de thi hsg toan 8 moi GL

TRƯỜNG THCS LÊ THANH NGHỊ ĐỀ CHÍNH THỨC ĐỀ KHẢO SÁT CHẤT LƯỢNG HỌC SINH GIỎI NĂM HỌC 2015 - 2016 MƠN TỐN Thời gian làm 120 phút Đề gồm 01 trang Câu (2,0 điểm) 2 a) Phân tích đa thức thành nhân tử: M = ( x + x + 1) ( x + x + ) − 12 b) Cho abc = Rút gọn biểu thức: A= a b 2c + + ab + a + bc + b + ac + 2c + Câu (2,0 điểm) a) Giải phương trình: x − 26 x − 30 x − + + =4 1990 1986 1004 b) Cho x, y thỏa mãn: x > y > x2 + 3y2 = 4xy 2x + y Tính giá trị biểu thức A = x − 2y Câu (2,0 điểm) a) Tìm cặp số nguyên (x; y) thỏa mãn: xy + x + y = b) Tìm số a cho đa thức ax + 5x − chia hết cho đa thức x − Câu (3,0 điểm) µ = 2C µ ; tia đối tia BA lấy điểm D cho BD = BC Cho tam giác ABC có B Qua A kẻ đường thẳng vng góc với CD cắt BC CD M N Đường vng góc với BC C cắt AM K Chứng minh rằng: a) ∆ABM tam giác cân b) AC2 = AB.AD c) MA.KN = MN.KA Câu (1,0 điểm) Tìm giá trị nhỏ lớn biểu thức A = 4x + x2 + Hết TRƯỜNG THCS LÊ THANH NGHỊ ĐỀ CHÍNH THỨC Câu Ý HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ KHẢO SÁT CHẤT LƯỢNG HỌC SINH GIỎI NĂM HỌC 2015 - 2016 MƠN TỐN (Gồm 04 trang) Nội dung Đặt x + x + = y Khi đó: M = y ( y + 1) − 12 = y + y − 12 a = y + y − y − 12 = ( y + ) ( y − 3) ⇒ M = ( x + x + + ) ( x + x + − 3) = ( x + x + ) ( x + x − ) ⇒ M = ( x + x + ) ( x + ) ( x − 1) A= Biểu điểm 0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ a b 2c + + ab + a + bc + b + ac + 2c + 0,25đ 0,25đ b 0,25đ 0,25đ x − 26 x − 30 x − + + =4 1990 1986 1004  x − 26   x − 30   x −  ⇔ − ÷+  − ÷+  − ÷=  1990   1986   1004  a b 1   ⇔ ( x − 2016 )  + + ÷=  1990 1986 1004  1   ⇔ x = 2016  v× + + ≠ 0÷  1990 1986 1004  Vậy phương trình cho có nghiệm x = 2016 Có x2+3y2 = 4xy ⇔ x2- 4xy+3y2= ⇔ x2- xy-3xy +3y2= ⇔ x(x-y)-3y(x-y)=0 ⇔ (x-y)(x-3y)=0 ⇔ x-y=0 ⇔ x=y (loại x>y) x-3y=0 ⇔ x=3y 2x + y 2.3 y + y 11y Có x − y = y − y = y = 11 (Do y>0) xy + x + y = ⇔ ( y + 1)(2 x + 3) = Vì y + ≥ với y Ta có: a  y2 +1 = y = ⇔ TH1:  x = 2 x + =  y2 +1 =  y = ± (Loại v ì y số nguyê n ) ⇔ TH2:   x + =  x = −1 Vậy cặp số ( x; y ) cần tìm ( x; y ) = (2;0) 0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ Để đa thức ax + 5x − chia hết cho đa thức x − tồn đa thức b Q(x) cho ax + 5x − = ( x − 1) Q ( x ) (*) Thay x = vào (*) ⇒ a + − = ⇔a=4 0,5đ 0,5đ a 0,25đ µ1+D µ = 900 , M µ +C µ = 900 (1) A BD = BC ⇒ ∆BCD cân B µ =C µ (2) ⇒D µ1=M µ2 Từ (1), (2) ⇒ A µ1=M µ (2 góc đối đỉnh) M µ1=M µ ⇒ ∆ABM cân B ⇒A b S µ =C µ (Theo (2)), B µ1 =D µ +C µ2⇒B µ = 2D µ D µ = 2C µ (GT) B µ1 =D µ ⇒C Xét ∆ABC ∆ACD có: · µ1 =D µ góc chung, C BAC ∆ABC ∆ACD (g.g) AB AC ⇒ = ⇒ AC2 = AB.AD AC AD c µ = D, µ C µ2 =D µ ⇒C µ1 =C µ ⇒ CM đường phân giác ∆ACN C AM CA ⇒ = (3) MN CN Chứng minh CK tia phân giác góc C ∆ACN AK CA ⇒ = (4) KN CN MA KA = ⇒ MA.KN = KA.MN Từ (3), (4) ⇒ MN KN x2 Xét biểu thức A = x − 5x + 0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ +) Tìm GTNN : 5  Vì x − x + =  x − ÷ + > ∀x 2  Mà x ≥ ∀x nên A ≥ Vậy Min A = x = +) Tìm GTLN : Ta có 0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ 28 ( x − x + ) − 25 x + 140 x − 196 3x A = = x − 5x + x2 − 5x + 28 ( x − x + ) − (5 x − 14) 3A = x2 − 5x + (5 x − 14) A = 28 − ≤ 28 ( v× (5 x − 14) ≥ ) x − 5x + 28 ⇒ A≤ 28 14 ⇔x= Vậy Max A = * Ghi : Nếu học sinh làm theo cách khác mà cho điểm tối đa ... 0,25đ 0,25đ 28 ( x − x + ) − 25 x + 140 x − 196 3x A = = x − 5x + x2 − 5x + 28 ( x − x + ) − (5 x − 14) 3A = x2 − 5x + (5 x − 14) A = 28 − ≤ 28 ( v× (5 x − 14) ≥ ) x − 5x + 28 ⇒ A≤ 28 14 ⇔x= Vậy... =4 1990 1 986 1004  x − 26   x − 30   x −  ⇔ − ÷+  − ÷+  − ÷=  1990   1 986   1004  a b 1   ⇔ ( x − 2016 )  + + ÷=  1990 1 986 1004  1   ⇔ x = 2016 + + 0ữ 1990 1 986 1004 