Hướng dẫn giải đề thi HSG Toán 6 huyện Thái Thuỵ, Tỉnh Thái Bình, năm học 2010-2011

PHÒNG GD&ĐT THÁI THỤY ĐỀ KHẢO SÁT HỌC SINH GIỎI HUYỆN Năm học 2010 – 2011 Môn : Toán 6 (Thời gian làm bài 120 phút) Bài 1 (4 điểm) a) Cho A = 3 + 2 2 + 2 3 + 2 4 + … + 2 2010 và B = 2 2011 So sánh A và B. b) Cho dãy số : 4 ; 10 ; 18 ; 28 ; … Hãy tìm quy luật của dãy và viết thêm 2 số liên tiếp của dãy. Bài 2 (3 điểm) a) Cho 1 2 3 2009 2010 A 2010 2009 2008 2 1 = + + + + + 1 1 1 1 1 B 1 2 3 4 2010 2011 = + + + + + + Tính A B b) Giả sử 2 2010 có m chữ số và 5 2010 có n chữ số. Tính m + n. Bài 3 (3 điểm) a) Tìm các số nguyên x, y sao cho : x 2 + xy = 7 b) Số A = 2010 2011 có phải là một số chính phương hay không? Vì sao? Bài 4 (4 điểm) a) Tìm tất cả các số nguyên n để phân số 2 3n 2n 3 P 2n 1 + + = + không tối giản. b) Chứng minh rằng : 2 2 2 2 1 1 1 1 1 1 6 5 6 7 100 4 < + + + + < . Bài 5 (2 điểm) a) Cho n tia chung gốc tạo thành 190 góc. Tính n. b) Cho góc xOy khác góc bẹt. Trên tia Ox lấy 3 điểm phân biệt không trùng O là A, B, C. trên tia Oy lấy 4 điểm phân biệt không trùng O là D, E, G, H. Có bao nhiêu tam giác mà 3 đỉnh là 3 điểm trong 8 điểm: O, A, B, C, D, E, G, H? Họ và tên học sinh:…………………………………………… Số báo danh:………………… Trường THCS:……………………………………………………………………………………… HƯỚNG DẪN GIẢI Bài 1 (4 điểm) a) A = 3 + 2 2 + 2 3 + 2 4 + … + 2 2010 = 1 + 2 + 2 2 + 2 3 + 2 4 + … + 2 2009 + 2 2010 2A = 2 + 2 2 + 2 3 + 2 4 + 2 5 + … + 2 2010 + 2 2011 A = 2A – A = 2 2011 – 1 < 2 2011 Vậy A < B. b) Nhận xét : 4 = 1.4 = 1.(1 + 3) 10 = 2.5 = 2.(2 + 3) 18 = 3.6 = 3.(3 + 3) 24 = 4.6 = 4.(4 + 3) … … … Quy luật của dãy : số hạng của dãy bằng tích của số thứ tự của nó với tổng của số thứ tự với 3 (u n = n.(n + 3), n = 1; 2; 3; …) Vậy hai số tiếp theo là : 5.(5 + 3) = 5.8 = 40 và 6.(6 + 3) = 6.9 = 54 Bài 2 (3 điểm) a) Nhận xét về đề bài: Đề thi có chút nhầm lẫn : Nếu 1 1 1 1 1 B 1 2 3 4 2010 2011 = + + + + + + thì A 2011 B ≠ Để đúng với đáp án, ta có thể sửa lại thành 1 1 1 1 1 B 2 3 4 2010 2011 = + + + + + A 1 2 3 2009 2010 2010 2009 2008 2 1 = + + + + + 1 2 3 2009 1 1 1 1 1 2010 2009 2008 2         = + + + + + + + + +  ÷  ÷  ÷  ÷         2011 2011 2011 2011 2011 2011 2010 2009 2008 2 = + + + + + 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2011 2011 2011 2010 2009 2 2 3 4 2010 2011     = + + + + = + + + + +  ÷  ÷     2011.B= ⇒ A 1 B 2011 = Vậy A 2011. B = b) Ta có : 10 m – 1 < 2 2010 < 10 m 10 n – 1 < 5 2010 < 10 n 10 m – 1 . 10 n – 1 < 2 2010 . 5 2010 < 10 m . 10 n 10 m + n – 2 < 10 2010 < 10 m + n Vì m + n – 2 < m + n – 1 < m + n nên 10 m + n – 1 = 10 2010 ⇒ m + n – 1 = 2010 ⇒ m + n = 2011. Vậy m + n = 2011. Bài 3 (3 điểm) a) Ta có : x 2 + xy = x(x + y) = 7 ⇒ 7 ⋮ x ⇒ x ∈ Ư(7) = {±1 ; ±7} Ta lập bảng : x -1 1 -7 7 y -6 (thoả mãn) 6 (thoả mãn) 6 (thoả mãn) -6 (thoả mãn) Vậy có 4 cặp (x ; y) thoả mãn đề bài là : (-1 ; -6), (1 ; 6), (-7 ; 6), (7 ; -6) b) 2011 2010 1005 2 A 2010 2010 .2010 (2010 ) .2010= = = Nhận xét: 1005 2 (2010 ) là số chính phương 2010 không là số chính phương vì 2010 ⋮ 2 nhưng 2010 ⋮ 4 Vậy A = 2010 2011 không phải là một số chính phương. Bài 4 (4 điểm) a) Đặt (3n 2 + 2n + 3 ; 2n + 1) = d ⇒ 2(3n 2 + 2n + 3) – 3n(2n + 1) ⋮ d hay n + 6 ⋮ d ⇒ 2(n + 6) – (2n + 1) ⋮ d hay 11 ⋮ d ⇒ d = 1 hoặc d = 11. Để P là phân số không tối giản thì d = 11. Mà n + 6 ⋮ 11 ⇒ n + 6 = 11k ⇒ n = 11k – 6 (k ∈ Z). b) Đặt 2 2 2 2 1 1 1 1 A 5 6 7 100 = + + + + . Ta có : 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 A 4.5 5.6 6.7 99.100 4 5 5 6 6 7 99 100 4 100 < + + + + = − + − + − + + − = − ⇒ 1 A 4 < 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 A 5.6 6.7 7.8 100.101 5 6 6 7 7 8 100 101 5 101 > + + + + = − + − + − + + − = − Vì 1 1 1 1 5 6 30 101 − = > ⇒ 1 1 1 5 101 6 − > ⇒ 1 A . 6 > Vậy 2 2 2 2 1 1 1 1 1 1 6 5 6 7 100 4 < + + + + < . Bài 5 (2 điểm) a) Cho n tia chung gốc tạo thành 190 góc. Tính n. Lấy một tia trong n tia (n ∈ N, n > 1). Tia này cùng với n – 1 tia còn lại tạo thành n – 1 góc. Có n tia nên có n(n – 1) góc. Nhưng mỗi góc được tính hai lần nên có tất cả n(n 1) 2 − góc. Theo đề bài, ta có : n(n 1) 190 2 − = ⇒ n(n – 1) = 2.190 = 20.19 ⇒ n = 20. Vậy n = 20. b) (Hình vẽ) Xét ba trường hợp : - Các tam giác có đỉnh là O: + Đỉnh thứ 2 là một trong các điểm A, B, C : có 3 cách chọn. + Đỉnh thứ 3 là một trong các điểm D, E, G, H : có 4 cách chọn. Loại tam giác này có 3.4 = 12 tam giác. - Các tam giác có đỉnh là là một trong các điểm A, B, C : có 3 cách chọn. Hai đỉnh còn lại là 2 trong các điểm D, E, G, H : có 6 cách chọn Loại tam giác này có 3.6 = 18 tam giác. - Các tam giác có đỉnh là là một trong các điểm D, E, G, H : có 4 cách chọn. Hai đỉnh còn lại là 2 trong các điểm A, B, C : có 3 cách chọn Loại tam giác này có 4.3 = 12 tam giác. Vậy tổng cộng có 12 + 18 + 12 = 42 tam giác. Tổng quát : Trên Ox lấy m điểm A 1 , A 2 , … , A m phân biệt (m ∈ N, m ≥ 1); trên tia Oy lấy n điểm B 1 , B 2 , … , B n phân biệt (n ∈ N, n ≥ 1). Hỏi có bao nhiêu tam giác tạo thành từ m + n + 1 điểm : O, A 1 , A 2 , … , A m , B 1 , B 2 , … , B n . Trước hết, ta có nhận xét : Qua k điểm phân biệt thẳng hàng có k(k 1) 2 − cặp hai điểm. Thật vậy, lấy ra một điểm, điểm này và k – 1 điểm còn lại tạo thành k – 1 cặp hai điểm. Với k điểm ta được k(k – 1) cặp hai điểm. Nhưng mỗi cặp hai điểm được tính hai lần nên có k(k 1) 2 − cặp hai điểm. Trở lại bài toán : Xét ba trường hợp : - Các tam giác có đỉnh là O: + Đỉnh thứ 2 là một trong các điểm A 1 , A 2 , … , A m : có m cách chọn. + Đỉnh thứ 3 là một trong các điểm B 1 , B 2 , … , B n : có n cách chọn. Loại tam giác này có m.n = mn tam giác. - Các tam giác có đỉnh là là một trong các điểm A 1 , A 2 , … , A m : có m cách chọn. Hai đỉnh còn lại là 2 trong các điểm B 1 , B 2 , … , B n (ứng với số cặp hai điểm): có n(n 1) 2 − cách chọn Loại tam giác này có n(n 1) mn(n 1) m. 2 2 − − = tam giác. - Các tam giác có đỉnh là là một trong các điểm B 1 , B 2 , … , B n : có n cách chọn. Hai đỉnh còn lại là 2 trong các điểm A 1 , A 2 , … , A m (ứng với số cặp hai điểm): có m(m 1) 2 − cách chọn Loại tam giác này có m(m 1) mn(m 1) n. 2 2 − − = tam giác. Vậy tổng cộng có : mn(n 1) mn(m 1) n 1 m 1 mn(m n) mn mn 1 2 2 2 2 2 − − − − +   + + = + + =  ÷   tam giác. . bảng : x -1 1 -7 7 y -6 (thoả mãn) 6 (thoả mãn) 6 (thoả mãn) -6 (thoả mãn) Vậy có 4 cặp (x ; y) thoả mãn đề bài là : (-1 ; -6) , (1 ; 6) , (-7 ; 6) , (7 ; -6) b) 2011 2010 1005 2 A. 5 6 7 100 = + + + + . Ta có : 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 A 4.5 5 .6 6.7 99.100 4 5 5 6 6 7 99 100 4 100 < + + + + = − + − + − + + − = − ⇒ 1 A 4 < 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 A 5 .6 6.7. 7.8 100.101 5 6 6 7 7 8 100 101 5 101 > + + + + = − + − + − + + − = − Vì 1 1 1 1 5 6 30 101 − = > ⇒ 1 1 1 5 101 6 − > ⇒ 1 A . 6 > Vậy 2 2 2 2 1 1 1 1 1 1 6 5 6 7 100 4 <