b Tìm m để phương trình có ít nhất một nghiệm dương.. c Tìm m để phương trình có ít nhất một nghiệm âm... Từ B kẻ đường thẳng vuông góc với AM, cắt AM tại H, cắt AO kéo dài tại I.. a Chứ
Trang 1HƯỚNG DẪN GIẢI ĐỀ THI HSG CẤP TP – NH 2010-2011
PHẦN ĐẠI SỐ
BÀI 1 : (4 điểm)
Thu gọn các biểu thức :
a) A = 2 a 2 3 a2
2 a 1
(a 0)
= 2 a 3 a 2 a 3 a
2 a 1
= 1 2 a 5
5
2 a 1
b) B =
2
:
a a a a a a
(a > 0, a 1)
=
3
a 1
a a 1
a a a 1
= a 1 a 1
= a – 1
BÀI 2 : (4 điểm)
a) Chứng minh ad + bc a2b c2 2d2 với a, b, c, d là các số thực
b) Cho a, b, c là các số dương Chứng minh rằng :
a b c
ab bc ca
b c a
Giải
a) Ta có : ad + bc ad bc với mọi a, b, c, d
Xét BĐT ad bc a2 b c2 2d2 2 2 2 2 2
ad bc a b c d
ac bd 2 : đúng với mọi a, b, c, d Từ đây ta có đpcm ! 0
b) Ta có :
3
2
3
2
3
2
a
ab 2a b
b
bc 2b c
c
ac 2c a
Như vậy :
a b c
ab bc ac 2a 2b 2c
b c a
Mà : 2a22b2 2c2 2(ab bc ac) đpcm !
BÀI 3 : (3 điểm)
Cho phương trình : x2 – (3m – 2)x + 2m2 – 5m – 3 = 0 (1)
a) Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt
b) Tìm m để phương trình có ít nhất một nghiệm dương
c) Tìm m để phương trình có ít nhất một nghiệm âm
Giải
Ta có : = (m + 4)2
a) Pt (1) có hai nghiệm phân biệt > 0 m -4
b) Với m -4, ta có : S = 3m – 2, xét các trường hợp :
* m 2
3 S 0 phương trình có ít nhất một nghiệm dương
* m < 2
3 S < 0, xét tiếp P = 2m
2 – 5m – 3 ; P = 0
1 m 2
m 3
2
Trang 2Như vậy : với 1
2
< m < 2
3 P < 0 pt (1) có hai nghiệm trái dấu
Tóm lại, pt (1) có ít nhất một nghiệm dương m 2
3 hoặc
1 2
< m < 2
3 c) Với m -4, theo trên ta thấy :
* m 2
3 S 0 phương trình có ít nhất một nghiệm âm
* 2
3 < m < 3 S > 0, P < 0 : phương trình có đúng một nghiệm âm
* m 3 S > 0, P > 0 : phương trình không có nghiệm âm
Tóm lại, pt (1) có ít nhất một nghiệm âm m 2
3(khác -4) hoặc
2
3 < m < 3
BÀI 4 : (3 điểm)
a) Giải hệ phương trình :
2
1 1 1
2 (1)
x y z
2 1
4 (2)
xy z
b) Chứng tỏ rằng số có dạng n4 + 6n3 + 11n2 + 6n chia hết cho 24 với mọi số tự nhiên n
Giải
a) ĐK x, y, z 0
CÁCH 1
Từ (1)
2
1 1 1
4
x y z
, so sánh với (2) ta được :
2
2
x y z xy z
12 12 12 2 2 2 2 12
x y z xyyzxz xyz 2 2 2 2
0
x xz z y yz z
2 2
0
x z
y z
x = y = -z Từ đây tính được : x; y;z 1 1; ; 1
2 2 2
CÁCH 2
Từ (1) 2 22 2 4
xyy yz y, và từ (2) 2
4
xy z Vậy : 22 2 12 4
4
y yz z y 2 2 2
Xong luôn nhé !
CÁCH 3
Đặt a = 1
x ; b =
1
y Khi đó hệ pt trở thành
2
1
a b 2
z 1 2ab 4
z
2
1
a b 2
z 1
ab 2
2z
Như vậy, hệ pt đã cho có nghiệm pt : X2 – SX + P = 0 có nghiệm, với
2
1
S 2
z 1
P 2
2z
Trang 3 S2 4P
2
2
12 4 22
2
1
z
1 z 2
Cũng xong luôn !
b) Ta có : n4 + 6n3 + 11n2 + 6n = n(n + 1)(n + 2)(n + 3) : Việc chứng minh dành cho bạn !
BÀI 5 : (4 điểm)
Trên hai cạnh Ox, Oy của góc vuông xOy ta lần lượt lấy hai điểm A và B sao cho OA = OB Một đường thẳng đi qua A cắt OB tại M (M ở trong đoạn thẳng OB) Từ B kẻ đường thẳng vuông góc với AM, cắt AM tại H, cắt AO kéo dài tại I
a) Chứng minhOI = OM và tứ giác OMHI nội tiếp được
b) Từ O kẻ đường vuông góc với BI tại K Chứng minh OK = KH Điểm K di động trên đường cố định nào khi M di động trên OB ?
Giải
O'
K I
H
B A
O
M
a) Quan sát các góc đánh dấu có ngay kết quả !
b) 900 0
2
OKH vuông cân tại K đpcm !
c) OKB 90 0, OB = không đổi K (O’ ; OB
2 ) với O’ là tr/đ OB
Giới hạn : M O K O ; M B H B và do OK = HK nên K là tr/đ cung OB Vậy : khi M di chuyển trên OB thì K di động trên ¼ đường tròn (O’ ; OB
2 ) từ O trung điểm cung OB
Trang 4BÀI 6 : (2 điểm)
Cho tam giác ABC cân tại B và góc ABC bằng 800 Lấy điểm I trong tam giác ABC sao cho góc IAC bằng 100 và góc ICA bằng 300 Hãy tính góc AIB
Giải
Bài toán lớp 7 !
Có nhiều cách, hai hình trên đây minh họa 2 cách giải !
o 30
10o 10o
30o
K
I
C B
A
40 o
o 70
D
I
C A
B