DE KS HSG cấp huyện môn toán 8 năm 15-16

PHÒNG GIÁO DỤC - ĐÀO TẠO HUYỆN GIA LỘC ĐỀ KHẢO SÁT CHẤT LƯỢNG HỌC SINH GIỎI NĂM HỌC: 2015 - 2016 MƠN: TỐN Thời gian làm bài: 120 phút Đề gồm: 01 trang Câu (2 điểm) a) Chứng minh đa thức M = a5 – 5a3 +4a chia hết cho 120 ∀ a∈ Z b) Tìm số nguyên a b để đa thức A(x) = x − 3x3 + ax + b chia hết cho đa thức B( x) = x − 3x + Câu (2 điểm) Cho phân thức A = x − 2x + 2x - 4x − 3x + với x ≠ 2; x ≠ −4 x + 2x − a Rút gọn phân thức A b Tìm giá trị x để giá trị phân thức A AB), đường cao AH (H ∈ BC) Trên tia HC lấy điểm D cho HD = HA Đường vuông góc với BC D cắt AC E a) Chứng minh BC.DC = AC.EC b) Chứng minh AB =AE c) Gọi M trung điểm đoạn BE, chứng minh AB.HM = BM.DE Câu (1 điểm) Cho a,b,c không âm Chứng minh rằng: (a + b + c)3 ≥ a + b3 + c + 24abc PHÒNG GIÁO DỤC - ĐÀO TẠO HUYỆN GIA LỘC Câu Ý HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ KHẢO SÁT CHẤT LƯỢNG HỌC SINH GIỎI NĂM HỌC 2015 - 2016 MƠN TỐN (Gồm 04 trang) Nội dung M= a( a4 -5a2+ 4) = a( a4 - a2 - 4a2 +4) = a( a2 -1) (a2 -4) = a( a-1)(a+1)(a-2)(a+2) Với a thuộc Z (a-2); ( a-1); a; (a+1); (a+2) số nguyên liên tiếp Trong năm số nguyên liên tiếp có số bội số bội nên tích số nguyên liên a tiếp a( a-1)(a+1)(a-2)(a+2) chia hết cho (1) Trong số ngun liên tiếp có số chẵn liên tiếp mà tích số chẵn liên tiếp chia hết tích số nguyên liên tiếp a( a-1)(a+1)(a-2)(a+2) chia hết cho (2) ta có (3, 5, 8)=1 (3) Từ (1), (2), (3) ta có a( a-1)(a+1)(a-2)(a+2) chia hết cho 3.5.8 = 120 Vậy M chia hết cho 120 với a thuộc Z A(x)= x − 3x3 + ax + b = x4-3x3+4x2 -4x2+12x-16-12x+16+ax+b =x2(x2-3x+4)-4(x2-3x+4)+(a-12)x+b+16 Để A(x)MB(x) (a-12)x+b+16 =0 với x a − 12 = a = 12 b ⇔ (a-12)x+b+16 =0 với x ⇔  b + 16 = b = −16 Vậy a =12, b = -16 A(x)MB(x) Biểu điểm 0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ Với x ≠ 2; x ≠ −4 ta có x − 2x + 2x - 4x − 3x + A= x + 2x − x ( x − ) + 2x ( x − ) − 3( x − ) A= ( x − )( x + ) a ( x − )( x + 2x − ) A= ( x − )( x + ) A= 0,25đ x + 2x − x+4 x + 2x − Vậy A = với x ≠ 2; x ≠ −4 x+4 Với x ≠ 2; x ≠ −4 A