Đề thi HSG Toán 8, huyện Thái Thuỵ, tỉnh Thái Bình, 2006 2007

PHÒNG GIÁO DỤC THÁI THỤY ĐỀ THI KHẢO SÁT HỌC SINH GIỎI NĂM HỌC 2006 – 2007 Môn : Toán Thời gian làm : 120 phút ĐỀ BÀI Bài (4 điểm) x + x − 2(x + 2) + = x− x+ x2 − a b c a2 b2 c2 + + = b) Cho Hãy tính : P = + + b+ c c+ a a+ b b+ c c+ a a + b a) Giải phương trình : Bài (3 điểm) Cho biểu thức : A = x − 2x y − x + y a) Phân tích A thành nhân tử b) Tìm x, y nguyên dương để A = Bài (3 điểm) a) Tồn hay không số nguyên n thoả mãn : n + 2006n = 20082007 + b) Cho ba số a, b, c dương nhỏ Chứng minh có ba bất đẳng thức sau sai 1 a(1 – b) > ; b(1 – c) > ; c(1 – a) > 4 Bài (4 điểm) Cho a, b, c a – b số khác thoả mãn : (a - bc)(b - abc) = (b - ac)(a - abc) 1 Chứng minh : a + b + c = + + a b c Bài (6 điểm) Cho tam giác ABC, trung tuyến BM cắt phân giác CD góc C P Kẻ DK song song với BM (K ∈ AC) PC MA BA = = a) Chứng minh PD MK BD PC CA − b) Tính : PD CB – HẾT – Sưu tầm và giới thiệu: Trần Ngọc Đại, THCS Thụy Thanh, huyện Thái Thụy, tỉnh Thái Bình LỜI GIẢI Bài (4 điểm) a) ĐKXĐ x ≠ ± Từ phương trình đã cho suy ra: (x + 1)(x + 2) + (x - 1)(x - 2) = 2(x2 + 4) ⇔ x2 + 3x + + x2 – 3x + = 2x2 + ⇔ 0x = (vô nghiệm) Vậy phương trình đã cho vô nghiệm a b c a2 b2 c2 + + = Hãy tính : P = + + b) Cho b+ c c+ a a+ b b+ c c+ a a + b Hiển nhiên a + b + c ≠ vì nếu a + b + c = thì từ giả thiết, ta có: a b c a b c 1= + + = + + = − (vô lí) b + c c + a a + b −a −b −c a b c + + = với a + b + c ≠ 0, ta được; Nhân cả hai vế của b+ c c+ a a+ b b c   a  b + c + c + a + a + b ÷(a + b + c) = a + b + c   2 a b c +a+ + b+ + c= a + b+ c ⇔ b+ c c+ a a+ b a2 b2 c2 + + =0 ⇒ P= b+ c c+ a a+ b Bài (3 điểm) Cho biểu thức : A = x − 2x y − x + y a) A = (x6 -2x3y + y2) – x4 = (x3 – y)2 – (x2)2 = (x3 – y – x2)(x3 – y + x2) = (x3 – x2 – y)(x3 + x2 – y) b) Theo giả thiết: A = ⇒ x3 + x2 – y ∈ Ư(3) = {±1 ; ±3} Vì x, y nguyên dương ⇒ x, y ≥ ⇒ x3 + x2 – y > x3 - x2 – y Do đó, ta chỉ có hai trường hợp sau: - TH1: x3 + x2 – y = và x3 - x2 – y = ⇒ 2x2 = ⇒ x2 = ⇒ x = (vì x ≥ 1) Khi đó y = x3 + x2 – = -1 (loại, vì y < 0) - TH2: x3 + x2 – y = -1 và x3 - x2 – y = -3 ⇒ 2x2 = ⇒ x2 = ⇒ x = (vì x ≥ 1) Khi đó y = x3 + x2 + = (thoả mãn) Vậy cặp số (x ; y) cần tìm là (1 ; 3) Bài (3 điểm) Sưu tầm và giới thiệu: Trần Ngọc Đại, THCS Thụy Thanh, huyện Thái Thụy, tỉnh Thái Bình a) Xét: n3 + 2006n = 20082007 + Khi đó: - Vế trái: n3 + 2006n = n3 – n + 2007n Vì n là số nguyên và 2007 ⋮ ⇒ 2007n ⋮ Còn n3 – n = n(n – 1)(n + 1) là tích của ba số nguyên liên tiếp nên có một thừa số là bội của ⇒ n3 – n ⋮ ⇒ n3 – n + 2007n ⋮ (1) - Vế phải: vì 2008 chia cho dư ⇒ 20082007 chia cho cũng dư ⇒ 20082007 + chia cho dư (2) Từ (1) và (2) suy không tồn tại số nguyên n thoả mãn điều kiện đề bài b) Từ giả thiết suy – a > 0, – b > 0, – c > Giả sử các bất đẳng thức đã cho đều đúng Nhân vế với vế các bất đẳng thức đã cho (do hai vế của các bất đẳng thức đều dương), ta có: [a(1 – a)][b(1 – b)][c(1 – c)] > (1) 64 1 Ta có: < a(1 – a) = a – a2 = − (a − 1) ≤ hay < a(1 – a) ≤ 4 1 Tương tự: < b(1 – b) ≤ ; < c(1 – c) ≤ 4 Suy : [a(1 – a)][b(1 – b)][c(1 – c)] ≤ (2) 64 Rõ ràng (1) và (2) mâu thuẫn với Từ đó ta suy điều cần chứng minh Bài (4 điểm) Ta có: (a - bc)(b - abc) = (b - ac)(a - abc) ⇔ a2b – a3bc – b2c + ab2c2 = ab2 – ab3c – a2c + a2bc2 ⇔ a2b – a3bc – b2c + ab2c2 - ab2 + ab3c + a2c - a2bc2 = ⇔ (a2b – ab2) – (a3bc - ab3c) + (a2c – b2c) – (a2bc2 – ab2c2) = ⇔ ab(a – b) – abc(a – b)(a + b) + c(a – b)(a + b) – abc2(a – b) = ⇔ (a – b)(ab – a2bc – ab2c + ac + bc – abc2) = ⇔ ab – a2bc – ab2c + ac + bc – abc2 (do a – b ≠ 0) ⇔ ab + bc + ca = abc(a + b + c) ⇔ a + b + c = ab + bc + ca (do a, b, c ≠ 0) abc Sưu tầm và giới thiệu: Trần Ngọc Đại, THCS Thụy Thanh, huyện Thái Thụy, tỉnh Thái Bình Hay a + b + c = 1 + + (đpcm) a b c Bài (6 điểm) a) Áp dụng định lí Talet: - Vì PM // DK nên: PC MC PC MA = = hay (1) (do MA = MC (giả thiết)) PD MK PD MK - Vì DK // BD nên: BA MA = BD MK Từ (1) và (2) suy ra: PC MA BA = = PD MK BD (2) b) Vì CD là tia phân giác của góc C nên theo tính chất đường phân giác tam giác, ta có: CA AD = CB BD Suy ra: Hay PC CA BA AD BA − AD BD − = − = = PD CB BD BD BD BD PC CA − = PD CB Sưu tầm và giới thiệu: Trần Ngọc Đại, THCS Thụy Thanh, huyện Thái Thụy, tỉnh Thái Bình ... thi ̣u: Trần Ngọc Đại, THCS Thụy Thanh, huyện Thái Thụy, tỉnh Thái Bình a) Xét: n3 + 2006n = 200 82007 + Khi đó: - Vế trái: n3 + 2006n = n3 – n + 2007n Vì n là số nguyên và 2007. .. ⇒ 2007n ⋮ Còn n3 – n = n(n – 1)(n + 1) là tích của ba số nguyên liên tiếp nên có một thừa số là bội của ⇒ n3 – n ⋮ ⇒ n3 – n + 2007n ⋮ (1) - Vế phải: vì 2008 chia cho dư ⇒ 200 82007. .. = + + b) Cho b+ c c+ a a+ b b+ c c+ a a + b Hiển nhiên a + b + c ≠ vì nếu a + b + c = thi từ giả thi ́t, ta có: a b c a b c 1= + + = + + = − (vô lí) b + c c + a a + b −a −b −c a b c +