Đề thi HSG Toán 9

Đề số 1 Câu 1 (2 điểm) Cho biểu thức 3 3 3 3 1 1 2 1 1 . : x y x x y y A x y x y x y xy yx + + + = + + + ữ ữ + + a. Rút gọn A. b. Tìm MinA biết xy = 16. Câu 2 (2 điểm) GiảI phơng trình a. ( ) 2 2 2 15 1 x x x + = + b. 1 1 1 1 1 1 1 1 2 5 7 1 3 4 6x x x x x x x x + + + = + + + + + + + + + + Câu 3 (2 điểm) a. Cho a, b, c là 3 số dơng thoả mãn điều kiện 1 1 1 2 1 1 1a b c + + + + + Chứng minh rằng: abc 1 8 b. Cho x > 0, b > 0, c > 0 thoả mãn hệ thức 2 2 2 2 2 2 25 2 9 2 16 y x xy y z z zx x + + = + = + + = Tính A = xy + 2yz + 3xz Câu 4 (3 điểm) Cho (O), từ điểm A ngoài (O) kẻ tiếp tuyến AB, AC (B, C là tiếp điểm) M thuộc cung ằ BC kẻ MI, MH, MK lần lợt vuông góc với BC, AC, AB. MB cắt IK tại E, MC cắt IH tại F a. Chứng minh : MI 2 = MH.MK b. Gọi giao điểm thứ hai của đờng tròn ngoại tiếp MEK với đờng tròn ngoại tiếp MFH là N, chứng minh MN luôn đi qua một điểm cố định. Câu 5 (1 điểm) Cho hai phơng trình bậc hai 2 2 0(1) 0(2) ax bx c cx bx a + + = + + = Tìm mối liên hệ a, b, c biết phơng trình (1) có nghiệm 1 2 ,x x . Phơng trình (2) có nghiệm 3 4 ,x x và 2 2 2 2 1 2 3 4 4x x x x+ + + = . Đề số 2 Câu 1: Cho biểu thức 1 2 1 2 : 1 2 1 2 1 2 1 2 1 x x x x x x A x x x x + + + + = + + ữ ữ ữ ữ + + a. Rút gọn A. b. Tính A biết ( ) ( ) 6 2 3 2 3 2x = + + Câu 2 : Cho phơng trình ( ) 2 1 2( 2) 2( 1) 0m x m x m+ + + + = (1) a. Xác định m để phơng trình (1) có nghiệm. b. Tìm m để phơng trình (1) có ít nhất một nghiệm lớn hơn 1. Câu 3 : 1. Giải hệ phơng trình 2 2 2 4 x y z xy z + + = = 2. Giải phơng trình nghiệm nguyên: 2 3 3 1 3 2x x x y+ + + = Câu 4: Cho ã ( ) 0 90ABC BAC < nội tiếp (O). Các tiếp tuyến tại B và C cắt nhau tại N. NO cắt BC tại D. AD cắt (O) tại điểm thứ hai là K. 1. Gọi H là trực tâm của BCN . Chứng minh O và H đối xứng với nhau qua BC. 2. Đờng thẳng đi qua A và song song với BC cắt (O) tại M. Chứng minh : CM.BK = BM.CK. 3. Chứng minh ANKO là tứ giác nội tiếp. Câu 5 : Cho x > 0 . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 6 6 6 3 3 3 1 1 2 1 1 x x x x P x x x x + + ữ ữ = + + + ữ Đề số 3 Câu 1 (2 điểm) Cho biểu thức ( ) 2 2 2 2 1 1 1 : 2 3H z z z z z z = + + + + ữ ữ a. Rút gọn H. b. Tìm z để H đạt GTNN, tính GTNN đó. Câu 2 (2 điểm) Cho phơng trình ẩn x x 4 + ax 3 +bx 2 + ax + 1 = 0 (1) a. Giải phơng trình (1) khi a = -5, b = 8. b. Chứng minh rằng : Nếu phơng trình (1) có nghiệm khi ( ) 2 2 31 2 10 a b+ > Câu 3 (2 điểm) a. Giải hệ phơng trình 3 2 2 2 2 12 0 8 12 x xy y x y + + = + = b. Kí hiệu n! = 1.2.3.(n 1).n (với * n N ) Tìm tất cả các số tự nhiên n để ( ) 1 !n n M Câu 4 (3 điểm) Cho ABC có 3 góc nhọn nội tiếp (O). M là một điểm bất kì thuộc cung nhỏ ằ BC (M không trùng B và C). Gọi D, E, F lần lợt là hình chiếu của M trên các đờng thẳng BC, CA, AB. a. Chứng minh rằng: D, E, F thẳng hàng. b. Chứng minh: AC AB BC ME MF MD + = . c. Gọi H là trực tâm của ABC . Chứng minh rằng đờng thẳng EF luôn đi qua trung điểm của đoạn thẳng HM. Câu 5 (1 điểm) Cho a, b, c là 3 số nguyên thoả mãn abc 0 và 3 a b c b c a + + = Chứng minh rằng: P = abc là lập phơng của một số nguyên. Đề số 4 Câu 1 (2 điểm) 1. Với a và b là 2 số dơng thoả mãn a 2 b > 0. Chứng minh: 2 2 2 2 a a b a a b a b + + = + 2. Không sử dụng máy tính và bảng số chứng tỏ 7 2 3 2 3 29 5 20 2 2 3 2 2 3 + < + < + + Câu 2 (2 điểm) 1. Tìm trên đờng thẳng y = x + 1những điểm có toạ độ thoả mãn hệ thức 2 3 2 0y y x x + = 2. Cho hai phơng trình sau: ( ) 2 2 2 3 6 0 2 5 5 x m x x x m + = + + = ẩn x, m là tham số. Tìm m để hai phơng trình có đúng một nghiệm chung. Câu 3 (2 điểm) Cho một miếng đất hình thang cân chiều cao 35m, hai đáy lần lợt bằng 30m, 50m. Ngời ta hai đoạn đờng có cùng chiều rộng, các tim đờng lần lợt là đờng trung bình của hình thang và các đoạn thẳng nối hai trung điểm hai đáy. Tính chiều rộng các đoạn đờng đó, biết rằng diện tích làm đờng chiếm 1 4 diện tích mảnh đất đó. Câu 4 (3 điểm) Cho ã ã ( ) 0 0 90 , 60ABC ABC BAC = > . Trung điểm M của AC. Đ- ờng vuông góc hạ từ A xuống BM cắt BC tại I. Kẻ (I) tiếp xúc với AC tại điểm K. Đờng thẳng qua A tiếp xúc với (I) tại E (E khác K) cắt đờng thẳng BM tại điểm N. a. Chứng minh rằng 5 điểm A, B, E, I, K nằm trên một đờng tròn. b. EKMN là hình gì. c. Chứng minh NBE cân. d. EB có thể song song với AC không? Vì sao?. Câu 5 (1 điểm) Tìm cặp số (x;y) thoả mãn phơng trình x 2 + y 2 + 6x 3y 2xy + 7 = 0 Sao cho y đạt giá trị lớn nhất. Đề số 5 Câu 1 (2 điểm) a. Cho 3 3 3 1 1 1 1 ax by cz x y z = = + + = Chứng minh: 2 2 2 3 3 3 3 ax by cz a b c+ + = + + b. CMR: Nếu a, b, c là các số dơng thoả mãn a + b + c = 1. Thì 2 2 2 1 1 1 33a b c a b c + + + + + > ữ ữ ữ Câu 2 (2 điểm) a. Tìm GTNN của biểu thức A = x 2 + 15y 2 + xy +8x + y +2008 b. Cho a, b, c khác nhau và a + b + c = 2008. Tính ( ) ( ) 3 3 3 2 2 2 ( ) ( ) ( ) ( ) a b c b c a c a b A a b c b c a c a b + + = + + Câu 3 (2 điểm) Ngời ta đặt một vòi nớc chảy vào một bể nớc và một vòi chẩy ra ở lng chừng bể. Khi bể cạn nếu mở cả hai vòi thì sau 2 giờ 42 phút đầy bể. Còn nếu đóng vòi chẩy ra, mở vòi chẩy vào thì sau 1 giờ 30 phút thì đầy bể. Biết vòi chẩy vào chẩy gấp đôi vòi chẩy ra. a. Tính thời gian nớc chẩy vào từ lúc bể cạn đến lúc nớc ngang chỗ vòi chẩy ra. b. Nếu chiều cao bể là 2m thì khoảng cách từ chỗ đặt vòi chẩy ra đến đáy bể là bao nhiêu?. Câu 4 (3 điểm) Cho ABC . I là giao điểm của các đờng phân giác AA, BB, CC Chứng minh rằng : 1 . . 8 4 '. '. ' 27 AI BI CI AA BB CC < < Câu 5 (1 điểm) Cho a, b, c là ba số thực dơng và thoả mãn a + b + c = 1 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: 6 6 6 3 3 3 3 3 3 a b c M b c c a a b = + + + + + Đề số 6 Câu 1 (2 điểm) a. Tính 1 1 2 2 3 2 2 3 A = + + + b. So sánh 2004 2005 2005 2004 + và 2004 2005+ . Câu 2 (2 điểm) a. Giải phơng trình: 2 12 1 36x x x+ + + = . b. Tìm các số nguyên x, y sao cho: 2 4 5y x x= + + . Câu 3 (2 điểm) a. Biết a, b, c là độ dài 3 cạnh của một tam giác. CMR phơng trình 2 ( ) 0x a b c x bc+ + = vô nghiệm. b. Cho M = x 2 + y 2 + 2z 2 + t 2 với x, y, z, t là các số tự nhiên. Hãy tìm GTNN của M và các giá trị tơng ứng x, y, z, t biết rằng: 2 2 2 2 2 2 21 3 4 101 x y t x y z + = + + = Câu 4 (3 điểm) Cho đoạn thẳng AB = 2a. Trên AB lấy một điểm C tuỳ ý. Vẽ (I) đờng kính AC và vẽ (K) đờng kính BC. MN là tiếp tuyến chung ngoài của hai đờng tròn ( ( ); ( )M I N K ), Cx là tiếp tuyến chung trong của hai đờng tròn. a. Chứng minh rằng: AM, BN, Cx đồng quy. b. Xác định vị trí của điểm C sao cho tứ giác DMCN có diện tích lớn nhất. Câu 5 (1 điểm) Chứng minh rằng: Nếu 2a b+ > thì phơng trình sau có nghiệm. 2ax 2 + bx + 1 a = 0. Đề số 7 Câu 1 (2 điểm) a. Tính giá trị của biểu thức: ( ) 2005 2 3 8 2A x x= + + Với ( ) 3 5 2 17 5 38 5 14 6 5 x + = + . b. Rút gọn: 1 1 1 2 1 1 2 3 2 2 3 2008 2007 2007 2008 S = + + + + + + Câu 2 (2 điểm) Cho phơng trình bậc hai: 2x 2 + (2m 1)x + m = 0. a. Chứng tỏ phơng trình luôn có nghiệm với mọi m. b. Xác định m để phơng trình luôn có hai nghiệm 1 2 ;x x thoả mãn 1 2 1 1x x < < < c. Lập hệ thức liên hệ giữa 1 2 ;x x không phụ thuộc vào m. Câu 3 (2 điểm) Trên quãng đờng nối hai tỉnh A và B có hai ngời chuyển động đều. M xuất phát từ A đi bằng ô tô đến B rồi quay trở lại A ngay. N xuất phát từ B đi bằng xe máy đến A rồi trở lại B ngay. Họ khởi hành cùng một lúc, lợt đi gặp nhau tại I lợt về gặp nhau tại K. Biết AB = 120Km, IB = 50Km. Tính quãng đờng AK?. Câu 4 (3 điểm) Từ điểm P nằm (O;R) kẻ hai tiếp tuyến PA và PB với A, B là các tiếp điểm. Gọi H là chân đờng vuông góc hạ từ A đến đờng kính BC. a. CMR: PC cắt AH tai trung điểm của AH. b. Nếu PO = d, Tính AH theo R và d. Câu 5 (1 điểm) Tìm x, y để M = xy(x 2)(y + 6) + 12x 2 24x + 3y 2 + 18y + 36 Đạt giá trị nhỏ nhất. Tìm giá trị đó. Đề số 8 Câu 1 (2 điểm) a. Chứng minh rằng: 1 1 1 1 . 2 2 3 2 4 3 2008 2007 + + + + < b. Số đờng chéo của một đa giác lồi là 230. Tính số cạnh của đa giác này. Câu 2 (2 điểm) a. Chứng minh rằng: Với mọi số tự nhiên a, a 0 và a 1 tồn tai ít nhất ba cặp số nguyên (x;y) thoả mãn hệ thức: 1 1 1 x y a + = b. Tìm các cặp số tự nhiên (x;y) thoả mãn 1 1 1 x y a + = với a = 1985. Câu 3 (2 điểm) a. Giải hệ phơng trình: xy a x y xz b x z yz c y z = + = + = + Với 0abc b. Tìm giá trị của m để bất phơng trình sau có nghiệm: 2 2x m x + Câu 4 (3 điểm) Cho ABC đều, gọi o là trung điểm của BC. Một góc ã 0 60xOy = có cạnh Ox, Oy cắt lần lợt các cạnh AB và AC ở M và N. a. Chứng minh: OB 2 = BM.CN. b. Xác định tính chất của các tia MO và NO đối với ã BMN và ã CNM . c. Chứng minh rằng đờng thẳng MN luôn luôn tiếp xúc với một đờng tròn cố định khi ã xOy quay quanh O nhng hai cạnh Ox và Oy vẫn cắt AB và AC của ABC . Câu 5 (1 điểm) Chứng minh rằng với mọi số nguyên dơng n 1 1 2 3 2 n n n + + + + + Đề số 9 Câu 1 (2 điểm) a. Tính giá trị của biểu thức: A = x 5 5x 3 - 2x + 1 với 1 2x = b. Cho phơng trình: ax 2 (b a + 1)x = m 2 + 1(1) Chứng minh rằng nếu 2a 2 + b 2 - 2ab 6a + 2b + 5 = 0 thì phơng trình (1) có hai nghiệm đối nhau. Câu 2 (2 điểm) Cho a, b, c là các số dơng, chứng minh rằng: 3 3 3 3 3 3 6 a b b c c a a c b a c b abc c a b b c a + + + + + Câu 3 (2 điểm) Cho hệ phơng trình: ( 1) 1 4 2 x m y x y + + = = a. Tìm các số nguyên m để hệ có nghiệm (x;y) mà x, y nguyên. b. Tìm m sao cho nghiệm của hệ thoả mãn x 2 + y 2 = 0,25. Câu 4 (3 điểm) Cho (O;R). Hai đờng kính AB và CD vuông góc với nhau. E là một điểm chính giữa của cung nhỏ ằ BC . AE cắt CO ở F. DE cắt AB ở M. Chứng minh rằng: a. FCBM nội tiếp một đờng tròn, tìm tâm của đờng tròn đó. b. OE, BF, CM đồng quy. Câu 5 (1 điểm) Tìm các cặp số thực (x;y) để biểu thức: M = xy(x 2)(y + 6) + 12x 2 24x + 3y 2 + 18y + 36. Đạt giá trị nhỏ nhất, xác định giá trị đó. Đề số 10 Câu 1 (2 điểm) a. Rút gọn: 4 7 4 7 2A = + b. Không giảI phơng trình hãy tính hiệu các lập phơng của các nghiệm lớn và nghiệm nhỏ của phơng trình: 2 85 5 1 0 4 16 x x + = Câu 2 (2 điểm) a. Giải hệ phơng trình: 2 2 2 3 2 6 x xy y x y + + = + + = b. Cho ba số thực a, b, c khác 0 và a b a c b c+ = + + + Chứng minh rằng: 1 1 1 0 a b c + + = Câu 3 (2 điểm) a. Tìm GTNN của biểu thức: 2 3 1P x xy y x x= + + b. Tìm số tự nhiên n sao cho: 8 11 2 2 2 n + + là số chính phơng. Câu 4 (3 điểm) Cho (O) và (O) cắt nhau tại P và Q. Tiếp tuyến chung của chúng gần P tiếp xúc với (O) tại A với (O) tại B. Tiếp tuyến của (O) tại P cắt (O) tại D. Gọi M là điểm đối xứng của P qua điểm giữa của AB, đờng thẳng AP cắt BC tại E và đờng thẳng biện pháp cắt AD tại F. Chứng minh rằng : AMBEQF là lục giác nội tiếp. Câu 5 (1 điểm) Tìm nghiệm nguyên của phơng trình 4 4 4 4 1 2 3 14 . 1599x x x x+ + + + = đề số 11 Câu 1 (2 điểm) [...]... so sánh độ dài các đoạn thẳng DH và DE Câu 5 (1 điểm) Cho a, b, c là ba số thực dơng Chứng minh: Câu 1 (2 điểm) Cho biểu thức: a b c + + >2 b+c c+a a +b đề số 12 a 1 1 8 a 3 a 2 A= + 3 a 1 3 a + 1 9a 1 ữ: 1 3 a + 1 ữ ữ ữ với 1 a ,a 0 9 a Rút gọn A b Tìm a nguyên để A nhận giá trị nguyên Câu 2 (2 điểm) Cho hệ phơng trình x + my = 1 mx + y = 2 a Giải hệ phơng trình khi m = 2 b Với giá... số nguyên x, y thoả mãn 10 x 2 + 20 y 2 + 24 xy + 8 x 24 y + 51 0 Đề số 13 Câu 1 (2 điểm) a Giải phơng trình: 3 + 5 13 + 48 = 2(2 x 1) + 2 + 3 b Giải hệ phơng trình: x2 4x + 4 y2 = 0 2 x + 4 xy + 4 = 0 Câu 2 (2 điểm) Tìm tích của ba số, nếu tổng của chúng bằng tổng bình phơng của chúng và bằng tổng lập phơng của chúng và đều bằng 1 Câu 3 (2 điểm) Chứng minh rằng: 1 3 5 2n 1 1 2 4 6 2n... + 4m + 3 = 0(1) a Tìm m để phơng trình (1) có nghiệm b Gọi x1 , x2 là hai nghiệm của phơng trình (1) Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức A = x1 x2 2 x1 2 x2 ã Câu 4 (3 điểm) Cho ABC ( AC > AB, BAC = 90 0 ) Gọi I, K theo thứ tự là trung điểm của AB, AC Các đờng tròn đờng kính AB, AC cắt nhau tại điểm thứ hai D, tia BA cắt (K) tại điểm thứ hai E, tia CA cắt (I) tại điểm thứ hai F a Chứng minh: BFCE . (1 điểm) Tìm nghiệm nguyên của phơng trình 4 4 4 4 1 2 3 14 . 1 599 x x x x+ + + + = đề số 11 Câu 1 (2 điểm) a. Tính giá trị của biểu thức (5 2 6) 5 2. > + + + đề số 12 Câu 1 (2 điểm) Cho biểu thức: 1 1 8 3 2 : 1 9 1 3 1 3 1 3 1 a a a A a a a a = + ữ ữ ữ ữ + + với 1 , 0 9 a a a. Rút