Đề thi khảo sát HSG rất hay
Trang 1TRƯỜNG THCS LÊ THANH NGHỊ
ĐỀ CHÍNH THỨC
ĐỀ KHẢO SÁT CHỌN ĐỘI TUYỂN TỈNH VÒNG 1
NĂM HỌC 2016 - 2017 MÔN TOÁN 9 Thời gian làm bài 150 phút
Đề gồm 01 trang
Câu 1: (2,0 điểm)
Cho biểu thức: A =
2
:
a) Rút gọn biểu thức A;
b) Tìm x để A < 1
Câu 2: (2,0 điểm)
a) Cho ba số a, b, c khác 0 thỏa mãn: a3 + b3 + c3 = 3abc và a, b, c đôi một khác nhau Hãy tính giá trị biểu thức: B = 2 2 2 2 2 2 2 2 2
b) Giải phương trình: (x – 1)(x + 1)2(x + 3) = 192
Câu 3: (1,0 điểm)
Tìm dư của phép chia đa thức f(x) = x2016 + x2015+ x4 + 22 cho x2 – 1;
Câu 4: (3,0 điểm)
Cho tam giác ABC vuông tại A Lấy một điểm M bất kỳ trên cạnh AC Từ C vẽ một đường thẳng vuông góc với tia BM, đường thẳng này cắt tia BM tại D, cắt tia BA tại E a) Chứng minh: EA.EB = ED.EC và EAD ECB· =·
b) Chứng minh rằng khi điểm M di chuyển trên cạnh AC thì tổng
BM.BD + CM.CA có giá trị không đổi
c) KẻDH ⊥BC (H BC∈ ) Gọi P, Q lần lượt là trung điểm của các đoạn thẳng BH,
DH Chứng minh CQ⊥PD.
Câu 5:(2,0 điểm)
a) Cho các số thực dương x, y, z thỏa mãn: x + y + z = 2
Chứng minh: 161x+41y+1z 49
32
≥
b) Cho a, b, c là các số thực dương thoả mãn a + b +c = 1 Tìm GTNN của biểu thức
a bc b ca c ab B
b c c a a b
Trang 2TRƯỜNG THCS LÊ THANH NGHỊ
ĐỀ CHÍNH THỨC
HƯỚNG DẪN CHẤM
ĐỀ KHẢO SÁT CHỌN ĐỘI TUYỂN TỈNH VÒNG 1
NĂM HỌC 2016 - 2017 MÔN TOÁN 9
(Gồm 04 trang)
1 a Tìm ĐKXĐ: x≠1; x≠0; x≠-1.
A =
2
:
( )
2 2
: ( 1) ( 1) ( 1) 1
x
( )
2
:
( 1) 1
x x x
=
−
− ( )2
1 ( 1)
1
x
−
0,25đ
0,25đ 0,25đ 0,25đ
b A < 1 ⇒ 1
1
x
x <
x
x − <
− ⇔ 1 0
1
x x x
− + <
1 0 1
x <
− ⇔ x – 1 <0 ⇔ x < 1
So sánh ĐKXĐ với x <1; x≠0 và x≠-1 thì A <1.
0,25đ 0,25đ
0,25đ 0,25đ
2 a a3 + b3 + c3 = 3abc
⇔ a3 + b3 + c3 - 3abc = 0
⇔ (a + b)3 + c3 – 3ab(a +b) -3abc = 0
⇔ (a + b +c) ( )2 2
- 3ab(a +b + c) = 0
⇔ (a + b +c)( a2 + b2 + c2 – ab – bc – ca ) =0
⇔ (a + b + c)(2 a2 + 2b2 + 2c2 – 2ab – 2bc – 2ca) =0
⇔ (a + b + c)⇔ [ (a – b)2 + (b – c)2 + (c – a)2 ]= 0
Mà a, b,c đôi một khác nhau nên a + b + c = 0
⇒ a + b = -c ⇒ (a + b)2 = c2 ⇒ a2 + b2 - c2 = -2ab Tương tự như trên ta có: b2 + c2 – a2 = -2bc và
c2 + a2 – b2 = - 2ca Thay vào biểu thức B ta được:
c a b
+ +
0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ
b (x – 1)(x + 1)2(x + 3) = 192
⇔ (x – 1)(x + 3)(x+1)2 = 192
⇔ (x2 + 2x – 3)(x2 + 2x + 1) = 192 (*) 0,25đ
Trang 3Đặt x2 + 2x – 1 = y Phương trỡnh (*) trở thành:
( y – 2)(y + 2) = 192 ⇔ y2 – 4 = 192 ⇔ y2 = 196
⇔ y = 14 hoặc y = -14.
+) Nếu y = 14 thỡ x2 + 2x – 1 = 14
⇔ x2 + 2x – 1 = 14 ⇔ x2 + 2x – 15 = 0
⇔ x2 - 3x + 5x – 15 = 0
⇔ x(x – 3) + 5(x -3) = 0
⇔ (x – 3)(x + 5) = 0 ⇔x = 3 hoặc x = -5.
+) Nếu y = -14 thỡ x2 + 2x – 1 = -14
⇔ x2 + 2x + 13 = 0 ( vụ nghiệm) Vậy phương trỡnh (*) cú nghiệm là: x = 3 hoặc x = -5
0,25đ
0,25đ
0,25đ
3 Gọi dư của phộp chia f(x) = x2016 + x2015+ x4 + 22
cho x2 – 1 là ax + b và thương là q(x) ta cú:
f(x) = x2016 + x2015+ x4 + 22 = (x2 – 1)q(x) + ax + b
ta cú: f(1) = 12016 +12015 +14 +22 = (12 – 1)q(x) +a.1 + b ⇔ a + b = 25 (1)
Và: f(-1) = (-1)2016+(-1)2015 +(-1)4 +22 = a.(-1) + b ⇔ -a + b = 21 (2)
Từ 1 và 2 ta cú 2b = 46 ⇔ b = 23 Thay b = 23 vào 1 ta được a = 2 Võy dư của phộp chia f(x) = x2016 + x2015+ x4 + 22 cho x2 – 1 là 2x + 23
0,25đ 0,25đ 0,25đ
0,25đ
4
I P
Q
H
E
D A
a) * Chứng minh EA.EB = ED.EC
- Chứng minh ∆EBD đồng dạng với ∆ECA (gg) 0,25
- Từ đó suy ra EB ED EA EB ED EC
Trang 4* Chứng minh ãEAD ECB= ã 0,25
- Chứng minh ∆EAD đồng dạng với ∆ECB (cgc)
- Suy ra EAD ECBã = ã
b) - Chứng minh ∆BMI đồng dạng với ∆BCD (gg) 0,25
- Chứng minh CM.CA = CI.BC (1)
Tương tự chứng minh: BM.BD =BC.BI (2) 0,25
Từ (1) và (2) ta chứng minh BM.BD + CM.CA = BC2
Mà BC khụng đổi nờn BM.BD + CM.CA cú giỏ trị khụng đổi
khi điểm M di chuyển trờn AC
0,25 0,25 c) Chứng minh ∆BHD đồng dạng với ∆DHC (gg)
2 2
- Chứng minh ∆DPB đồng dạng với ∆CQD (cgc) 0,25
o o
BDP DCQ
DCQ PDC
5a
CM bđt: Với x,y,z > 0 ta cú
( + + )
+ + Dấu = xảy ra khi a b c
x = =y z
16x+ 4y+z = 1 1 4 16 1 1 2 4 2 49
16 x y z 16 x y z 32
( + + )≥ . + + =
+ + Dấu = xảy ra khi x = 2
7 ; y = 4
7 ; z = 8
7
0,25
0,5 0,25
5b - Nhận xột: Cú a + bc = a(a + b + c) + bc = (a + b)(c + a) 0,25
Tương tự cú b + ca = (b + a)(b + c) 0,25
c + ab = (c + a)(c + b)
do đú: B (a b)(a c) (b a)(b c) (c a)(c b)
ỏp dụng bất đẳng thức Cụ-si ta cú 0,25
) ( 2 ) )(
( ) )(
(
b a a
c
c b a b c
b
c a b a
+
≥ +
+ + + +
+ +
Trang 5) ( 2 ) )(
( )
)(
(
) ( 2 ) )(
( )
)(
(
c b b
a
b c a c c
a
c
b
a
b
c a b
a
b c a c c
b
c
a
b
a
+
≥ +
+ + + +
+
+
+
≥ +
+ + + +
+
+
Suy ra 2.B ≥ 4 (a+b+c) = 4 hay B 2 ≥ 0,25 Vậy GTNN của biểu thức B là 2
Dấu bằng xảy ra khi: a = b = c =
3 1