tại số bội 3, một số là bội của ⇒ f(n) ⋮ 3; f(n) ⋮ ⇒ f(n) ⋮ 15 (1) (vì (3 ; 5) = 1) Mặt khác, số nguyên liên tiếp kể trên, tồn tại ít nhất hai số chẵn, đó có một số là bội của và một số là bội của ⇒ f(n) ⋮ 2.4 = (2) Vì (8 ; 15) = nên từ (1) và (2) suy f(n) ⋮ 8.15 Hay f(n) ⋮ 120 (đpcm) Bài (4 điểm) a) Ta có A = 4x2y2 – (x2 + y2 – z2)2 = (2xy – x2 – y2 + z2)(2xy + x2 + y2 – z2) = [z2 – (x – y)2][(x + y)2 – z2] = (z – x + y)(z + x – y) (x + y – z)(x + y + z) = (y + z – x)(z + x – y) (x + y – z)(x + y + z) Vì x, y, z ba cạnh tam giác nên y + z > x, z + x > y, x + y > z x + y + z > ⇒ (y + z – x)(z + x – y) (x + y – z)(x + y + z) > ⇒ A > (đpcm) x+ y 1 = ⇔ + = b) Cách (1) Điều kiện x, y > xy x y 1 1 4 - Nếu x ≤ y ⇒ ≥ ⇒ ≥ + hay ≥ ⇒ x ≤ Ta < x ≤ x y x x y x 3 Vì x số tự nhiên nên x = Thay vào (1) ta y = Trường hợp này ta được x = 1, y = thoả mãn giả thiết - Nếu x ≥ y, tương tự trên, ta được x = 2, y = thoả mãn giả thiết Vậy có hai cặp (x ; y) cần tìm (1 ; 2) (2 ; 1) Cách Điều kiện x > y > x+ y = Khi : ⇔ 2(x + y) = 3xy ⇔ 9xy - 6x - 6y = xy ⇔ (9xy - 6x) – (6y – 4) = ⇔ (3x – 2)(3y – 2) = ⇒ 3x – ∈ Ư(4) = {±1; ±2; ±4} Vì x là các số tự nhiên lớn nên x ≥ 1⇒ 3x – ≥ Hơn nữa 3x – chia cho dư Suy 3x – ∈ {1 ; 4} Từ đó, ta có hai trường hợp: 3x − = x = ⇔ TH1 :  ; 3y − =  y = Sưu tầm và giới thiệu: Trần Ngọc Đại, THCS Thụy Thanh, huyện Thái Thụy, tỉnh Thái Bình 3x − =  x = ⇔ TH2 :  3y − = y = Vậy có hai cặp (x ; y) cần tìm (1 ; 2) (2 ; 1) Bài (3 điểm) Ta biến đổi hệ cho thành : (x1 − 1) + (x − 1) + (x − 1) + + (x 2008 − 1) =  3 3  x1 (x1 − 1) + x (x − 1) + x (x − 1) + + x 2008 (x 2008 − 1) = Suy : (x13 − 1)(x1 − 1) + (x 32 − 1)(x − 1) + x 33 (x − 1) + + (x 32008 − 1)(x 2008 − 1) = Hay : (x1 − 1) (x12 + x1 + 1) + (x − 1) (x 22 + x + 1) + (x − 1) (x 32 + x + 1) + + (x 2008 − 1) (x 22008 + x 2008 + 1) = (1) Nhận xét : (xi – 1)2 ≥ x i + x i + = (x i + ) + > ∀xi (i = 1, 2, , 2008) 2 ⇒ (x i − 1) (x i + x i + 1) ≥ (Dấu bằng xảy ⇔ xi = 1) Suy vế trái (1) ≥ Do đó để (1) sảy ⇔ x1 = x2 = x3 = … = x2008 = Thử lại, x1 = x2 = x3 = … = x2008 = thoả mãn hệ cho Vậy x1 = x2 = x3 = … = x2008 = Bài (2 điểm) 1 Vì + + = ⇒ ab + bc + ca = a b c Ta có a2 + 2bc = a2 + bc + bc = a2 + bc – ca – ab (thay bc = –ca – ab) = a(a – b) – c(a – b) = (a – b)(a – c) Tương tự ta có b2 + 2ca = (b – a)(b – c); c2 + 2ab = (c – a)(c – b) a2 b2 c2 + + Từ : P = (vì a ≠ b, b ≠ c, c ≠ a) (a − b)(a − c) (b − a)(b − c) (c − a)(c − b) a (c − b) + b (a − c) + c (b − a) = (a − b)(b − c)(c − a) Mà a2(c – b) + b2(a – c) + c2(b – a) = a2(c – b) + b2[a – b) + (b – c)] + c2(b – a) = = [b2(a – b) – c2(a – b)] – [a2(b – c) – b2(b – c)] = (a – b)(b – c)(b + c) – (a – b)(b – c)(a + b) = (a – b)(b – c)(c – a) Sưu tầm và giới thiệu: Trần Ngọc Đại, THCS Thụy Thanh, huyện Thái Thụy, tỉnh Thái Bình Vậy P = (a − b)(b − c)(c − a) = (a − b)(b − c)(c − a) Bài (8 điểm) a) Vì KI // AC nên áp dụng hệ định lí Ta lét BK KI KB AB = = cho ∆BAC ta có : ⇒ BA AC KI AC Ta thấy MG đường trung bình ∆ABC nên MG // AB Mà IE // AB (gt) và D ∈ IE) nên suy DE // MG Khi áp dụng hệ định lí Ta lét cho ∆AMG ta có : AB ED EA ED MG AB = ⇒ = = = MG AG EA AG AC AC KB AB ED AB = = Vậy KI AC EA AC b) Tứ giác AKIE có AK // EI, KI // AE nên hình bình hành, suy KI = EA KB AB ED = = Theo câu a) ta có : ⇒ KB = ED (vì KI = EA) KI AC EA c) Hai tam giác ABM ABC có chung đường cao hạ từ đỉnh A nên : SABM BM = = (vì M trung điểm BC) ⇒ SABM = S SABC BC 2 S  MI  = m2 Vì DI // AB nên ∆MDI ~ ∆MAB ⇒ IDM =  ÷ SABM  MB  mS ⇒ SIDM = m 2SABM = m 2S Vậy SIDM = Sưu tầm và giới thiệu: Trần Ngọc Đại, THCS Thụy Thanh, huyện Thái Thụy, tỉnh Thái Bình ... − 1) + + (x 2008 − 1) =  3 3  x1 (x1 − 1) + x (x − 1) + x (x − 1) + + x 2008 (x 2008 − 1) = Suy : (x13 − 1)(x1 − 1) + (x 32 − 1)(x − 1) + x 33 (x − 1) + + (x 32008 − 1)(x 2008 − 1) = Hay... + x + 1) + (x − 1) (x 32 + x + 1) + + (x 2008 − 1) (x 22008 + x 2008 + 1) = (1) Nhận xét : (xi – 1)2 ≥ x i + x i + = (x i + ) + > ∀xi (i = 1, 2, , 2008) 2 ⇒ (x i − 1) (x i + x i + 1) ≥ (Dấu... trái (1) ≥ Do đó để (1) sảy ⇔ x1 = x2 = x3 = … = x2008 = Thử lại, x1 = x2 = x3 = … = x2008 = thoả mãn hệ cho Vậy x1 = x2 = x3 = … = x2008 = Bài (2 điểm) 1 Vì + + = ⇒ ab + bc + ca = a b c